MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem3 Structured version   Unicode version

Theorem efif1olem3 23358
Description: Lemma for efif1o 23360. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
efif1o.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
Assertion
Ref Expression
efif1olem3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
Distinct variable groups:    x, w, C    x, F    ph, w, x   
w, D, x
Allowed substitution hint:    F( w)

Proof of Theorem efif1olem3
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
2 efif1o.2 . . . . . . 7  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
31, 2syl6eleq 2527 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
4 absf 13379 . . . . . . 7  |-  abs : CC
--> RR
5 ffn 5746 . . . . . . 7  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
6 fniniseg 6018 . . . . . . 7  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) ) )
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) )
83, 7sylib 199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
98simpld 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  CC )
109sqrtcld 13477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
1110imcld 13237 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
12 absimle 13351 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  x )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( sqr `  x
) ) )
1310, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( sqr `  x
) ) )
149sqsqrtd 13479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
1514fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  x ) )
16 2nn0 10886 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
17 absexp 13346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
1810, 16, 17sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
198simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  x )  =  1 )
2015, 18, 193eqtr3d 2478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  1 )
21 sq1 12366 . . . . . . 7  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2220, 21syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2310abscld 13476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
2410absge0d 13484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( abs `  ( sqr `  x ) ) )
25 1re 9641 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
26 0le1 10136 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
27 sq11 12344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  ( sqr `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( sqr `  x ) ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  ( sqr `  x
) )  =  1 ) )
2825, 26, 27mpanr12 689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  ( sqr `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( sqr `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  ( sqr `  x ) )  =  1 ) )
2923, 24, 28syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  ( sqr `  x ) )  =  1 ) )
3022, 29mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( sqr `  x
) )  =  1 )
3113, 30breqtrd 4450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  1
)
32 absle 13357 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( sqr `  x ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  1  <->  ( -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x ) )  /\  ( Im `  ( sqr `  x ) )  <_  1 ) ) )
3311, 25, 32sylancl 666 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  1  <->  ( -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x ) )  /\  ( Im `  ( sqr `  x ) )  <_  1 ) ) )
3431, 33mpbid 213 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x
) )  /\  (
Im `  ( sqr `  x ) )  <_ 
1 ) )
3534simpld 460 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
3634simprd 464 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  <_ 
1 )
37 neg1rr 10714 . . 3  |-  -u 1  e.  RR
3837, 25elicc2i 11700 . 2  |-  ( ( Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  RR  /\  -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x ) )  /\  ( Im `  ( sqr `  x ) )  <_  1 ) )
3911, 35, 36, 38syl3anbrc 1189 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   _ici 9540    x. cmul 9543    <_ cle 9675   -ucneg 9860   2c2 10659   NN0cn0 10869   [,]cicc 11638   ^cexp 12269   Imcim 13140   sqrcsqrt 13275   abscabs 13276   expce 14092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-icc 11642  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278
This theorem is referenced by:  efif1olem4  23359
  Copyright terms: Public domain W3C validator