MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt1p2 Structured version   Unicode version

Theorem efgt1p2 14146
Description: The exponential function of a positive real number is greater than the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( 1  +  A )  +  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  < 
( exp `  A
) )

Proof of Theorem efgt1p2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11193 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 1nn0 10885 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 df-2 10668 . . 3  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4 rpcn 11310 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
5 0nn0 10884 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
6 1e0p1 11079 . . . . 5  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7 0z 10948 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
8 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
98eftval 14109 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ^
0 )  /  ( ! `  0 )
) )
105, 9ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ^
0 )  /  ( ! `  0 )
)
11 eft0val 14144 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 0 )  /  ( ! `
 0 ) )  =  1 )
1210, 11syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  0
)  =  1 )
137, 12seq1i 12224 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) ` 
0 )  =  1 )
148eftval 14109 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 1 )  =  ( ( A ^
1 )  /  ( ! `  1 )
) )
152, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 1 )  =  ( ( A ^
1 )  /  ( ! `  1 )
)
16 fac1 12460 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1716oveq2i 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ 1 )  /  ( ! ` 
1 ) )  =  ( ( A ^
1 )  /  1
)
18 exp1 12275 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
1918oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 1 )  /  1 )  =  ( A  / 
1 ) )
20 div1 10298 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  1 )  =  A )
2119, 20eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 1 )  /  1 )  =  A )
2217, 21syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 1 )  /  ( ! `
 1 ) )  =  A )
2315, 22syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  1
)  =  A )
241, 5, 6, 13, 23seqp1i 12226 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) ` 
1 )  =  ( 1  +  A ) )
254, 24syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) ` 
1 )  =  ( 1  +  A ) )
26 2nn0 10886 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
278eftval 14109 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  ( ! `  2 )
) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  ( ! `  2 )
)
29 fac2 12462 . . . . . 6  |-  ( ! `
 2 )  =  2
3029oveq2i 6316 . . . . 5  |-  ( ( A ^ 2 )  /  ( ! ` 
2 ) )  =  ( ( A ^
2 )  /  2
)
3128, 30eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  2
)
3231a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  2
) )
331, 2, 3, 25, 32seqp1i 12226 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) ` 
2 )  =  ( ( 1  +  A
)  +  ( ( A ^ 2 )  /  2 ) ) )
34 id 23 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR+ )
3526a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  2  e. 
NN0 )
368, 34, 35effsumlt 14143 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  (  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) ` 
2 )  <  ( exp `  A ) )
3733, 36eqbrtrrd 4448 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( 1  +  A )  +  ( ( A ^ 2 )  / 
2 ) )  < 
( exp `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674    / cdiv 10268   2c2 10659   NN0cn0 10869   RR+crp 11302    seqcseq 12210   ^cexp 12269   !cfa 12456   expce 14092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099
This theorem is referenced by:  cxp2limlem  23766  pntpbnd1a  24286
  Copyright terms: Public domain W3C validator