MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsf Structured version   Unicode version

Theorem efgsf 16949
Description: Value of the auxiliary function  S defining a sequence of extensions starting at some irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsf  |-  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsf
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6  |-  ( m  =  t  ->  m  =  t )
2 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( m  =  t  ->  ( # `
 m )  =  ( # `  t
) )
32oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( m  =  t  ->  (
( # `  m )  -  1 )  =  ( ( # `  t
)  -  1 ) )
41, 3fveq12d 5854 . . . . 5  |-  ( m  =  t  ->  (
m `  ( ( # `
 m )  - 
1 ) )  =  ( t `  (
( # `  t )  -  1 ) ) )
54eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( m  =  t  ->  (
( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  ( t `  ( ( # `  t
)  -  1 ) )  e.  W ) )
65ralrab2 3262 . . 3  |-  ( A. m  e.  { t  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  |  ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  A. t  e.  (Word  W  \  { (/)
} ) ( ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( t `  (
( # `  t )  -  1 ) )  e.  W ) )
7 eldifi 3612 . . . . . 6  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
t  e. Word  W )
8 wrdf 12541 . . . . . 6  |-  ( t  e. Word  W  ->  t : ( 0..^ (
# `  t )
) --> W )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> W )
10 eldifsn 4141 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  <->  ( t  e. Word  W  /\  t  =/=  (/) ) )
11 lennncl 12553 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e. Word  W  /\  t  =/=  (/) )  ->  ( # `
 t )  e.  NN )
1210, 11sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( # `  t )  e.  NN )
13 fzo0end 11885 . . . . . 6  |-  ( (
# `  t )  e.  NN  ->  ( ( # `
 t )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  t
) ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( ( # `  t
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  t )
) )
159, 14ffvelrnd 6008 . . . 4  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( t `  (
( # `  t )  -  1 ) )  e.  W )
1615a1d 25 . . 3  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( t `  ( ( # `  t
)  -  1 ) )  e.  W ) )
176, 16mprgbir 2818 . 2  |-  A. m  e.  { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  ( ( # `  m
)  -  1 ) )  e.  W
18 efgred.s . . 3  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
1918fmpt 6028 . 2  |-  ( A. m  e.  { t  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  |  ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W )
2017, 19mpbi 208 1  |-  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   {crab 2808    \ cdif 3458   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   <.cotp 4024   U_ciun 4315    |-> cmpt 4497    _I cid 4779    X. cxp 4986   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   1oc1o 7115   2oc2o 7116   0cc0 9481   1c1 9482    - cmin 9796   NNcn 10531   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12390  Word cword 12521   splice csplice 12526   <"cs2 12800   ~FG cefg 16926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529
This theorem is referenced by:  efgsdm  16950  efgsval  16951  efgsp1  16957  efgsfo  16959  efgredleme  16963  efgred  16968
  Copyright terms: Public domain W3C validator