Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efiatan2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem efiatan2 23922
 Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
efiatan2 arctan arctan

Proof of Theorem efiatan2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9616 . . . . 5
2 atancl 23886 . . . . 5 arctan arctan
3 mulcl 9641 . . . . 5 arctan arctan
41, 2, 3sylancr 676 . . . 4 arctan arctan
5 efcl 14214 . . . 4 arctan arctan
64, 5syl 17 . . 3 arctan arctan
7 ax-1cn 9615 . . . . 5
8 atandm2 23882 . . . . . . 7 arctan
98simp1bi 1045 . . . . . 6 arctan
109sqcld 12452 . . . . 5 arctan
11 addcl 9639 . . . . 5
127, 10, 11sylancr 676 . . . 4 arctan
1312sqrtcld 13576 . . 3 arctan
1412sqsqrtd 13578 . . . . 5 arctan
15 atandm4 23884 . . . . . 6 arctan
1615simprbi 471 . . . . 5 arctan
1714, 16eqnetrd 2710 . . . 4 arctan
18 sqne0 12379 . . . . 5
1913, 18syl 17 . . . 4 arctan
2017, 19mpbid 215 . . 3 arctan
216, 13, 20divcan4d 10411 . 2 arctan arctan arctan
22 halfcn 10852 . . . . . . 7
2312, 16logcld 23599 . . . . . . 7 arctan
24 mulcl 9641 . . . . . . 7
2522, 23, 24sylancr 676 . . . . . 6 arctan
26 efadd 14225 . . . . . 6 arctan arctan arctan
274, 25, 26syl2anc 673 . . . . 5 arctan arctan arctan
28 2cn 10702 . . . . . . . . . . . 12
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 arctan
30 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . 14
311, 9, 30sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13 arctan
32 addcl 9639 . . . . . . . . . . . . 13
337, 31, 32sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12 arctan
348simp3bi 1047 . . . . . . . . . . . 12 arctan
3533, 34logcld 23599 . . . . . . . . . . 11 arctan
3629, 35, 4subdid 10095 . . . . . . . . . 10 arctan arctan arctan
37 atanval 23889 . . . . . . . . . . . . 13 arctan arctan
3837oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12 arctan arctan
391a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 arctan
4029, 39, 2mulassd 9684 . . . . . . . . . . . 12 arctan arctan arctan
41 halfcl 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
421, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4328, 1, 42mulassi 9670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4428, 1, 42mul12i 9846 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
461, 28, 45divcan2i 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4746oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 ixi 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4947, 48eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5043, 44, 493eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . 14
52 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
537, 31, 52sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 arctan
548simp2bi 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 arctan
5553, 54logcld 23599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 arctan
5655, 35subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15 arctan
5756mulm1d 10091 . . . . . . . . . . . . . 14 arctan
5851, 57syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . 13 arctan
59 2mulicn 10859 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 arctan
6142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 arctan
6260, 61, 56mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . 13 arctan
6355, 35negsubdi2d 10021 . . . . . . . . . . . . 13 arctan
6458, 62, 633eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . 12 arctan
6538, 40, 643eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11 arctan arctan
6665oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 arctan arctan
67 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . 13
6828, 35, 67sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12 arctan
6968, 35, 55subsubd 10033 . . . . . . . . . . 11 arctan
70352timesd 10878 . . . . . . . . . . . . . 14 arctan
7170oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 arctan
7235, 35pncand 10006 . . . . . . . . . . . . 13 arctan
7371, 72eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12 arctan
7473oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 arctan
75 atanlogadd 23919 . . . . . . . . . . . . 13 arctan
76 logef 23610 . . . . . . . . . . . . 13
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 arctan
78 efadd 14225 . . . . . . . . . . . . . . 15
7935, 55, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 arctan
80 eflog 23605 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8133, 34, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 arctan
82 eflog 23605 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8353, 54, 82syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 arctan
8481, 83oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14 arctan
85 sq1 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 arctan
87 sqmul 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
881, 9, 87sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 arctan
89 i2 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9089oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9110mulm1d 10091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 arctan
9290, 91syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 arctan
9388, 92eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 arctan
9486, 93oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15 arctan
95 subsq 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
967, 31, 95sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15 arctan
97 subneg 9943 . . . . . . . . . . . . . . . 16
987, 10, 97sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15 arctan
9994, 96, 983eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14 arctan
10079, 84, 993eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13 arctan
101100fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12 arctan
10277, 101eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . 11 arctan
10369, 74, 1023eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10 arctan
10436, 66, 1033eqtrd 2509 . . . . . . . . 9 arctan arctan
105104oveq1d 6323 . . . . . . . 8 arctan arctan
10635, 4subcld 10005 . . . . . . . . 9 arctan arctan
10745a1i 11 . . . . . . . . 9 arctan
108106, 29, 107divcan3d 10410 . . . . . . . 8 arctan arctan arctan
10923, 29, 107divrec2d 10409 . . . . . . . 8 arctan
110105, 108, 1093eqtr3d 2513 . . . . . . 7 arctan arctan
11135, 4, 25subaddd 10023 . . . . . . 7 arctan arctan arctan
112110, 111mpbid 215 . . . . . 6 arctan arctan
113112fveq2d 5883 . . . . 5 arctan arctan
11427, 113eqtr3d 2507 . . . 4 arctan arctan
11522a1i 11 . . . . . . 7 arctan
11612, 16, 115cxpefd 23736 . . . . . 6 arctan
117 cxpsqrt 23727 . . . . . . 7
11812, 117syl 17 . . . . . 6 arctan
119116, 118eqtr3d 2507 . . . . 5 arctan
120119oveq2d 6324 . . . 4 arctan arctan arctan
121114, 120, 813eqtr3d 2513 . . 3 arctan arctan
122121oveq1d 6323 . 2 arctan arctan
12321, 122eqtr3d 2507 1 arctan arctan
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   cdm 4839   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cc0 9557  c1 9558  ci 9559   caddc 9560   cmul 9562   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  c2 10681  cexp 12310  csqrt 13373  ce 14191  clog 23583   ccxp 23584  arctancatan 23869 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-atan 23872 This theorem is referenced by:  cosatan  23926
 Copyright terms: Public domain W3C validator