MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt0 Structured version   Unicode version

Theorem efgt0 13939
Description: The exponential function of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt0  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  A
) )

Proof of Theorem efgt0
StepHypRef Expression
1 reefcl 13923 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  e.  RR )
2 rehalfcl 10726 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
32reefcld 13924 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
43sqge0d 12291 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
52recnd 9572 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
6 2z 10857 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
7 efexp 13937 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  (
2  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
85, 6, 7sylancl 660 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9 recn 9532 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
10 2cn 10567 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
11 2ne0 10589 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
12 divcan2 10176 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
1310, 11, 12mp3an23 1318 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
149, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
1514fveq2d 5809 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( exp `  A
) )
168, 15eqtr3d 2445 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( exp `  A
) )
174, 16breqtrd 4418 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( exp `  A
) )
18 efne0 13933 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  =/=  0 )
199, 18syl 17 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  =/=  0 )
201, 17, 19ne0gt0d 9674 1  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442    x. cmul 9447    < clt 9578    <_ cle 9579    / cdiv 10167   2c2 10546   ZZcz 10825   ^cexp 12120   expce 13898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-pm 7380  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-ico 11506  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904
This theorem is referenced by:  rpefcl  13940  eflt  13953  tanhlt1  13996  absef  14033  efieq1re  14035  rpcxpcl  23243  asinsinlem  23439  birthdaylem3  23501  pntpbnd1  24044  pntpbnd2  24045  xrge0iifcnv  28248
  Copyright terms: Public domain W3C validator