MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem1 Structured version   Unicode version

Theorem efif1olem1 23426
Description: Lemma for efif1o 23430. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efif1olem1.1  |-  D  =  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
Assertion
Ref Expression
efif1olem1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( 2  x.  pi ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, D
Allowed substitution hints:    A( x)    D( x)

Proof of Theorem efif1olem1
StepHypRef Expression
1 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  D )
2 efif1olem1.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
31, 2syl6eleq 2510 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
4 rexr 9630 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
54adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  e.  RR* )
6 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  e.  RR )
7 2re 10623 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
8 pire 23348 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
97, 8remulcli 9601 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
10 readdcl 9566 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
116, 9, 10sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
12 elioc2 11641 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )  -> 
( y  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
135, 11, 12syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  < 
y  /\  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
143, 13mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
1514simp1d 1017 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  RR )
16 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  D )
1716, 2syl6eleq 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
18 elioc2 11641 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
195, 11, 18syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
2017, 19mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
2120simp1d 1017 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  RR )
22 readdcl 9566 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
2321, 9, 22sylancl 666 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
2414simp3d 1019 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
259a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
2620simp2d 1018 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  <  x )
276, 21, 25, 26ltadd1dd 10168 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  <  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
2815, 11, 23, 24, 27lelttrd 9737 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  <  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
2915, 25, 21ltsubaddd 10153 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
( y  -  (
2  x.  pi ) )  <  x  <->  y  <  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3028, 29mpbird 235 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  -  ( 2  x.  pi ) )  <  x )
31 readdcl 9566 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( y  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
3215, 9, 31sylancl 666 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
3320simp3d 1019 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
3414simp2d 1018 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  <  y )
356, 15, 25, 34ltadd1dd 10168 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  <  ( y  +  ( 2  x.  pi ) ) )
3621, 11, 32, 33, 35lelttrd 9737 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  <  ( y  +  ( 2  x.  pi ) ) )
3721, 15, 25absdifltd 13432 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi )  <->  ( (
y  -  ( 2  x.  pi ) )  <  x  /\  x  <  ( y  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
3830, 36, 37mpbir2and 930 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( 2  x.  pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4359   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   RRcr 9482    + caddc 9486    x. cmul 9488   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9804   2c2 10603   (,]cioc 11580   abscabs 13234   picpi 14055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ioc 11584  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-seq 12157  df-exp 12216  df-fac 12403  df-bc 12431  df-hash 12459  df-shft 13067  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-limsup 13462  df-clim 13488  df-rlim 13489  df-sum 13689  df-ef 14057  df-sin 14059  df-cos 14060  df-pi 14062  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757
This theorem is referenced by:  efif1o  23430  eff1o  23433
  Copyright terms: Public domain W3C validator