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Theorem efieq1re 13600
Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
efieq1re  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  1 )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem efieq1re
StepHypRef Expression
1 replim 12722 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
21oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
3 recl 12716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 9522 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
5 ax-icn 9451 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
6 imcl 12717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
76recnd 9522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
8 mulcl 9476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
95, 7, 8sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
10 adddi 9481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC  /\  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
115, 10mp3an1 1302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
124, 9, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
13 ixi 10075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
1413oveq1i 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( -u 1  x.  ( Im `  A
) )
15 mulass 9480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
165, 5, 15mp3an12 1305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
177, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
187mulm1d 9906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( Im
`  A ) )  =  -u ( Im `  A ) )
1914, 17, 183eqtr3a 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
2019oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  -u (
Im `  A )
) )
2112, 20eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  -u (
Im `  A )
) )
222, 21eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  + 
-u ( Im `  A ) ) )
2322fveq2d 5802 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  -u (
Im `  A )
) ) )
24 mulcl 9476 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
255, 4, 24sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Re `  A ) )  e.  CC )
266renegcld 9885 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
2726recnd 9522 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  CC )
28 efadd 13496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC  /\  -u ( Im `  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  -u (
Im `  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
2925, 27, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  + 
-u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) )  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )
3023, 29eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
3130eqeq1d 2456 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  <->  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1 ) )
32 efcl 13485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( Re
`  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  e.  CC )
3325, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  e.  CC )
34 efcl 13485 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( Im `  A )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  CC )
3527, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  CC )
3633, 35absmuld 13057 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) )  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) ) )  x.  ( abs `  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) ) )
37 absefi 13597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  A )  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  1 )
383, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  1 )
3926reefcld 13490 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  RR )
40 efgt0 13504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( Im `  A )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4126, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
42 0re 9496 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
43 ltle 9573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( exp `  -u (
Im `  A )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( exp `  -u (
Im `  A )
)  ->  0  <_  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
4442, 43mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  e.  RR  ->  ( 0  <  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( exp `  -u ( Im `  A
) ) ) )
4539, 41, 44sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4639, 45absidd 13026 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4738, 46oveq12d 6217 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  x.  ( abs `  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
4835mulid2d 9514 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4936, 47, 483eqtrrd 2500 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) ) )
50 fveq2 5798 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1  ->  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )  =  ( abs `  1
) )
5149, 50sylan9eq 2515 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1 )  ->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  ( abs `  1 ) )
5251ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1  ->  ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 ) ) )
5331, 52sylbid 215 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  -> 
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 ) ) )
547negeq0d 9821 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  0  <->  -u (
Im `  A )  =  0 ) )
55 reim0b 12725 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
56 ef0 13493 . . . . . . 7  |-  ( exp `  0 )  =  1
57 abs1 12903 . . . . . . 7  |-  ( abs `  1 )  =  1
5856, 57eqtr4i 2486 . . . . . 6  |-  ( exp `  0 )  =  ( abs `  1
)
5958eqeq2i 2472 . . . . 5  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  ( abs `  1 ) )
60 reef11 13520 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( exp `  0
)  <->  -u ( Im `  A )  =  0 ) )
6126, 42, 60sylancl 662 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
6259, 61syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
6354, 55, 623bitr4rd 286 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 )  <->  A  e.  RR ) )
6453, 63sylibd 214 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  ->  A  e.  RR )
)
6564imp 429 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  1 )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393   _ici 9394    + caddc 9395    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529   -ucneg 9706   Recre 12703   Imcim 12704   abscabs 12840   expce 13464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-ico 11416  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-sin 13472  df-cos 13473
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