Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem efgval 17445
 Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
Assertion
Ref Expression
efgval splice
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem efgval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.r . 2 ~FG
2 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12
3 2on 7208 . . . . . . . . . . . . 13
43elexi 3041 . . . . . . . . . . . 12
52, 4xpex 6614 . . . . . . . . . . 11
6 wrdexg 12729 . . . . . . . . . . 11 Word
7 fvi 5937 . . . . . . . . . . 11 Word Word Word
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10 Word Word
9 xpeq1 4853 . . . . . . . . . . . 12
10 wrdeq 12740 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 Word Word
1211fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 Word Word
138, 12syl5eqr 2519 . . . . . . . . 9 Word Word
14 efgval.w . . . . . . . . 9 Word
1513, 14syl6eqr 2523 . . . . . . . 8 Word
16 ereq2 7389 . . . . . . . 8 Word Word
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 Word
18 raleq 2973 . . . . . . . . 9 splice splice
1918ralbidv 2829 . . . . . . . 8 splice splice
2015, 19raleqbidv 2987 . . . . . . 7 Word splice splice
2117, 20anbi12d 725 . . . . . 6 Word Word splice splice
2221abbidv 2589 . . . . 5 Word Word splice splice
2322inteqd 4231 . . . 4 Word Word splice splice
24 df-efg 17437 . . . 4 ~FG Word Word splice
2514efglem 17444 . . . . 5 splice
26 intexab 4559 . . . . 5 splice splice
2725, 26mpbi 213 . . . 4 splice
2823, 24, 27fvmpt 5963 . . 3 ~FG splice
29 fvprc 5873 . . . 4 ~FG
30 abn0 3754 . . . . . . . 8 splice splice
3125, 30mpbir 214 . . . . . . 7 splice
32 intssuni 4248 . . . . . . 7 splice splice splice
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 splice splice
34 erssxp 7404 . . . . . . . . . . . 12
3514efgrcl 17443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
3635simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736con3i 142 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837eq0rdv 3773 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938xpeq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . 14
40 xp0 5261 . . . . . . . . . . . . . 14
4139, 40syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13
42 ss0b 3767 . . . . . . . . . . . . 13
4341, 42sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12
4434, 43sylan9ssr 3432 . . . . . . . . . . 11
4544ex 441 . . . . . . . . . 10
4645adantrd 475 . . . . . . . . 9 splice
4746alrimiv 1781 . . . . . . . 8 splice
48 sseq1 3439 . . . . . . . . 9
4948ralab2 3191 . . . . . . . 8 splice splice
5047, 49sylibr 217 . . . . . . 7 splice
51 unissb 4221 . . . . . . 7 splice splice
5250, 51sylibr 217 . . . . . 6 splice
5333, 52syl5ss 3429 . . . . 5 splice
54 ss0 3768 . . . . 5 splice splice
5553, 54syl 17 . . . 4 splice
5629, 55eqtr4d 2508 . . 3 ~FG splice
5728, 56pm2.61i 169 . 2 ~FG splice
581, 57eqtri 2493 1 splice
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376  wal 1450   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  c0 3722  cop 3965  cotp 3967  cuni 4190  cint 4226   class class class wbr 4395   cid 4749   cxp 4837  con0 5430  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1o 7193  c2o 7194   wer 7378  cc0 9557  cfz 11810  chash 12553  Word cword 12703   splice csplice 12708  cs2 12996   ~FG cefg 17434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-s2 13003  df-efg 17437 This theorem is referenced by:  efger  17446  efgi  17447  efgval2  17452  frgpuplem  17500
 Copyright terms: Public domain W3C validator