Theorem efif 10075

Description: The exponential function of an imaginary number maps the closed-below, open-above interval from 0 to 2 x. pi to the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. (0[,)(2 x. pi)) /\ y = (exp` (_i x. x)))}
efif.2	|- S = {z e. CC | (abs` z) = 1}

Assertion

Ref	Expression
efif	|- F:(0[,)(2 x. pi))-->S

Distinct variable groups:   z,F   x,y

Proof of Theorem efif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 4801	. 2 |- (F:(0[,)(2 x. pi))-->S <-> (F Fn (0[,)(2 x. pi)) /\ A.a e. (0[,)(2 x. pi))(F` a) e. S))
2		fvex 4689	. . 3 |- (exp` (_i x. x)) e. _V
3		efif.1	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. (0[,)(2 x. pi)) /\ y = (exp` (_i x. x)))}
4	2, 3	fnopab2 4549	. 2 |- F Fn (0[,)(2 x. pi))
5		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (z = (F` a) -> (abs` z) = (abs` (F` a)))
6	5	eqeq1d 1892	. . . . 5 |- (z = (F` a) -> ((abs` z) = 1 <-> (abs` (F` a)) = 1))
7		efif.2	. . . . 5 |- S = {z e. CC | (abs` z) = 1}
8	6, 7	elrab2 2416	. . . 4 |- ((F` a) e. S <-> ((F` a) e. CC /\ (abs` (F` a)) = 1))
9		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (x = a -> (_i x. x) = (_i x. a))
10	9	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (x = a -> (exp` (_i x. x)) = (exp` (_i x. a)))
11		fvex 4689	. . . . . 6 |- (exp` (_i x. a)) e. _V
12	10, 3, 11	fvopab4 4743	. . . . 5 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> (F` a) = (exp` (_i x. a)))
13		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
14		2re 7163	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
15		pire 10026	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
16	14, 15	remulcli 6488	. . . . . . . 8 |- (2 x. pi) e. RR
17		elico2 7559	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (a e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi))))
18	13, 16, 17	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi)))
19	18	simp1bi 891	. . . . . 6 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> a e. RR)
20		recn 6466	. . . . . 6 |- (a e. RR -> a e. CC)
21		axicn 6423	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
22		mulcl 6456	. . . . . . . 8 |- ((_i e. CC /\ a e. CC) -> (_i x. a) e. CC)
23	21, 22	mpan 759	. . . . . . 7 |- (a e. CC -> (_i x. a) e. CC)
24		efcl 8574	. . . . . . 7 |- ((_i x. a) e. CC -> (exp` (_i x. a)) e. CC)
25	23, 24	syl 12	. . . . . 6 |- (a e. CC -> (exp` (_i x. a)) e. CC)
26	19, 20, 25	3syl 24	. . . . 5 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> (exp` (_i x. a)) e. CC)
27	12, 26	eqeltrd 1971	. . . 4 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> (F` a) e. CC)
28	12	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> (abs` (F` a)) = (abs` (exp` (_i x. a))))
29		absefi 8748	. . . . . 6 |- (a e. RR -> (abs` (exp` (_i x. a))) = 1)
30	19, 29	syl 12	. . . . 5 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> (abs` (exp` (_i x. a))) = 1)
31	28, 30	eqtrd 1925	. . . 4 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> (abs` (F` a)) = 1)
32	8, 27, 31	sylanbrc 527	. . 3 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> (F` a) e. S)
33	32	rgen 2159	. 2 |- A.a e. (0[,)(2 x. pi))(F` a) e. S
34	1, 4, 33	mpbir2an 800	1 |- F:(0[,)(2 x. pi))-->S

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108   class class class wbr 3338  {copab 3395   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   x. cmul 6391   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  [,)cico 7526  abscabs 8000  expce 8555  picpi 8559

This theorem is referenced by:  efifo 10083  efif1 10091

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-5 7157  df-6 7158  df-7 7159  df-8 7160  df-9 7161  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-ioc 7529  df-ico 7530  df-icc 7531  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-cncf 8525  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563  df-pi 8564  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain