HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem efifolem7 10082
Description: Lemma for efifo 10083.
Assertion
Ref Expression
efifolem7 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (_i x. a)))
Distinct variable group:   Z,a
Proof of Theorem efifolem7
StepHypRef Expression
1 abscl 8084 . . . . . 6 |- (Z e. CC -> (abs` Z) e. RR)
2 absge0 8105 . . . . . 6 |- (Z e. CC -> 0 <_ (abs` Z))
3 1re 6598 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
4 0re 6603 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
5 lt01 6871 . . . . . . . 8 |- 0 < 1
64, 3, 5ltleii 6756 . . . . . . 7 |- 0 <_ 1
7 sq11 7874 . . . . . . 7 |- ((((abs` Z) e. RR /\ 0 <_ (abs` Z)) /\ (1 e. RR /\ 0 <_ 1)) -> (((abs` Z)^2) = (1^2) <-> (abs` Z) = 1))
83, 6, 7mpanr12 778 . . . . . 6 |- (((abs` Z) e. RR /\ 0 <_ (abs` Z)) -> (((abs` Z)^2) = (1^2) <-> (abs` Z) = 1))
91, 2, 8syl11anc 524 . . . . 5 |- (Z e. CC -> (((abs` Z)^2) = (1^2) <-> (abs` Z) = 1))
109biimpar 461 . . . 4 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> ((abs` Z)^2) = (1^2))
11 sq1 7882 . . . 4 |- (1^2) = 1
1210, 11syl6eq 1944 . . 3 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> ((abs` Z)^2) = 1)
13 recl 8007 . . . . 5 |- (Z e. CC -> (Re` Z) e. RR)
1413adantr 425 . . . 4 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> (Re` Z) e. RR)
15 imcl 8008 . . . . 5 |- (Z e. CC -> (Im` Z) e. RR)
1615adantr 425 . . . 4 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> (Im` Z) e. RR)
17 absvalsq2 8087 . . . . . 6 |- (Z e. CC -> ((abs` Z)^2) = (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)))
1817eqeq1d 1892 . . . . 5 |- (Z e. CC -> (((abs` Z)^2) = 1 <-> (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1))
1918biimpa 460 . . . 4 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1)
20 efifolem6 10081 . . . . 5 |- (((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR /\ (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1) -> ((Im` Z) = 0 -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
21 efifolem5 10080 . . . . 5 |- (((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR /\ (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1) -> ((Im` Z) =/= 0 -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
2220, 21pm2.61dne 2091 . . . 4 |- (((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR /\ (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a)))
2314, 16, 19, 22syl111anc 1100 . . 3 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a)))
2412, 23syldan 516 . 2 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a)))
25 replim 8011 . . . . . . 7 |- (Z e. CC -> Z = ((Re` Z) + (_i x. (Im` Z))))
26 recn 6466 . . . . . . . 8 |- (a e. RR -> a e. CC)
27 efival 8712 . . . . . . . 8 |- (a e. CC -> (exp` (_i x. a)) = ((cos` a) + (_i x. (sin` a))))
2826, 27syl 12 . . . . . . 7 |- (a e. RR -> (exp` (_i x. a)) = ((cos` a) + (_i x. (sin` a))))
2925, 28eqeqan12d 1901 . . . . . 6 |- ((Z e. CC /\ a e. RR) -> (Z = (exp` (_i x. a)) <-> ((Re` Z) + (_i x. (Im` Z))) = ((cos` a) + (_i x. (sin` a)))))
30 cru 7988 . . . . . . 7 |- ((((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR) /\ ((cos` a) e. RR /\ (sin` a) e. RR)) -> (((Re` Z) + (_i x. (Im` Z))) = ((cos` a) + (_i x. (sin` a))) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
3113, 15jca 310 . . . . . . 7 |- (Z e. CC -> ((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR))
32 recoscl 8704 . . . . . . . 8 |- (a e. RR -> (cos` a) e. RR)
33 resincl 8703 . . . . . . . 8 |- (a e. RR -> (sin` a) e. RR)
3432, 33jca 310 . . . . . . 7 |- (a e. RR -> ((cos` a) e. RR /\ (sin` a) e. RR))
3530, 31, 34syl2an 503 . . . . . 6 |- ((Z e. CC /\ a e. RR) -> (((Re` Z) + (_i x. (Im` Z))) = ((cos` a) + (_i x. (sin` a))) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
3629, 35bitrd 587 . . . . 5 |- ((Z e. CC /\ a e. RR) -> (Z = (exp` (_i x. a)) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
37 2re 7163 . . . . . . . 8 |- 2 e. RR
38 pire 10026 . . . . . . . 8 |- pi e. RR
3937, 38remulcli 6488 . . . . . . 7 |- (2 x. pi) e. RR
40 elico2 7559 . . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (a e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi))))
414, 39, 40mp2an 761 . . . . . 6 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi)))
4241simp1bi 891 . . . . 5 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> a e. RR)
4336, 42sylan2 500 . . . 4 |- ((Z e. CC /\ a e. (0[,)(2 x. pi))) -> (Z = (exp` (_i x. a)) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
4443rexbidva 2120 . . 3 |- (Z e. CC -> (E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (_i x. a)) <-> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
4544adantr 425 . 2 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> (E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (_i x. a)) <-> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
4624, 45mpbird 213 1 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (_i x. a)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  [,)cico 7526  ^cexp 7811  Recre 7997  Imcim 7998  abscabs 8000  expce 8555  sincsin 8557  cosccos 8558  picpi 8559
This theorem is referenced by:  efifo 10083  circgrp 10094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-5 7157  df-6 7158  df-7 7159  df-8 7160  df-9 7161  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-ioc 7529  df-ico 7530  df-icc 7531  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-cncf 8525  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563  df-pi 8564  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200
Copyright terms: Public domain