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Theorem efieq1re 13475
Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
efieq1re  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  1 )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem efieq1re
StepHypRef Expression
1 replim 12597 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
21oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
3 recl 12591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
5 ax-icn 9333 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
6 imcl 12592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
76recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
8 mulcl 9358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
95, 7, 8sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
10 adddi 9363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC  /\  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
115, 10mp3an1 1301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
124, 9, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
13 ixi 9957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
1413oveq1i 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( -u 1  x.  ( Im `  A
) )
15 mulass 9362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
165, 5, 15mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
177, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
187mulm1d 9788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( Im
`  A ) )  =  -u ( Im `  A ) )
1914, 17, 183eqtr3a 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
2019oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  -u (
Im `  A )
) )
2112, 20eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  -u (
Im `  A )
) )
222, 21eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  + 
-u ( Im `  A ) ) )
2322fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  -u (
Im `  A )
) ) )
24 mulcl 9358 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
255, 4, 24sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Re `  A ) )  e.  CC )
266renegcld 9767 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
2726recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  CC )
28 efadd 13371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC  /\  -u ( Im `  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  -u (
Im `  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
2925, 27, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  + 
-u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) )  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )
3023, 29eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
3130eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  <->  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1 ) )
32 efcl 13360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( Re
`  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  e.  CC )
3325, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  e.  CC )
34 efcl 13360 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( Im `  A )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  CC )
3527, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  CC )
3633, 35absmuld 12932 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) )  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) ) )  x.  ( abs `  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) ) )
37 absefi 13472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  A )  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  1 )
383, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  1 )
3926reefcld 13365 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  RR )
40 efgt0 13379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( Im `  A )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4126, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
42 0re 9378 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
43 ltle 9455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( exp `  -u (
Im `  A )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( exp `  -u (
Im `  A )
)  ->  0  <_  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
4442, 43mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  e.  RR  ->  ( 0  <  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( exp `  -u ( Im `  A
) ) ) )
4539, 41, 44sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4639, 45absidd 12901 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4738, 46oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  x.  ( abs `  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
4835mulid2d 9396 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4936, 47, 483eqtrrd 2475 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) ) )
50 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1  ->  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )  =  ( abs `  1
) )
5149, 50sylan9eq 2490 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1 )  ->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  ( abs `  1 ) )
5251ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1  ->  ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 ) ) )
5331, 52sylbid 215 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  -> 
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 ) ) )
547negeq0d 9703 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  0  <->  -u (
Im `  A )  =  0 ) )
55 reim0b 12600 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
56 ef0 13368 . . . . . . 7  |-  ( exp `  0 )  =  1
57 abs1 12778 . . . . . . 7  |-  ( abs `  1 )  =  1
5856, 57eqtr4i 2461 . . . . . 6  |-  ( exp `  0 )  =  ( abs `  1
)
5958eqeq2i 2448 . . . . 5  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  ( abs `  1 ) )
60 reef11 13395 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( exp `  0
)  <->  -u ( Im `  A )  =  0 ) )
6126, 42, 60sylancl 662 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
6259, 61syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
6354, 55, 623bitr4rd 286 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 )  <->  A  e.  RR ) )
6453, 63sylibd 214 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  ->  A  e.  RR )
)
6564imp 429 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  1 )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   _ici 9276    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411   -ucneg 9588   Recre 12578   Imcim 12579   abscabs 12715   expce 13339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348
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