Theorem efieq1re 8751

Description: A number whose imaginary exponential is one is real.

Assertion

Ref	Expression
efieq1re	|- ((A e. CC /\ (exp` (_i x. A)) = 1) -> A e. RR)

Proof of Theorem efieq1re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 8011	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (_i x. (Im` A))))
2	1	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (_i x. A) = (_i x. ((Re` A) + (_i x. (Im` A)))))
3		recl 8007	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
4	3	recnd 6468	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
5		mulcl 6456	. . . . . . . . . 10 |- ((_i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
6		axicn 6423	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
7		imcl 8008	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
8	7	recnd 6468	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
9	5, 6, 8	sylancr 526	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
10		adddi 6462	. . . . . . . . . 10 |- ((_i e. CC /\ (Re` A) e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC) -> (_i x. ((Re` A) + (_i x. (Im` A)))) = ((_i x. (Re` A)) + (_i x. (_i x. (Im` A)))))
11	6, 10	mp3an1 1178	. . . . . . . . 9 |- (((Re` A) e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC) -> (_i x. ((Re` A) + (_i x. (Im` A)))) = ((_i x. (Re` A)) + (_i x. (_i x. (Im` A)))))
12	4, 9, 11	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (_i x. ((Re` A) + (_i x. (Im` A)))) = ((_i x. (Re` A)) + (_i x. (_i x. (Im` A)))))
13		mulass 6461	. . . . . . . . . . . 12 |- ((_i e. CC /\ _i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> ((_i x. _i) x. (Im` A)) = (_i x. (_i x. (Im` A))))
14	6, 6, 13	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . 11 |- ((Im` A) e. CC -> ((_i x. _i) x. (Im` A)) = (_i x. (_i x. (Im` A))))
15	8, 14	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> ((_i x. _i) x. (Im` A)) = (_i x. (_i x. (Im` A))))
16		mulm1 6638	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Im` A) e. CC -> (-u1 x. (Im` A)) = -u(Im` A))
17	8, 16	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> (-u1 x. (Im` A)) = -u(Im` A))
18		ixi 6872	. . . . . . . . . . . 12 |- (_i x. _i) = -u1
19	18	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . 11 |- ((_i x. _i) x. (Im` A)) = (-u1 x. (Im` A))
20	17, 19	syl5eq 1940	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> ((_i x. _i) x. (Im` A)) = -u(Im` A))
21	15, 20	eqtr3d 1927	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (_i x. (_i x. (Im` A))) = -u(Im` A))
22	21	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((_i x. (Re` A)) + (_i x. (_i x. (Im` A)))) = ((_i x. (Re` A)) + -u(Im` A)))
23	2, 12, 22	3eqtrd 1929	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (_i x. A) = ((_i x. (Re` A)) + -u(Im` A)))
24	23	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (exp` (_i x. A)) = (exp` ((_i x. (Re` A)) + -u(Im` A))))
25		mulcl 6456	. . . . . . . 8 |- ((_i e. CC /\ (Re` A) e. CC) -> (_i x. (Re` A)) e. CC)
26	25, 6, 4	sylancr 526	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (_i x. (Re` A)) e. CC)
27		renegcl 6600	. . . . . . . . 9 |- ((Im` A) e. RR -> -u(Im` A) e. RR)
28	7, 27	syl 12	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> -u(Im` A) e. RR)
29	28	recnd 6468	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> -u(Im` A) e. CC)
30		efadd 8629	. . . . . . 7 |- (((_i x. (Re` A)) e. CC /\ -u(Im` A) e. CC) -> (exp` ((_i x. (Re` A)) + -u(Im` A))) = ((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A))))
31	26, 29, 30	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (exp` ((_i x. (Re` A)) + -u(Im` A))) = ((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A))))
32	24, 31	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (A e. CC -> (exp` (_i x. A)) = ((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A))))
33	32	eqeq1d 1892	. . . 4 |- (A e. CC -> ((exp` (_i x. A)) = 1 <-> ((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A))) = 1))
34		efcl 8574	. . . . . . . . 9 |- ((_i x. (Re` A)) e. CC -> (exp` (_i x. (Re` A))) e. CC)
35	26, 34	syl 12	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (exp` (_i x. (Re` A))) e. CC)
36		efcl 8574	. . . . . . . . 9 |- (-u(Im` A) e. CC -> (exp` -u(Im` A)) e. CC)
37	29, 36	syl 12	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (exp` -u(Im` A)) e. CC)
38		absmul 8109	. . . . . . . 8 |- (((exp` (_i x. (Re` A))) e. CC /\ (exp` -u(Im` A)) e. CC) -> (abs` ((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A)))) = ((abs` (exp` (_i x. (Re` A)))) x. (abs` (exp` -u(Im` A)))))
39	35, 37, 38	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (abs` ((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A)))) = ((abs` (exp` (_i x. (Re` A)))) x. (abs` (exp` -u(Im` A)))))
40		absefi 8748	. . . . . . . . 9 |- ((Re` A) e. RR -> (abs` (exp` (_i x. (Re` A)))) = 1)
41	3, 40	syl 12	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (abs` (exp` (_i x. (Re` A)))) = 1)
42		reefcl 8580	. . . . . . . . . 10 |- (-u(Im` A) e. RR -> (exp` -u(Im` A)) e. RR)
43	28, 42	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (exp` -u(Im` A)) e. RR)
44		efgt0 8670	. . . . . . . . . . 11 |- (-u(Im` A) e. RR -> 0 < (exp` -u(Im` A)))
45	28, 44	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> 0 < (exp` -u(Im` A)))
46		0re 6603	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
47		ltle 6690	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ (exp` -u(Im` A)) e. RR) -> (0 < (exp` -u(Im` A)) -> 0 <_ (exp` -u(Im` A))))
48	46, 47	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- ((exp` -u(Im` A)) e. RR -> (0 < (exp` -u(Im` A)) -> 0 <_ (exp` -u(Im` A))))
49	43, 45, 48	sylc 83	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> 0 <_ (exp` -u(Im` A)))
50		absid 8113	. . . . . . . . 9 |- (((exp` -u(Im` A)) e. RR /\ 0 <_ (exp` -u(Im` A))) -> (abs` (exp` -u(Im` A))) = (exp` -u(Im` A)))
51	43, 49, 50	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (abs` (exp` -u(Im` A))) = (exp` -u(Im` A)))
52	41, 51	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> ((abs` (exp` (_i x. (Re` A)))) x. (abs` (exp` -u(Im` A)))) = (1 x. (exp` -u(Im` A))))
53		mulid2 6578	. . . . . . . 8 |- ((exp` -u(Im` A)) e. CC -> (1 x. (exp` -u(Im` A))) = (exp` -u(Im` A)))
54	37, 53	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (1 x. (exp` -u(Im` A))) = (exp` -u(Im` A)))
55	39, 52, 54	3eqtrrd 1930	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (exp` -u(Im` A)) = (abs` ((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A)))))
56		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A))) = 1 -> (abs` ((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A)))) = (abs` 1))
57	55, 56	sylan9eq 1948	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ ((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A))) = 1) -> (exp` -u(Im` A)) = (abs` 1))
58	57	ex 402	. . . 4 |- (A e. CC -> (((exp` (_i x. (Re` A))) x. (exp` -u(Im` A))) = 1 -> (exp` -u(Im` A)) = (abs` 1)))
59	33, 58	sylbid 220	. . 3 |- (A e. CC -> ((exp` (_i x. A)) = 1 -> (exp` -u(Im` A)) = (abs` 1)))
60		negeq0 6984	. . . . 5 |- ((Im` A) e. CC -> ((Im` A) = 0 <-> -u(Im` A) = 0))
61	8, 60	syl 12	. . . 4 |- (A e. CC -> ((Im` A) = 0 <-> -u(Im` A) = 0))
62		reim0b 8025	. . . 4 |- (A e. CC -> (A e. RR <-> (Im` A) = 0))
63		reef11 8674	. . . . . 6 |- ((-u(Im` A) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((exp` -u(Im` A)) = (exp` 0) <-> -u(Im` A) = 0))
64	63, 28, 46	sylancl 525	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((exp` -u(Im` A)) = (exp` 0) <-> -u(Im` A) = 0))
65		ef0 8597	. . . . . . 7 |- (exp` 0) = 1
66		1re 6598	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
67		lt01 6871	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
68	46, 66, 67	ltleii 6756	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
69	66	absidi 8112	. . . . . . . 8 |- (0 <_ 1 -> (abs` 1) = 1)
70	68, 69	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (abs` 1) = 1
71	65, 70	eqtr4i 1911	. . . . . 6 |- (exp` 0) = (abs` 1)
72	71	eqeq2i 1894	. . . . 5 |- ((exp` -u(Im` A)) = (exp` 0) <-> (exp` -u(Im` A)) = (abs` 1))
73	64, 72	syl5bbr 593	. . . 4 |- (A e. CC -> ((exp` -u(Im` A)) = (abs` 1) <-> -u(Im` A) = 0))
74	61, 62, 73	3bitr4rd 610	. . 3 |- (A e. CC -> ((exp` -u(Im` A)) = (abs` 1) <-> A e. RR))
75	59, 74	sylibd 219	. 2 |- (A e. CC -> ((exp` (_i x. A)) = 1 -> A e. RR))
76	75	imp 377	1 |- ((A e. CC /\ (exp` (_i x. A)) = 1) -> A e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391  -ucneg 6446   <_ cle 6448   < clt 6653  Recre 7997  Imcim 7998  abscabs 8000  expce 8555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-bc 8209  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560  df-sin 8562  df-cos 8563

Copyright terms: Public domain