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Theorem efif1olem4 20400
Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length  2 pi one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
efif1o.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
efif1olem4.3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
efif1olem4.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
efif1olem4.5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
efif1olem4.6  |-  S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efif1olem4  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> C )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    w, C, x, y    x, F, y    ph, w, x, y, z   
y, S, z    w, D, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( z)    S( x, w)    F( z, w)

Proof of Theorem efif1olem4
StepHypRef Expression
1 efif1olem4.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
21sselda 3308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  D )  ->  w  e.  RR )
3 ax-icn 9005 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
4 recn 9036 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
5 mulcl 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( _i  x.  w
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  RR  ->  (
_i  x.  w )  e.  CC )
7 efcl 12640 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  x.  w )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  CC )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  CC )
9 absefi 12752 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )  =  1 )
10 absf 12096 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
11 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  abs  Fn  CC
13 fniniseg 5810 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  w )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  1 ) ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  w )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  1 ) )
158, 9, 14sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
16 efif1o.2 . . . . . 6  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
1715, 16syl6eleqr 2495 . . . . 5  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  C )
182, 17syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  C )
19 efif1o.1 . . . 4  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
2018, 19fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> C )
211ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  D  C_  RR )
22 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  D )
2321, 22sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  RR )
2423recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  CC )
25 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  D )
2621, 25sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  RR )
2726recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  CC )
2824, 27subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( x  -  y )  e.  CC )
29 2re 10025 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
30 pire 20325 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
3129, 30remulcli 9060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
3231recni 9058 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
33 2pos 10038 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
34 pipos 20326 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
3529, 30, 33, 34mulgt0ii 9162 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
3631, 35gt0ne0ii 9519 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
37 divcl 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
3832, 36, 37mp3an23 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
3928, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
40 absdiv 12055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  ( abs `  (
2  x.  pi ) ) ) )
4132, 36, 40mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( abs `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
4228, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( abs `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
43 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
4443, 31, 35ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( 2  x.  pi )
45 absid 12056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi ) )
4631, 44, 45mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi )
4746oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  ( abs `  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )
4842, 47syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
49 efif1olem4.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
2  x.  pi ) )
5132mulid1i 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  1 )  =  ( 2  x.  pi )
5250, 51syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) )
5328abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  e.  RR )
54 1re 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
5531, 35pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) )
56 ltdivmul 9838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  (
2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( ( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5754, 55, 56mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  e.  RR  ->  (
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5853, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5952, 58mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  / 
( 2  x.  pi ) )  <  1
)
6048, 59eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  <  1
)
6132, 36pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
62 ine0 9425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
633, 62pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )
64 divcan5 9672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )
6561, 63, 64mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
6628, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )
673a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  _i  e.  CC )
6867, 24, 27subdid 9445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  =  ( ( _i  x.  x
)  -  ( _i  x.  y ) ) )
6968fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )  =  ( exp `  ( ( _i  x.  x )  -  ( _i  x.  y ) ) ) )
70 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
713, 24, 70sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  x )  e.  CC )
72 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
733, 27, 72sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  y )  e.  CC )
74 efsub 12656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  x
)  -  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  /  ( exp `  (
_i  x.  y )
) ) )
7571, 73, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  x )  -  (
_i  x.  y )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  /  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
76 efcl 12640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
7773, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  e.  CC )
78 efne0 12653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  =/=  0 )
7973, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  =/=  0
)
80 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
81 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  x ) )
8281fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
83 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  e.  _V
8482, 19, 83fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  D  ->  ( F `  x )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
8522, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  x )  =  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) )
86 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  y  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  y ) )
8786fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  y  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
88 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  e.  _V
8987, 19, 88fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  D  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
9025, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )
9180, 85, 903eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )
9277, 79, 91diveq1bd 9794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
9369, 75, 923eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )  =  1 )
94 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( x  -  y
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  CC )
953, 28, 94sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  CC )
96 efeq1 20384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  x.  ( x  -  y ) )  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( x  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( x  -  y
) ) )  =  1  <->  ( ( _i  x.  ( x  -  y ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
9893, 97mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
9966, 98eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
100 nn0abscl 12072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  e. 
NN0 )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  e.  NN0 )
102 nn0lt10b 10292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  0 ) )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  <  1  <->  ( abs `  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  0 ) )
10460, 103mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  0 )
10539, 104abs00d 12203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
106 diveq0 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( x  -  y
)  =  0 ) )
10732, 36, 106mp3an23 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) )  =  0  <->  (
x  -  y )  =  0 ) )
10828, 107syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
109105, 108mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( x  -  y )  =  0 )
11024, 27, 109subeq0d 9375 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
111110ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
112111ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
113 dff13 5963 . . 3  |-  ( F : D -1-1-> C  <->  ( F : D --> C  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
11420, 112, 113sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-> C
)
115 halfpire 20328 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
116115renegcli 9318 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
117 iccssre 10948 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  C_  RR )
118116, 115, 117mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
11919, 16efif1olem3 20399 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
120 resinf1o 20391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
121 efif1olem4.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
122 f1oeq1 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  <-> 
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) ) )
123121, 122ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  <-> 
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) )
124120, 123mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  S :
( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
125 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  ->  `' S :
( -u 1 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
126 f1of 5633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' S : ( -u
1 [,] 1 ) -1-1-onto-> (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  ->  `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
127124, 125, 126mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
128127ffvelrni 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
129119, 128syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
130118, 129sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR )
131 remulcl 9031 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
13229, 130, 131sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
133 efif1olem4.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
134133ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
135134adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
136 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( z  -  y )  =  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) )
137136oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
138137eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( (
( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
139138rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  D  (
( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
140139rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
141132, 135, 140sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
142 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) ) )  =  1  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  (
_i  x.  y )
) ) )
1433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  _i  e.  CC )
144132adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
145144recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
1461ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  D  C_  RR )
147 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
148146, 147sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  RR )
149148recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  CC )
150143, 145, 149subdid 9445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  =  ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  -  (
_i  x.  y )
) )
151150oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  -  (
_i  x.  y )
)  +  ( _i  x.  y ) ) )
152 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  e.  CC )
1533, 145, 152sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  e.  CC )
1543, 149, 72sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
155153, 154npcand 9371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  -  ( _i  x.  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
156151, 155eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
157156fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ) ) )
158145, 149subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  e.  CC )
159 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC )
1603, 158, 159sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC )
161 efadd 12651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC  /\  (
_i  x.  y )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
162160, 154, 161syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
163130recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )
164 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
165 mul12 9188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
1663, 164, 165mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
167163, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
168167fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
169 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
1703, 163, 169sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
171 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
172 efexp 12657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
173170, 171, 172sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
174168, 173eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
175130recoscld 12700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  RR )
176 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
177176, 16syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
178 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) ) )
17912, 178ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) )
180177, 179sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
181180simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  CC )
182181sqrcld 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
183182recld 11954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Re `  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
184 cosq14ge0 20372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
185129, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
186181sqrrege0d 12195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  x ) ) )
187 sincossq 12732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
188163, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
189181sqsqrd 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
190189fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  x ) )
191 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN0
192 absexp 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
193182, 191, 192sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
194180simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  x )  =  1 )
195190, 193, 1943eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  1 )
196182absvalsq2d 12200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) ) )
197188, 195, 1963eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) ) )
198121fveq1i 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S `
 ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )
199 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  (
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
200129, 199syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
201198, 200syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
202 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)  /\  ( Im `  ( sqr `  x
) )  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
203124, 119, 202sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
204201, 203eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
205204oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
206197, 205oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) ) )
207163sincld 12686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  CC )
208207sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
209163coscld 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  CC )
210209sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
211208, 210pncan2d 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )
212183recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Re `  ( sqr `  x ) )  e.  CC )
213212sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  e.  CC )
214205, 208eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  e.  CC )
215213, 214pncand 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( Re
`  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )  -  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
216206, 211, 2153eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
217175, 183, 185, 186, 216sq11d 11514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( Re `  ( sqr `  x ) ) )
218204oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )
219217, 218oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )
220 efival 12708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
221163, 220syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
222182replimd 11957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )
223219, 221, 2223eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( sqr `  x ) )
224223oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )
225174, 224, 1893eqtrd 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  x )
226225adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  x )
227157, 162, 2263eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  x )
228154, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
229228mulid2d 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
1  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
230227, 229eqeq12d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  <-> 
x  =  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
231142, 230syl5ib 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  ->  x  =  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
232 efeq1 20384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
233160, 232syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
234 divcan5 9672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y )  e.  CC  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
23561, 63, 234mp3an23 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  e.  CC  ->  ( (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
236158, 235syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
237236eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
238233, 237bitr2d 246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1 ) )
23989adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
240239eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) ) )
241231, 238, 2403imtr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  x  =  ( F `  y ) ) )
242241reximdva 2778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( E. y  e.  D  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) ) )
243141, 242mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) )
244243ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) )
245 dffo3 5843 . . 3  |-  ( F : D -onto-> C  <->  ( F : D --> C  /\  A. x  e.  C  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) ) )
24620, 244, 245sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  F : D -onto-> C
)
247 df-f1o 5420 . 2  |-  ( F : D -1-1-onto-> C  <->  ( F : D -1-1-> C  /\  F : D -onto-> C ) )
248114, 246, 247sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   [,]cicc 10875   ^cexp 11337   Recre 11857   Imcim 11858   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   expce 12619   sincsin 12621   cosccos 12622   picpi 12624
This theorem is referenced by:  efif1o  20401  eff1olem  20403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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