MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efimpi Structured version   Unicode version

Theorem efimpi 23068
Description: The exponential function of  _i times a real number less  pi. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
efimpi  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( A  -  pi ) ) )  = 
-u ( exp `  (
_i  x.  A )
) )

Proof of Theorem efimpi
StepHypRef Expression
1 picn 23036 . . . . 5  |-  pi  e.  CC
2 subcl 9775 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( A  -  pi )  e.  CC )
31, 2mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  pi )  e.  CC )
4 efival 13988 . . . 4  |-  ( ( A  -  pi )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( A  -  pi ) ) )  =  ( ( cos `  ( A  -  pi )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( A  -  pi )
) ) ) )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( A  -  pi ) ) )  =  ( ( cos `  ( A  -  pi )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( A  -  pi )
) ) ) )
6 coscl 13963 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
7 ax-icn 9501 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
8 sincl 13962 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
9 mulcl 9526 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
107, 8, 9sylancr 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
116, 10negdid 9900 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( -u ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
12 cosmpi 23065 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( A  -  pi ) )  =  -u ( cos `  A ) )
13 sinmpi 23064 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  -  pi ) )  =  -u ( sin `  A ) )
1413oveq2d 6250 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )  =  ( _i  x.  -u ( sin `  A ) ) )
15 mulneg2 9955 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sin `  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
167, 8, 15sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( sin `  A ) )  = 
-u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
1714, 16eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )  = 
-u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
1812, 17oveq12d 6252 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  ( A  -  pi )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( A  -  pi )
) ) )  =  ( -u ( cos `  A )  +  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
1911, 18eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( ( cos `  ( A  -  pi )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( A  -  pi )
) ) ) )
205, 19eqtr4d 2446 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( A  -  pi ) ) )  = 
-u ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
21 efival 13988 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
2221negeqd 9770 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( exp `  ( _i  x.  A ) )  = 
-u ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2320, 22eqtr4d 2446 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( A  -  pi ) ) )  = 
-u ( exp `  (
_i  x.  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   _ici 9444    + caddc 9445    x. cmul 9447    - cmin 9761   -ucneg 9762   expce 13898   sincsin 13900   cosccos 13901   picpi 13903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator