Theorem efgval 16608

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efgval	|- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Distinct variable groups:   y, r, z, n, x, W   .~ , r, x, y, z   n, I, r, x, y, z

Allowed substitution hint:   .~ ( n)

Proof of Theorem efgval

Dummy variables i w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.r	. 2 |- .~ = ( ~FG ` I )
2		vex 3121	. . . . . . . . . . . 12 |- i e. _V
3		2on 7150	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. On
4	3	elexi 3128	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. _V
5	2, 4	xpex 6599	. . . . . . . . . . 11 |- ( i X. 2o ) e. _V
6		wrdexg 12538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i X. 2o ) e. _V -> Word ( i X. 2o ) e. _V )
7		fvi 5931	. . . . . . . . . . 11 |- (Word ( i X. 2o ) e. _V -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o )
9		xpeq1 5019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) )
10		wrdeq 12545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
12	11	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
13	8, 12	syl5eqr 2522	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
14		efgval.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
15	13, 14	syl6eqr 2526	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = W )
16		ereq2 7331	. . . . . . . 8 |- (Word ( i X. 2o ) = W -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
18		raleq 3063	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> ( A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
19	18	ralbidv 2906	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
20	15, 19	raleqbidv 3077	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
21	17, 20	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) ) )
22	21	abbidv 2603	. . . . 5 |- ( i = I -> { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
23	22	inteqd 4293	. . . 4 |- ( i = I -> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
24		df-efg 16600	. . . 4 |- ~FG = ( i e. _V |-> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
25	14	efglem 16607	. . . . 5 |- E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) )
26		intexab 4611	. . . . 5 |- ( E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V )
27	25, 26	mpbi 208	. . . 4 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V
28	23, 24, 27	fvmpt 5957	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
29		fvprc 5866	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = (/) )
30		abn0 3809	. . . . . . . 8 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) <-> E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
31	25, 30	mpbir 209	. . . . . . 7 |- { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/)
32		intssuni 4310	. . . . . . 7 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . 6 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
34		erssxp 7346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r Er W -> r C_ ( W X. W ) )
35	14	efgrcl 16606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. W -> ( I e. _V /\ W = Word ( I X. 2o ) ) )
36	35	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. W -> I e. _V )
37	36	con3i 135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. I e. _V -> -. x e. W )
38	37	eq0rdv 3825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. I e. _V -> W = (/) )
39	38	xpeq2d 5029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = ( W X. (/) ) )
40		xp0 5431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W X. (/) ) = (/)
41	39, 40	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = (/) )
42		ss0b 3820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W X. W ) C_ (/) <-> ( W X. W ) = (/) )
43	41, 42	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) C_ (/) )
44	34, 43	sylan9ssr 3523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. I e. _V /\ r Er W ) -> r C_ (/) )
45	44	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( -. I e. _V -> ( r Er W -> r C_ (/) ) )
46	45	adantrd 468	. . . . . . . . 9 |- ( -. I e. _V -> ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
47	46	alrimiv 1695	. . . . . . . 8 |- ( -. I e. _V -> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
48		sseq1 3530	. . . . . . . . 9 |- ( w = r -> ( w C_ (/) <-> r C_ (/) ) )
49	48	ralab2 3273	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) <-> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
50	47, 49	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
51		unissb 4283	. . . . . . 7 |- ( U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) <-> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
52	50, 51	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
53	33, 52	syl5ss 3520	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
54		ss0 3821	. . . . 5 |- ( |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
55	53, 54	syl 16	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
56	29, 55	eqtr4d 2511	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
57	28, 56	pm2.61i 164	. 2 |- ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
58	1, 57	eqtri 2496	1 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   C_ wss 3481   (/)c0 3790   <.cop 4039   <.cotp 4041   U.cuni 4251   |^|cint 4288   class class class wbr 4453   _I cid 4796   Oncon0 4884   X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1oc1o 7135   2oc2o 7136   Er wer 7320   0cc0 9504   ...cfz 11684   #chash 12385  Word cword 12515   splice csplice 12520   <"cs2 12786   ~_FG cefg 16597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-s2 12793  df-efg 16600

This theorem is referenced by:  efger  16609  efgi  16610  efgval2  16615  frgpuplem  16663