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Theorem efieq1re 12755
Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
efieq1re  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  1 )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem efieq1re
StepHypRef Expression
1 replim 11876 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
21oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
3 recl 11870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
5 ax-icn 9005 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
6 imcl 11871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
76recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
8 mulcl 9030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
95, 7, 8sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
10 adddi 9035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC  /\  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
115, 10mp3an1 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
124, 9, 11syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
13 ixi 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
1413oveq1i 6050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( -u 1  x.  ( Im `  A
) )
15 mulass 9034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
165, 5, 15mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
177, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
187mulm1d 9441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( Im
`  A ) )  =  -u ( Im `  A ) )
1914, 17, 183eqtr3a 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
2019oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  -u (
Im `  A )
) )
2112, 20eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  -u (
Im `  A )
) )
222, 21eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  + 
-u ( Im `  A ) ) )
2322fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  -u (
Im `  A )
) ) )
24 mulcl 9030 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
255, 4, 24sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Re `  A ) )  e.  CC )
266renegcld 9420 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
2726recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  CC )
28 efadd 12651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC  /\  -u ( Im `  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  -u (
Im `  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
2925, 27, 28syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  + 
-u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) )  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )
3023, 29eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
3130eqeq1d 2412 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  <->  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1 ) )
32 efcl 12640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( Re
`  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  e.  CC )
3325, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  e.  CC )
34 efcl 12640 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( Im `  A )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  CC )
3527, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  CC )
3633, 35absmuld 12211 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) )  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) ) )  x.  ( abs `  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) ) )
37 absefi 12752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  A )  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  1 )
383, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  1 )
3926reefcld 12645 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  RR )
40 efgt0 12659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( Im `  A )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4126, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
42 0re 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
43 ltle 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( exp `  -u (
Im `  A )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( exp `  -u (
Im `  A )
)  ->  0  <_  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
4442, 43mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  e.  RR  ->  ( 0  <  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( exp `  -u ( Im `  A
) ) ) )
4539, 41, 44sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4639, 45absidd 12180 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4738, 46oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  x.  ( abs `  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
4835mulid2d 9062 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4936, 47, 483eqtrrd 2441 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) ) )
50 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1  ->  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )  =  ( abs `  1
) )
5149, 50sylan9eq 2456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1 )  ->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  ( abs `  1 ) )
5251ex 424 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1  ->  ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 ) ) )
5331, 52sylbid 207 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  -> 
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 ) ) )
547negeq0d 9359 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  0  <->  -u (
Im `  A )  =  0 ) )
55 reim0b 11879 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
56 ef0 12648 . . . . . . 7  |-  ( exp `  0 )  =  1
57 abs1 12057 . . . . . . 7  |-  ( abs `  1 )  =  1
5856, 57eqtr4i 2427 . . . . . 6  |-  ( exp `  0 )  =  ( abs `  1
)
5958eqeq2i 2414 . . . . 5  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  ( abs `  1 ) )
60 reef11 12675 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( exp `  0
)  <->  -u ( Im `  A )  =  0 ) )
6126, 42, 60sylancl 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
6259, 61syl5bbr 251 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
6354, 55, 623bitr4rd 278 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 )  <->  A  e.  RR ) )
6453, 63sylibd 206 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  ->  A  e.  RR )
)
6564imp 419 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  1 )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077   -ucneg 9248   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994   expce 12619
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628
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