MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsf Structured version   Unicode version

Theorem efgsf 16245
Description: Value of the auxiliary function  S defining a sequence of extensions starting at some irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsf  |-  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsf
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6  |-  ( m  =  t  ->  m  =  t )
2 fveq2 5710 . . . . . . 7  |-  ( m  =  t  ->  ( # `
 m )  =  ( # `  t
) )
32oveq1d 6125 . . . . . 6  |-  ( m  =  t  ->  (
( # `  m )  -  1 )  =  ( ( # `  t
)  -  1 ) )
41, 3fveq12d 5716 . . . . 5  |-  ( m  =  t  ->  (
m `  ( ( # `
 m )  - 
1 ) )  =  ( t `  (
( # `  t )  -  1 ) ) )
54eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( m  =  t  ->  (
( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  ( t `  ( ( # `  t
)  -  1 ) )  e.  W ) )
65ralrab2 3144 . . 3  |-  ( A. m  e.  { t  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  |  ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  A. t  e.  (Word  W  \  { (/)
} ) ( ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( t `  (
( # `  t )  -  1 ) )  e.  W ) )
7 eldifi 3497 . . . . . 6  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
t  e. Word  W )
8 wrdf 12259 . . . . . 6  |-  ( t  e. Word  W  ->  t : ( 0..^ (
# `  t )
) --> W )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> W )
10 eldifsn 4019 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  <->  ( t  e. Word  W  /\  t  =/=  (/) ) )
11 lennncl 12269 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e. Word  W  /\  t  =/=  (/) )  ->  ( # `
 t )  e.  NN )
1210, 11sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( # `  t )  e.  NN )
13 fzo0end 11638 . . . . . 6  |-  ( (
# `  t )  e.  NN  ->  ( ( # `
 t )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  t
) ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( ( # `  t
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  t )
) )
159, 14ffvelrnd 5863 . . . 4  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( t `  (
( # `  t )  -  1 ) )  e.  W )
1615a1d 25 . . 3  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( t `  ( ( # `  t
)  -  1 ) )  e.  W ) )
176, 16mprgbir 2805 . 2  |-  A. m  e.  { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  ( ( # `  m
)  -  1 ) )  e.  W
18 efgred.s . . 3  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
1918fmpt 5883 . 2  |-  ( A. m  e.  { t  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  |  ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W )
2017, 19mpbi 208 1  |-  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2734   {crab 2738    \ cdif 3344   (/)c0 3656   {csn 3896   <.cop 3902   <.cotp 3904   U_ciun 4190    e. cmpt 4369    _I cid 4650    X. cxp 4857   ran crn 4860   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   1oc1o 6932   2oc2o 6933   0cc0 9301   1c1 9302    - cmin 9614   NNcn 10341   ...cfz 11456  ..^cfzo 11567   #chash 12122  Word cword 12240   splice csplice 12245   <"cs2 12487   ~FG cefg 16222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-hash 12123  df-word 12248
This theorem is referenced by:  efgsdm  16246  efgsval  16247  efgsp1  16253  efgsfo  16255  efgredleme  16259  efgred  16264
  Copyright terms: Public domain W3C validator