MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Unicode version

Theorem efifo 22695
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
efifo.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
Assertion
Ref Expression
efifo  |-  F : RR -onto-> C
Distinct variable group:    z, C
Allowed substitution hint:    F( z)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
2 ax-icn 9551 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
3 recn 9582 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
4 mulcl 9576 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
_i  x.  z )  e.  CC )
6 efcl 13680 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  z )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
8 absefi 13792 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  1 )
9 absf 13133 . . . . . . 7  |-  abs : CC
--> RR
10 ffn 5731 . . . . . . 7  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
11 fniniseg 6002 . . . . . . 7  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) ) )
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) )
137, 8, 12sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
14 efifo.2 . . . . 5  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
1513, 14syl6eleqr 2566 . . . 4  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  C )
161, 15fmpti 6044 . . 3  |-  F : RR
--> C
17 ffn 5731 . . 3  |-  ( F : RR --> C  ->  F  Fn  RR )
1816, 17ax-mp 5 . 2  |-  F  Fn  RR
19 frn 5737 . . . 4  |-  ( F : RR --> C  ->  ran  F  C_  C )
2016, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ran  F  C_  C
21 df-ima 5012 . . . . 5  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )
221reseq1i 5269 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )
23 0xr 9640 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
24 2re 10605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
25 pire 22613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
2624, 25remulcli 9610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
27 elioc2 11587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( z  e.  RR  /\  0  <  z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
2823, 26, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
2928simp1bi 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  ->  z  e.  RR )
3029ssriv 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
31 resmpt 5323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
C_  RR  ->  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3322, 32eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
3433rneqi 5229 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
35 0re 9596 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
36 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3726recni 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3837addid2i 9767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi )
3938oveq2i 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] ( 0  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )
4039eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  =  ( 0 (,] (
0  +  ( 2  x.  pi ) ) )
4136, 14, 40efif1o 22694 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C )
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) ) : ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C
43 f1ofo 5823 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )
-onto-> C )
44 forn 5798 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -onto-> C  ->  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  C )
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6  |-  ran  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  =  C
4634, 45eqtri 2496 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
4721, 46eqtri 2496 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
48 imassrn 5348 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  C_  ran  F
4947, 48eqsstr3i 3535 . . 3  |-  C  C_  ran  F
5020, 49eqssi 3520 . 2  |-  ran  F  =  C
51 df-fo 5594 . 2  |-  ( F : RR -onto-> C  <->  ( F  Fn  RR  /\  ran  F  =  C ) )
5218, 50, 51mpbir2an 918 1  |-  F : RR -onto-> C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   _ici 9494    + caddc 9495    x. cmul 9497   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   2c2 10585   (,]cioc 11530   abscabs 13030   expce 13659   picpi 13664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034
This theorem is referenced by:  circgrp  25080  circtopn  27666  circcn  27667
  Copyright terms: Public domain W3C validator