MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Unicode version

Theorem efifo 23358
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
efifo.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
Assertion
Ref Expression
efifo  |-  F : RR -onto-> C
Distinct variable group:    z, C
Allowed substitution hint:    F( z)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
2 ax-icn 9587 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
3 recn 9618 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
4 mulcl 9612 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
_i  x.  z )  e.  CC )
6 efcl 14104 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  z )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
8 absefi 14217 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  1 )
9 absf 13368 . . . . . . 7  |-  abs : CC
--> RR
10 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
11 fniniseg 6009 . . . . . . 7  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) ) )
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) )
137, 8, 12sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
14 efifo.2 . . . . 5  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
1513, 14syl6eleqr 2519 . . . 4  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  C )
161, 15fmpti 6051 . . 3  |-  F : RR
--> C
17 ffn 5737 . . 3  |-  ( F : RR --> C  ->  F  Fn  RR )
1816, 17ax-mp 5 . 2  |-  F  Fn  RR
19 frn 5743 . . . 4  |-  ( F : RR --> C  ->  ran  F  C_  C )
2016, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ran  F  C_  C
21 df-ima 4858 . . . . 5  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )
221reseq1i 5112 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )
23 0xr 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
24 2re 10668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
25 pire 23275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
2624, 25remulcli 9646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
27 elioc2 11686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( z  e.  RR  /\  0  <  z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
2823, 26, 27mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
2928simp1bi 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  ->  z  e.  RR )
3029ssriv 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
31 resmpt 5165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
C_  RR  ->  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3322, 32eqtri 2449 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
3433rneqi 5072 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
35 0re 9632 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
36 eqid 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3726recni 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3837addid2i 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi )
3938oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] ( 0  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )
4039eqcomi 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  =  ( 0 (,] (
0  +  ( 2  x.  pi ) ) )
4136, 14, 40efif1o 23357 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C )
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) ) : ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C
43 f1ofo 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )
-onto-> C )
44 forn 5804 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -onto-> C  ->  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  C )
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6  |-  ran  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  =  C
4634, 45eqtri 2449 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
4721, 46eqtri 2449 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
48 imassrn 5190 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  C_  ran  F
4947, 48eqsstr3i 3492 . . 3  |-  C  C_  ran  F
5020, 49eqssi 3477 . 2  |-  ran  F  =  C
51 df-fo 5598 . 2  |-  ( F : RR -onto-> C  <->  ( F  Fn  RR  /\  ran  F  =  C ) )
5218, 50, 51mpbir2an 928 1  |-  F : RR -onto-> C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    C_ wss 3433   {csn 3993   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   `'ccnv 4844   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848    Fn wfn 5587   -->wf 5588   -onto->wfo 5590   -1-1-onto->wf1o 5591   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529   _ici 9530    + caddc 9531    x. cmul 9533   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665   2c2 10648   (,]cioc 11625   abscabs 13265   expce 14081   picpi 14086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-ef 14088  df-sin 14090  df-cos 14091  df-pi 14093  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-perf 20077  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-haus 20255  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cncf 21799  df-limc 22695  df-dv 22696
This theorem is referenced by:  circgrp  23363  circsubm  23364  circgrpOLD  25944  circtopn  28500  circcn  28501
  Copyright terms: Public domain W3C validator