Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgtlen Structured version   Unicode version

Theorem efgtlen 16615
 Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
Assertion
Ref Expression
efgtlen
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,,   , ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,)   (,)   (,,,,)

Proof of Theorem efgtlen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 Word
2 efgval.r . . . . . . . 8 ~FG
3 efgval2.m . . . . . . . 8
4 efgval2.t . . . . . . . 8 splice
51, 2, 3, 4efgtf 16611 . . . . . . 7 splice
65simpld 459 . . . . . 6 splice
76rneqd 5236 . . . . 5 splice
87eleq2d 2537 . . . 4 splice
9 eqid 2467 . . . . 5 splice splice
10 ovex 6320 . . . . 5 splice
119, 10elrnmpt2 6410 . . . 4 splice splice
128, 11syl6bb 261 . . 3 splice
13 fviss 5932 . . . . . . . . 9 Word Word
141, 13eqsstri 3539 . . . . . . . 8 Word
15 simpl 457 . . . . . . . 8
1614, 15sseldi 3507 . . . . . . 7 Word
17 elfzuz 11696 . . . . . . . . 9
1817ad2antrl 727 . . . . . . . 8
19 eluzfz2b 11707 . . . . . . . 8
2018, 19sylib 196 . . . . . . 7
21 simprl 755 . . . . . . 7
22 simprr 756 . . . . . . . 8
233efgmf 16602 . . . . . . . . . 10
2423ffvelrni 6031 . . . . . . . . 9
2522, 24syl 16 . . . . . . . 8
2622, 25s2cld 12813 . . . . . . 7 Word
2716, 20, 21, 26spllen 12709 . . . . . 6 splice
28 s2len 12831 . . . . . . . . . 10
2928a1i 11 . . . . . . . . 9
30 eluzelcn 11105 . . . . . . . . . . 11
3118, 30syl 16 . . . . . . . . . 10
3231subidd 9930 . . . . . . . . 9
3329, 32oveq12d 6313 . . . . . . . 8
34 2cn 10618 . . . . . . . . 9
3534subid1i 9903 . . . . . . . 8
3633, 35syl6eq 2524 . . . . . . 7
3736oveq2d 6311 . . . . . 6
3827, 37eqtrd 2508 . . . . 5 splice
39 fveq2 5872 . . . . . 6 splice splice
4039eqeq1d 2469 . . . . 5 splice splice
4138, 40syl5ibrcom 222 . . . 4 splice
4241rexlimdvva 2966 . . 3 splice
4312, 42sylbid 215 . 2
4443imp 429 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818   cdif 3478  cop 4039  cotp 4041   cmpt 4511   cid 4796   cxp 5003   crn 5006  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  c1o 7135  c2o 7136  cc 9502  cc0 9504   caddc 9507   cmin 9817  c2 10597  cuz 11094  cfz 11684  chash 12385  Word cword 12514   splice csplice 12519  cs2 12785   ~FG cefg 16595 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12522  df-concat 12524  df-s1 12525  df-substr 12526  df-splice 12527  df-s2 12792 This theorem is referenced by:  efgsfo  16628  efgredlemg  16631  efgredlemd  16633  efgredlem  16636  frgpnabllem1  16748
 Copyright terms: Public domain W3C validator