Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsp1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem efgsp1 17465
 Description: If is an extension sequence and is an extension of the last element of , then is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
Assertion
Ref Expression
efgsp1 ++
Distinct variable groups:   ,   ,,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem efgsp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 Word
2 efgval.r . . . . . . . 8 ~FG
3 efgval2.m . . . . . . . 8
4 efgval2.t . . . . . . . 8 splice
5 efgred.d . . . . . . . 8
6 efgred.s . . . . . . . 8 Word ..^
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 17458 . . . . . . 7 Word ..^
87simp1bi 1045 . . . . . 6 Word
98adantr 472 . . . . 5 Word
109eldifad 3402 . . . 4 Word
111, 2, 3, 4, 5, 6efgsf 17457 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^
1211fdmi 5746 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^
1312feq2i 5731 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^
1411, 13mpbir 214 . . . . . . . . . . 11
1514ffvelrni 6036 . . . . . . . . . 10
1615adantr 472 . . . . . . . . 9
171, 2, 3, 4efgtf 17450 . . . . . . . . 9 splice
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 splice
1918simprd 470 . . . . . . 7
20 frn 5747 . . . . . . 7
2119, 20syl 17 . . . . . 6
22 simpr 468 . . . . . 6
2321, 22sseldd 3419 . . . . 5
2423s1cld 12795 . . . 4 Word
25 ccatcl 12771 . . . 4 Word Word ++ Word
2610, 24, 25syl2anc 673 . . 3 ++ Word
27 ccatlen 12772 . . . . . . 7 Word Word ++
2810, 24, 27syl2anc 673 . . . . . 6 ++
29 s1len 12797 . . . . . . 7
3029oveq2i 6319 . . . . . 6
3128, 30syl6eq 2521 . . . . 5 ++
32 lencl 12737 . . . . . 6 Word
33 nn0p1nn 10933 . . . . . 6
3410, 32, 333syl 18 . . . . 5
3531, 34eqeltrd 2549 . . . 4 ++
36 wrdfin 12736 . . . . 5 ++ Word ++
37 hashnncl 12585 . . . . 5 ++ ++ ++
3826, 36, 373syl 18 . . . 4 ++ ++
3935, 38mpbid 215 . . 3 ++
40 eldifsn 4088 . . 3 ++ Word ++ Word ++
4126, 39, 40sylanbrc 677 . 2 ++ Word
42 eldifsni 4089 . . . . . . 7 Word
439, 42syl 17 . . . . . 6
44 wrdfin 12736 . . . . . . 7 Word
45 hashnncl 12585 . . . . . . 7
4610, 44, 453syl 18 . . . . . 6
4743, 46mpbird 240 . . . . 5
48 lbfzo0 11983 . . . . 5 ..^
4947, 48sylibr 217 . . . 4 ..^
50 ccatval1 12773 . . . 4 Word Word ..^ ++
5110, 24, 49, 50syl3anc 1292 . . 3 ++
527simp2bi 1046 . . . 4
5352adantr 472 . . 3
5451, 53eqeltrd 2549 . 2 ++
557simp3bi 1047 . . . . . 6 ..^
5655adantr 472 . . . . 5 ..^
57 fzo0ss1 11975 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
5857sseli 3414 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
59 ccatval1 12773 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ ++
6058, 59syl3an3 1327 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ ++
61 elfzoel2 11946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
62 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
6461zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
6564lem1d 10562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
66 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
68 fzoss2 11973 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^ ..^
70 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
71 elfzom1b 12039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
7270, 61, 71syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ ..^
7372ibi 249 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
7469, 73sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
75 ccatval1 12773 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ ++
7674, 75syl3an3 1327 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ ++
7776fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ ++
7877rneqd 5068 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ ++
7960, 78eleq12d 2543 . . . . . . . 8 Word Word ..^ ++ ++
80793expa 1231 . . . . . . 7 Word Word ..^ ++ ++
8180ralbidva 2828 . . . . . 6 Word Word ..^ ++ ++ ..^
8210, 24, 81syl2anc 673 . . . . 5 ..^ ++ ++ ..^
8356, 82mpbird 240 . . . 4 ..^ ++ ++
8410, 32syl 17 . . . . . . . . . 10
8584nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9
8685addid2d 9852 . . . . . . . 8
8786fveq2d 5883 . . . . . . 7 ++ ++
88 1nn 10642 . . . . . . . . . . 11
8929, 88eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10
9089a1i 11 . . . . . . . . 9
91 lbfzo0 11983 . . . . . . . . 9 ..^
9290, 91sylibr 217 . . . . . . . 8 ..^
93 ccatval3 12775 . . . . . . . 8 Word Word ..^ ++
9410, 24, 92, 93syl3anc 1292 . . . . . . 7 ++
9587, 94eqtr3d 2507 . . . . . 6 ++
96 s1fv 12801 . . . . . . . 8
9796adantl 473 . . . . . . 7
98 fzo0end 12032 . . . . . . . . . . . 12 ..^
9947, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 ..^
100 ccatval1 12773 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ ++
10110, 24, 99, 100syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 ++
1021, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 17459 . . . . . . . . . . 11
103102adantr 472 . . . . . . . . . 10
104101, 103eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9 ++
105104fveq2d 5883 . . . . . . . 8 ++
106105rneqd 5068 . . . . . . 7 ++
10722, 97, 1063eltr4d 2564 . . . . . 6 ++
10895, 107eqeltrd 2549 . . . . 5 ++ ++
109 fvex 5889 . . . . . 6
110 fveq2 5879 . . . . . . 7 ++ ++
111 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
112111fveq2d 5883 . . . . . . . . 9 ++ ++
113112fveq2d 5883 . . . . . . . 8 ++ ++
114113rneqd 5068 . . . . . . 7 ++ ++
115110, 114eleq12d 2543 . . . . . 6 ++ ++ ++ ++
116109, 115ralsn 4001 . . . . 5 ++ ++ ++ ++
117108, 116sylibr 217 . . . 4 ++ ++
118 ralunb 3606 . . . 4 ..^ ++ ++ ..^ ++ ++ ++ ++
11983, 117, 118sylanbrc 677 . . 3 ..^ ++ ++
12031oveq2d 6324 . . . . 5 ..^ ++ ..^
121 nnuz 11218 . . . . . . 7
12247, 121syl6eleq 2559 . . . . . 6
123 fzosplitsn 12048 . . . . . 6 ..^ ..^
124122, 123syl 17 . . . . 5 ..^ ..^
125120, 124eqtrd 2505 . . . 4 ..^ ++ ..^
126125raleqdv 2979 . . 3 ..^ ++ ++ ++ ..^ ++ ++
127119, 126mpbird 240 . 2 ..^ ++ ++ ++
1281, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 17458 . 2 ++ ++ Word ++ ..^ ++ ++ ++
12941, 54, 127, 128syl3anbrc 1214 1 ++
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cop 3965  cotp 3967  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cid 4749   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1o 7193  c2o 7194  cfn 7587  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  ..^cfzo 11942  chash 12553  Word cword 12703   ++ cconcat 12705  cs1 12706   splice csplice 12708  cs2 12996   ~FG cefg 17434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-s2 13003 This theorem is referenced by:  efgsfo  17467  efgredlemd  17472  efgrelexlemb  17478
 Copyright terms: Public domain W3C validator