Theorem efgval 16219

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efgval	|- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Distinct variable groups:   y, r, z, n, x, W   .~ , r, x, y, z   n, I, r, x, y, z

Allowed substitution hint:   .~ ( n)

Proof of Theorem efgval

Dummy variables i w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.r	. 2 |- .~ = ( ~FG ` I )
2		vex 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- i e. _V
3		2on 6933	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. On
4	3	elexi 2987	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. _V
5	2, 4	xpex 6513	. . . . . . . . . . 11 |- ( i X. 2o ) e. _V
6		wrdexg 12249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i X. 2o ) e. _V -> Word ( i X. 2o ) e. _V )
7		fvi 5753	. . . . . . . . . . 11 |- (Word ( i X. 2o ) e. _V -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = Word ( i X. 2o )
9		xpeq1 4859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) )
10		wrdeq 12256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i X. 2o ) = ( I X. 2o ) -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = Word ( I X. 2o ) )
12	11	fveq2d 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( i = I -> ( _I ` Word ( i X. 2o ) ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
13	8, 12	syl5eqr 2489	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
14		efgval.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
15	13, 14	syl6eqr 2493	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> Word ( i X. 2o ) = W )
16		ereq2 7114	. . . . . . . 8 |- (Word ( i X. 2o ) = W -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( r Er Word ( i X. 2o ) <-> r Er W ) )
18		raleq 2922	. . . . . . . . 9 |- ( i = I -> ( A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
19	18	ralbidv 2740	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
20	15, 19	raleqbidv 2936	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) <-> A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
21	17, 20	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) ) )
22	21	abbidv 2562	. . . . 5 |- ( i = I -> { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
23	22	inteqd 4138	. . . 4 |- ( i = I -> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
24		df-efg 16211	. . . 4 |- ~FG = ( i e. _V |-> |^| { r | ( r Er Word ( i X. 2o ) /\ A. x e. Word ( i X. 2o ) A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. i A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
25	14	efglem 16218	. . . . 5 |- E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) )
26		intexab 4455	. . . . 5 |- ( E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) <-> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V )
27	25, 26	mpbi 208	. . . 4 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } e. _V
28	23, 24, 27	fvmpt 5779	. . 3 |- ( I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
29		fvprc 5690	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = (/) )
30		abn0 3661	. . . . . . . 8 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) <-> E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
31	25, 30	mpbir 209	. . . . . . 7 |- { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/)
32		intssuni 4155	. . . . . . 7 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . 6 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
34		erssxp 7129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r Er W -> r C_ ( W X. W ) )
35	14	efgrcl 16217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. W -> ( I e. _V /\ W = Word ( I X. 2o ) ) )
36	35	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. W -> I e. _V )
37	36	con3i 135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. I e. _V -> -. x e. W )
38	37	eq0rdv 3677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. I e. _V -> W = (/) )
39	38	xpeq2d 4869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = ( W X. (/) ) )
40		xp0 5261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W X. (/) ) = (/)
41	39, 40	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) = (/) )
42		ss0b 3672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W X. W ) C_ (/) <-> ( W X. W ) = (/) )
43	41, 42	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. I e. _V -> ( W X. W ) C_ (/) )
44	34, 43	sylan9ssr 3375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. I e. _V /\ r Er W ) -> r C_ (/) )
45	44	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( -. I e. _V -> ( r Er W -> r C_ (/) ) )
46	45	adantrd 468	. . . . . . . . 9 |- ( -. I e. _V -> ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
47	46	alrimiv 1685	. . . . . . . 8 |- ( -. I e. _V -> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
48		sseq1 3382	. . . . . . . . 9 |- ( w = r -> ( w C_ (/) <-> r C_ (/) ) )
49	48	ralab2 3129	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) <-> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r C_ (/) ) )
50	47, 49	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( -. I e. _V -> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
51		unissb 4128	. . . . . . 7 |- ( U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) <-> A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w C_ (/) )
52	50, 51	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( -. I e. _V -> U. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
53	33, 52	syl5ss 3372	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) )
54		ss0 3673	. . . . 5 |- ( |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } C_ (/) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
55	53, 54	syl 16	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = (/) )
56	29, 55	eqtr4d 2478	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } )
57	28, 56	pm2.61i 164	. 2 |- ( ~FG ` I ) = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
58	1, 57	eqtri 2463	1 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977   \ cdif 3330   C_ wss 3333   (/)c0 3642   <.cop 3888   <.cotp 3890   U.cuni 4096   |^|cint 4133   class class class wbr 4297   _I cid 4636   Oncon0 4724   X. cxp 4843   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   1oc1o 6918   2oc2o 6919   Er wer 7103   0cc0 9287   ...cfz 11442   #chash 12108  Word cword 12226   splice csplice 12231   <"cs2 12473   ~_FG cefg 16208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-ot 3891  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-hash 12109  df-word 12234  df-concat 12236  df-s1 12237  df-substr 12238  df-splice 12239  df-s2 12480  df-efg 16211

This theorem is referenced by:  efger  16220  efgi  16221  efgval2  16226  frgpuplem  16274