MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem1 Structured version   Unicode version

Theorem efif1olem1 22657
Description: Lemma for efif1o 22661. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efif1olem1.1  |-  D  =  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
Assertion
Ref Expression
efif1olem1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( 2  x.  pi ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, D
Allowed substitution hints:    A( x)    D( x)

Proof of Theorem efif1olem1
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  D )
2 efif1olem1.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
31, 2syl6eleq 2560 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
4 rexr 9630 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
54adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  e.  RR* )
6 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  e.  RR )
7 2re 10596 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
8 pire 22580 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
97, 8remulcli 9601 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
10 readdcl 9566 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
116, 9, 10sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
12 elioc2 11578 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )  -> 
( y  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
135, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  < 
y  /\  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
143, 13mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
1514simp1d 1003 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  RR )
16 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  D )
1716, 2syl6eleq 2560 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
18 elioc2 11578 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
195, 11, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
2017, 19mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
2120simp1d 1003 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  RR )
22 readdcl 9566 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
2321, 9, 22sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
2414simp3d 1005 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
259a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
2620simp2d 1004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  <  x )
276, 21, 25, 26ltadd1dd 10154 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  <  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
2815, 11, 23, 24, 27lelttrd 9730 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  <  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
2915, 25, 21ltsubaddd 10139 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
( y  -  (
2  x.  pi ) )  <  x  <->  y  <  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3028, 29mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  -  ( 2  x.  pi ) )  <  x )
31 readdcl 9566 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( y  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
3215, 9, 31sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
3320simp3d 1005 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
3414simp2d 1004 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  <  y )
356, 15, 25, 34ltadd1dd 10154 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  <  ( y  +  ( 2  x.  pi ) ) )
3621, 11, 32, 33, 35lelttrd 9730 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  <  ( y  +  ( 2  x.  pi ) ) )
3721, 15, 25absdifltd 13216 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi )  <->  ( (
y  -  ( 2  x.  pi ) )  <  x  /\  x  <  ( y  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
3830, 36, 37mpbir2and 915 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( 2  x.  pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482    + caddc 9486    x. cmul 9488   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   2c2 10576   (,]cioc 11521   abscabs 13019   picpi 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001
This theorem is referenced by:  efif1o  22661  eff1o  22664
  Copyright terms: Public domain W3C validator