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Theorem efgval 16608
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgval  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
Distinct variable groups:    y, r,
z, n, x, W    .~ , r, x, y, z   
n, I, r, x, y, z
Allowed substitution hint:    .~ ( n)

Proof of Theorem efgval
Dummy variables  i  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.r . 2  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  i  e. 
_V
3 2on 7150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  On
43elexi 3128 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  _V
52, 4xpex 6599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  X.  2o )  e. 
_V
6 wrdexg 12538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( i  X.  2o )  e. 
_V )
7 fvi 5931 . . . . . . . . . . 11  |-  (Word  (
i  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( i  X.  2o ) )  = Word  ( i  X.  2o ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
` Word  ( i  X.  2o ) )  = Word  ( i  X.  2o )
9 xpeq1 5019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  (
i  X.  2o )  =  ( I  X.  2o ) )
10 wrdeq 12545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  X.  2o )  =  ( I  X.  2o )  -> Word  ( i  X.  2o )  = Word  ( I  X.  2o ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  -> Word  ( i  X.  2o )  = Word  ( I  X.  2o ) )
1211fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  I  ->  (  _I  ` Word  ( i  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
138, 12syl5eqr 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  -> Word  ( i  X.  2o )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
14 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
1513, 14syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  -> Word  ( i  X.  2o )  =  W )
16 ereq2 7331 . . . . . . . 8  |-  (Word  (
i  X.  2o )  =  W  ->  (
r  Er Word  ( i  X.  2o )  <->  r  Er  W ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  (
r  Er Word  ( i  X.  2o )  <->  r  Er  W ) )
18 raleq 3063 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  <->  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
1918ralbidv 2906 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  ( A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
2015, 19raleqbidv 3077 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e. Word  ( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
2117, 20anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( r  Er Word  (
i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  <->  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) ) )
2221abbidv 2603 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  { r  |  ( r  Er Word 
( i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
2322inteqd 4293 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  |^| { r  |  ( r  Er Word 
( i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
24 df-efg 16600 . . . 4  |- ~FG  =  ( i  e.  _V  |->  |^| { r  |  ( r  Er Word  (
i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
2514efglem 16607 . . . . 5  |-  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
26 intexab 4611 . . . . 5  |-  ( E. r ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
)  <->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  e.  _V )
2725, 26mpbi 208 . . . 4  |-  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  e.  _V
2823, 24, 27fvmpt 5957 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  ( ~FG  `  I
)  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } )
29 fvprc 5866 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ~FG  `  I )  =  (/) )
30 abn0 3809 . . . . . . . 8  |-  ( { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =/=  (/)  <->  E. r ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) )
3125, 30mpbir 209 . . . . . . 7  |-  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  =/=  (/)
32 intssuni 4310 . . . . . . 7  |-  ( { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =/=  (/) 
->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  U. { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6  |-  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  C_  U. {
r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
34 erssxp 7346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  Er  W  ->  r  C_  ( W  X.  W
) )
3514efgrcl 16606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
3635simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  W  ->  I  e.  _V )
3736con3i 135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  -.  x  e.  W )
3837eq0rdv 3825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  W  =  (/) )
3938xpeq2d 5029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( W  X.  W )  =  ( W  X.  (/) ) )
40 xp0 5431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  X.  (/) )  =  (/)
4139, 40syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( W  X.  W )  =  (/) )
42 ss0b 3820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  X.  W ) 
C_  (/)  <->  ( W  X.  W )  =  (/) )
4341, 42sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( W  X.  W ) 
C_  (/) )
4434, 43sylan9ssr 3523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  I  e.  _V  /\  r  Er  W )  ->  r  C_  (/) )
4544ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( r  Er  W  -> 
r  C_  (/) ) )
4645adantrd 468 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  C_  (/) ) )
4746alrimiv 1695 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  A. r ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  C_  (/) ) )
48 sseq1 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  r  ->  (
w  C_  (/)  <->  r  C_  (/) ) )
4948ralab2 3273 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  C_  (/)  <->  A. r ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  C_  (/) ) )
5047, 49sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  C_  (/) )
51 unissb 4283 . . . . . . 7  |-  ( U. { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/)  <->  A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  C_  (/) )
5250, 51sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U. { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/) )
5333, 52syl5ss 3520 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  |^|
{ r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/) )
54 ss0 3821 . . . . 5  |-  ( |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/) 
->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  (/) )
5553, 54syl 16 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  |^|
{ r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  (/) )
5629, 55eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ~FG  `  I )  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
5728, 56pm2.61i 164 . 2  |-  ( ~FG  `  I
)  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }
581, 57eqtri 2496 1  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   (/)c0 3790   <.cop 4039   <.cotp 4041   U.cuni 4251   |^|cint 4288   class class class wbr 4453    _I cid 4796   Oncon0 4884    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1oc1o 7135   2oc2o 7136    Er wer 7320   0cc0 9504   ...cfz 11684   #chash 12385  Word cword 12515   splice csplice 12520   <"cs2 12786   ~FG cefg 16597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-s2 12793  df-efg 16600
This theorem is referenced by:  efger  16609  efgi  16610  efgval2  16615  frgpuplem  16663
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