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Theorem efgval 16713
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgval  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
Distinct variable groups:    y, r,
z, n, x, W    .~ , r, x, y, z   
n, I, r, x, y, z
Allowed substitution hint:    .~ ( n)

Proof of Theorem efgval
Dummy variables  i  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.r . 2  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 vex 3098 . . . . . . . . . . . 12  |-  i  e. 
_V
3 2on 7140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  On
43elexi 3105 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  _V
52, 4xpex 6589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  X.  2o )  e. 
_V
6 wrdexg 12538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( i  X.  2o )  e. 
_V )
7 fvi 5915 . . . . . . . . . . 11  |-  (Word  (
i  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( i  X.  2o ) )  = Word  ( i  X.  2o ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
` Word  ( i  X.  2o ) )  = Word  ( i  X.  2o )
9 xpeq1 5003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  (
i  X.  2o )  =  ( I  X.  2o ) )
10 wrdeq 12545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  X.  2o )  =  ( I  X.  2o )  -> Word  ( i  X.  2o )  = Word  ( I  X.  2o ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  -> Word  ( i  X.  2o )  = Word  ( I  X.  2o ) )
1211fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  I  ->  (  _I  ` Word  ( i  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
138, 12syl5eqr 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  -> Word  ( i  X.  2o )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
14 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
1513, 14syl6eqr 2502 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  -> Word  ( i  X.  2o )  =  W )
16 ereq2 7321 . . . . . . . 8  |-  (Word  (
i  X.  2o )  =  W  ->  (
r  Er Word  ( i  X.  2o )  <->  r  Er  W ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  (
r  Er Word  ( i  X.  2o )  <->  r  Er  W ) )
18 raleq 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  <->  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
1918ralbidv 2882 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  ( A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
2015, 19raleqbidv 3054 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e. Word  ( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
2117, 20anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( r  Er Word  (
i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  <->  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) ) )
2221abbidv 2579 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  { r  |  ( r  Er Word 
( i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
2322inteqd 4276 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  |^| { r  |  ( r  Er Word 
( i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
24 df-efg 16705 . . . 4  |- ~FG  =  ( i  e.  _V  |->  |^| { r  |  ( r  Er Word  (
i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
2514efglem 16712 . . . . 5  |-  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
26 intexab 4595 . . . . 5  |-  ( E. r ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
)  <->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  e.  _V )
2725, 26mpbi 208 . . . 4  |-  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  e.  _V
2823, 24, 27fvmpt 5941 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  ( ~FG  `  I
)  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } )
29 fvprc 5850 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ~FG  `  I )  =  (/) )
30 abn0 3790 . . . . . . . 8  |-  ( { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =/=  (/)  <->  E. r ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) )
3125, 30mpbir 209 . . . . . . 7  |-  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  =/=  (/)
32 intssuni 4294 . . . . . . 7  |-  ( { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =/=  (/) 
->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  U. { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6  |-  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  C_  U. {
r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
34 erssxp 7336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  Er  W  ->  r  C_  ( W  X.  W
) )
3514efgrcl 16711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
3635simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  W  ->  I  e.  _V )
3736con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  -.  x  e.  W )
3837eq0rdv 3806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  W  =  (/) )
3938xpeq2d 5013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( W  X.  W )  =  ( W  X.  (/) ) )
40 xp0 5415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  X.  (/) )  =  (/)
4139, 40syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( W  X.  W )  =  (/) )
42 ss0b 3801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  X.  W ) 
C_  (/)  <->  ( W  X.  W )  =  (/) )
4341, 42sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( W  X.  W ) 
C_  (/) )
4434, 43sylan9ssr 3503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  I  e.  _V  /\  r  Er  W )  ->  r  C_  (/) )
4544ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( r  Er  W  -> 
r  C_  (/) ) )
4645adantrd 468 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  C_  (/) ) )
4746alrimiv 1706 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  A. r ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  C_  (/) ) )
48 sseq1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  r  ->  (
w  C_  (/)  <->  r  C_  (/) ) )
4948ralab2 3250 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  C_  (/)  <->  A. r ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  C_  (/) ) )
5047, 49sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  C_  (/) )
51 unissb 4266 . . . . . . 7  |-  ( U. { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/)  <->  A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  C_  (/) )
5250, 51sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U. { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/) )
5333, 52syl5ss 3500 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  |^|
{ r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/) )
54 ss0 3802 . . . . 5  |-  ( |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/) 
->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  (/) )
5553, 54syl 16 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  |^|
{ r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  (/) )
5629, 55eqtr4d 2487 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ~FG  `  I )  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
5728, 56pm2.61i 164 . 2  |-  ( ~FG  `  I
)  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }
581, 57eqtri 2472 1  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1381    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   {cab 2428    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   <.cop 4020   <.cotp 4022   U.cuni 4234   |^|cint 4271   class class class wbr 4437    _I cid 4780   Oncon0 4868    X. cxp 4987   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1oc1o 7125   2oc2o 7126    Er wer 7310   0cc0 9495   ...cfz 11682   #chash 12386  Word cword 12515   splice csplice 12520   <"cs2 12787   ~FG cefg 16702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-hash 12387  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-s2 12794  df-efg 16705
This theorem is referenced by:  efger  16714  efgi  16715  efgval2  16720  frgpuplem  16768
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