Theorem efgval 17379

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efgval	|- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Distinct variable groups:   y, r, z, n, x, W   .~ , r, x, y, z   n, I, r, x, y, z

Allowed substitution hint:   .~ ( n)

Proof of Theorem efgval

Dummy variables i w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.r	. 2 |- .~ = ( ~FG ` I )
2		vex 3050	. . . . . . . . . . . 12 |- i e. _V
3		2on 7195	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. On
4	3	elexi 3057	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. _V
5	2, 4	xpex 6600	. . . . . . . . . . 11 |- ( i X. 2o ) e. _V
6		wrdexg 12689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i X. 2o ) e. _V -> Word ( i X. 2o ) e. _V )
7		fvi 5927	. . . . . . . . . . 11 |- (Word ( i X. 2o ) e. _V -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o )
9		xpeq1 4851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) )
10		wrdeq 12696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
12	11	fveq2d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
13	8, 12	syl5eqr 2501	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
14		efgval.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
15	13, 14	syl6eqr 2505	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = W )
16		ereq2 7376	. . . . . . . 8 |- (Word ( i X. 2o ) = W -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
18		raleq 2989	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> ( A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
19	18	ralbidv 2829	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
20	15, 19	raleqbidv 3003	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
21	17, 20	anbi12d 718	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) ) )
22	21	abbidv 2571	. . . . 5 |- ( i = I -> { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
23	22	inteqd 4242	. . . 4 |- ( i = I -> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
24		df-efg 17371	. . . 4 |- ~FG = ( i e. _V |-> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
25	14	efglem 17378	. . . . 5 |- E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) )
26		intexab 4564	. . . . 5 |- ( E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V )
27	25, 26	mpbi 212	. . . 4 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V
28	23, 24, 27	fvmpt 5953	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
29		fvprc 5864	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = (/) )
30		abn0 3753	. . . . . . . 8 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) <-> E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
31	25, 30	mpbir 213	. . . . . . 7 |- { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/)
32		intssuni 4260	. . . . . . 7 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . 6 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
34		erssxp 7391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r Er W -> r C_ ( W X. W ) )
35	14	efgrcl 17377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. W -> ( I e. _V /\ W = Word ( I X. 2o ) ) )
36	35	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. W -> I e. _V )
37	36	con3i 141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. I e. _V -> -. x e. W )
38	37	eq0rdv 3771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. I e. _V -> W = (/) )
39	38	xpeq2d 4861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = ( W X. (/) ) )
40		xp0 5258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W X. (/) ) = (/)
41	39, 40	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = (/) )
42		ss0b 3766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W X. W ) C_ (/) <-> ( W X. W ) = (/) )
43	41, 42	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) C_ (/) )
44	34, 43	sylan9ssr 3448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. I e. _V /\ r Er W ) -> r C_ (/) )
45	44	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( -. I e. _V -> ( r Er W -> r C_ (/) ) )
46	45	adantrd 470	. . . . . . . . 9 |- ( -. I e. _V -> ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
47	46	alrimiv 1775	. . . . . . . 8 |- ( -. I e. _V -> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
48		sseq1 3455	. . . . . . . . 9 |- ( w = r -> ( w C_ (/) <-> r C_ (/) ) )
49	48	ralab2 3205	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) <-> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
50	47, 49	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
51		unissb 4232	. . . . . . 7 |- ( U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) <-> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
52	50, 51	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
53	33, 52	syl5ss 3445	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
54		ss0 3767	. . . . 5 |- ( |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
55	53, 54	syl 17	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
56	29, 55	eqtr4d 2490	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
57	28, 56	pm2.61i 168	. 2 |- ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
58	1, 57	eqtri 2475	1 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1444   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   {cab 2439   =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047   \ cdif 3403   C_ wss 3406   (/)c0 3733   <.cop 3976   <.cotp 3978   U.cuni 4201   |^|cint 4237   class class class wbr 4405   _I cid 4747   X. cxp 4835   Oncon0 5426   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1oc1o 7180   2oc2o 7181   Er wer 7365   0cc0 9544   ...cfz 11791   #chash 12522  Word cword 12663   splice csplice 12668   <"cs2 12944   ~_FG cefg 17368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-ot 3979  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12523  df-word 12671  df-concat 12673  df-s1 12674  df-substr 12675  df-splice 12676  df-s2 12951  df-efg 17371

This theorem is referenced by:  efger  17380  efgi  17381  efgval2  17386  frgpuplem  17434