Theorem efgval 15304

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efgval	|- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Distinct variable groups:   y, r, z, n, x, W   .~ , r, x, y, z   n, I, r, x, y, z

Allowed substitution hint:   .~ ( n)

Proof of Theorem efgval

Dummy variables i w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.r	. 2 |- .~ = ( ~FG ` I )
2		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- i e. _V
3		2on 6691	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. On
4	3	elexi 2925	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. _V
5	2, 4	xpex 4949	. . . . . . . . . . 11 |- ( i X. 2o ) e. _V
6		wrdexg 11694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i X. 2o ) e. _V -> Word ( i X. 2o ) e. _V )
7		fvi 5742	. . . . . . . . . . 11 |- (Word ( i X. 2o ) e. _V -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o )
9		xpeq1 4851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) )
10		wrdeq 11693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
12	11	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
13	8, 12	syl5eqr 2450	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
14		efgval.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
15	13, 14	syl6eqr 2454	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = W )
16		ereq2 6872	. . . . . . . 8 |- (Word ( i X. 2o ) = W -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
18		raleq 2864	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> ( A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
19	18	ralbidv 2686	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
20	15, 19	raleqbidv 2876	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
21	17, 20	anbi12d 692	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) ) )
22	21	abbidv 2518	. . . . 5 |- ( i = I -> { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
23	22	inteqd 4015	. . . 4 |- ( i = I -> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
24		df-efg 15296	. . . 4 |- ~FG = ( i e. _V |-> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
25	14	efglem 15303	. . . . 5 |- E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) )
26		intexab 4318	. . . . 5 |- ( E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V )
27	25, 26	mpbi 200	. . . 4 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V
28	23, 24, 27	fvmpt 5765	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
29		fvprc 5681	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = (/) )
30		abn0 3606	. . . . . . . 8 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) <-> E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
31	25, 30	mpbir 201	. . . . . . 7 |- { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/)
32		intssuni 4032	. . . . . . 7 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
33	31, 32	ax-mp 8	. . . . . 6 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
34		erssxp 6887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r Er W -> r C_ ( W X. W ) )
35	14	efgrcl 15302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. W -> ( I e. _V /\ W = Word ( I X. 2o ) ) )
36	35	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. W -> I e. _V )
37	36	con3i 129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. I e. _V -> -. x e. W )
38	37	eq0rdv 3622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. I e. _V -> W = (/) )
39	38	xpeq2d 4861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = ( W X. (/) ) )
40		xp0 5250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W X. (/) ) = (/)
41	39, 40	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = (/) )
42		ss0b 3617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W X. W ) C_ (/) <-> ( W X. W ) = (/) )
43	41, 42	sylibr 204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) C_ (/) )
44	34, 43	sylan9ssr 3322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. I e. _V /\ r Er W ) -> r C_ (/) )
45	44	ex 424	. . . . . . . . . 10 |- ( -. I e. _V -> ( r Er W -> r C_ (/) ) )
46	45	adantrd 455	. . . . . . . . 9 |- ( -. I e. _V -> ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
47	46	alrimiv 1638	. . . . . . . 8 |- ( -. I e. _V -> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
48		sseq1 3329	. . . . . . . . 9 |- ( w = r -> ( w C_ (/) <-> r C_ (/) ) )
49	48	ralab2 3059	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) <-> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
50	47, 49	sylibr 204	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
51		unissb 4005	. . . . . . 7 |- ( U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) <-> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
52	50, 51	sylibr 204	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
53	33, 52	syl5ss 3319	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
54		ss0 3618	. . . . 5 |- ( |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
55	53, 54	syl 16	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
56	29, 55	eqtr4d 2439	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
57	28, 56	pm2.61i 158	. 2 |- ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
58	1, 57	eqtri 2424	1 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   (/)c0 3588   <.cop 3777   <.cotp 3778   U.cuni 3975   |^|cint 4010   class class class wbr 4172   _I cid 4453   Oncon0 4541   X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   2oc2o 6677   Er wer 6861   0cc0 8946   ...cfz 10999   #chash 11573  Word cword 11672   splice csplice 11676   <"cs2 11760   ~_FG cefg 15293

This theorem is referenced by:  efger  15305  efgi  15306  efgval2  15311  frgpuplem  15359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-substr 11681  df-splice 11682  df-s2 11767  df-efg 15296