Theorem efgval 17445

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efgval	|- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Distinct variable groups:   y, r, z, n, x, W   .~ , r, x, y, z   n, I, r, x, y, z

Allowed substitution hint:   .~ ( n)

Proof of Theorem efgval

Dummy variables i w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.r	. 2 |- .~ = ( ~FG ` I )
2		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- i e. _V
3		2on 7208	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. On
4	3	elexi 3041	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. _V
5	2, 4	xpex 6614	. . . . . . . . . . 11 |- ( i X. 2o ) e. _V
6		wrdexg 12729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i X. 2o ) e. _V -> Word ( i X. 2o ) e. _V )
7		fvi 5937	. . . . . . . . . . 11 |- (Word ( i X. 2o ) e. _V -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o )
9		xpeq1 4853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) )
10		wrdeq 12740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
12	11	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
13	8, 12	syl5eqr 2519	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
14		efgval.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
15	13, 14	syl6eqr 2523	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = W )
16		ereq2 7389	. . . . . . . 8 |- (Word ( i X. 2o ) = W -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
18		raleq 2973	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> ( A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
19	18	ralbidv 2829	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
20	15, 19	raleqbidv 2987	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
21	17, 20	anbi12d 725	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) ) )
22	21	abbidv 2589	. . . . 5 |- ( i = I -> { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
23	22	inteqd 4231	. . . 4 |- ( i = I -> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
24		df-efg 17437	. . . 4 |- ~FG = ( i e. _V |-> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
25	14	efglem 17444	. . . . 5 |- E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) )
26		intexab 4559	. . . . 5 |- ( E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V )
27	25, 26	mpbi 213	. . . 4 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V
28	23, 24, 27	fvmpt 5963	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
29		fvprc 5873	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = (/) )
30		abn0 3754	. . . . . . . 8 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) <-> E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
31	25, 30	mpbir 214	. . . . . . 7 |- { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/)
32		intssuni 4248	. . . . . . 7 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . 6 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
34		erssxp 7404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r Er W -> r C_ ( W X. W ) )
35	14	efgrcl 17443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. W -> ( I e. _V /\ W = Word ( I X. 2o ) ) )
36	35	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. W -> I e. _V )
37	36	con3i 142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. I e. _V -> -. x e. W )
38	37	eq0rdv 3773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. I e. _V -> W = (/) )
39	38	xpeq2d 4863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = ( W X. (/) ) )
40		xp0 5261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W X. (/) ) = (/)
41	39, 40	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = (/) )
42		ss0b 3767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W X. W ) C_ (/) <-> ( W X. W ) = (/) )
43	41, 42	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) C_ (/) )
44	34, 43	sylan9ssr 3432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. I e. _V /\ r Er W ) -> r C_ (/) )
45	44	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( -. I e. _V -> ( r Er W -> r C_ (/) ) )
46	45	adantrd 475	. . . . . . . . 9 |- ( -. I e. _V -> ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
47	46	alrimiv 1781	. . . . . . . 8 |- ( -. I e. _V -> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
48		sseq1 3439	. . . . . . . . 9 |- ( w = r -> ( w C_ (/) <-> r C_ (/) ) )
49	48	ralab2 3191	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) <-> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
50	47, 49	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
51		unissb 4221	. . . . . . 7 |- ( U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) <-> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
52	50, 51	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
53	33, 52	syl5ss 3429	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
54		ss0 3768	. . . . 5 |- ( |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
55	53, 54	syl 17	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
56	29, 55	eqtr4d 2508	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
57	28, 56	pm2.61i 169	. 2 |- ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
58	1, 57	eqtri 2493	1 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   (/)c0 3722   <.cop 3965   <.cotp 3967   U.cuni 4190   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   _I cid 4749   X. cxp 4837   Oncon0 5430   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1oc1o 7193   2oc2o 7194   Er wer 7378   0cc0 9557   ...cfz 11810   #chash 12553  Word cword 12703   splice csplice 12708   <"cs2 12996   ~_FG cefg 17434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-s2 13003  df-efg 17437

This theorem is referenced by:  efger  17446  efgi  17447  efgval2  17452  frgpuplem  17500