MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Unicode version

Theorem efifo 23100
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
efifo.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
Assertion
Ref Expression
efifo  |-  F : RR -onto-> C
Distinct variable group:    z, C
Allowed substitution hint:    F( z)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
2 ax-icn 9540 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
3 recn 9571 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
4 mulcl 9565 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
_i  x.  z )  e.  CC )
6 efcl 13900 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  z )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
8 absefi 14013 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  1 )
9 absf 13252 . . . . . . 7  |-  abs : CC
--> RR
10 ffn 5713 . . . . . . 7  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
11 fniniseg 5984 . . . . . . 7  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) ) )
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) )
137, 8, 12sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
14 efifo.2 . . . . 5  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
1513, 14syl6eleqr 2553 . . . 4  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  C )
161, 15fmpti 6030 . . 3  |-  F : RR
--> C
17 ffn 5713 . . 3  |-  ( F : RR --> C  ->  F  Fn  RR )
1816, 17ax-mp 5 . 2  |-  F  Fn  RR
19 frn 5719 . . . 4  |-  ( F : RR --> C  ->  ran  F  C_  C )
2016, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ran  F  C_  C
21 df-ima 5001 . . . . 5  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )
221reseq1i 5258 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )
23 0xr 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
24 2re 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
25 pire 23017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
2624, 25remulcli 9599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
27 elioc2 11590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( z  e.  RR  /\  0  <  z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
2823, 26, 27mp2an 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
2928simp1bi 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  ->  z  e.  RR )
3029ssriv 3493 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
31 resmpt 5311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
C_  RR  ->  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3322, 32eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
3433rneqi 5218 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
35 0re 9585 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
36 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3726recni 9597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3837addid2i 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi )
3938oveq2i 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] ( 0  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )
4039eqcomi 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  =  ( 0 (,] (
0  +  ( 2  x.  pi ) ) )
4136, 14, 40efif1o 23099 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C )
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) ) : ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C
43 f1ofo 5805 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )
-onto-> C )
44 forn 5780 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -onto-> C  ->  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  C )
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6  |-  ran  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  =  C
4634, 45eqtri 2483 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
4721, 46eqtri 2483 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
48 imassrn 5336 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  C_  ran  F
4947, 48eqsstr3i 3520 . . 3  |-  C  C_  ran  F
5020, 49eqssi 3505 . 2  |-  ran  F  =  C
51 df-fo 5576 . 2  |-  ( F : RR -onto-> C  <->  ( F  Fn  RR  /\  ran  F  =  C ) )
5218, 50, 51mpbir2an 918 1  |-  F : RR -onto-> C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -onto->wfo 5568   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   2c2 10581   (,]cioc 11533   abscabs 13149   expce 13879   picpi 13884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437
This theorem is referenced by:  circgrp  23105  circsubm  23106  circgrpOLD  25574  circtopn  28075  circcn  28076
  Copyright terms: Public domain W3C validator