MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgs1 Structured version   Unicode version

Theorem efgs1 16568
Description: A singleton of an irreducible word is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgs1  |-  ( A  e.  D  ->  <" A ">  e.  dom  S
)
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y, z, w, v, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgs1
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3626 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x
) )  ->  A  e.  W )
2 efgred.d . . . . 5  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
31, 2eleq2s 2575 . . . 4  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  W )
43s1cld 12581 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  <" A ">  e. Word  W )
5 s1nz 12584 . . . 4  |-  <" A ">  =/=  (/)
6 eldifsn 4152 . . . 4  |-  ( <" A ">  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  <->  ( <" A ">  e. Word  W  /\  <" A ">  =/=  (/) ) )
75, 6mpbiran2 917 . . 3  |-  ( <" A ">  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  <->  <" A ">  e. Word  W )
84, 7sylibr 212 . 2  |-  ( A  e.  D  ->  <" A ">  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
9 s1fv 12585 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  ( <" A "> `  0 )  =  A )
10 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  A  e.  D )
119, 10eqeltrd 2555 . 2  |-  ( A  e.  D  ->  ( <" A "> `  0 )  e.  D
)
12 s1len 12583 . . . . . 6  |-  ( # `  <" A "> )  =  1
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  D  ->  ( # `
 <" A "> )  =  1
)
1413oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( A  e.  D  ->  (
1..^ ( # `  <" A "> )
)  =  ( 1..^ 1 ) )
15 fzo0 11818 . . . 4  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
1614, 15syl6eq 2524 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  (
1..^ ( # `  <" A "> )
)  =  (/) )
17 rzal 3929 . . 3  |-  ( ( 1..^ ( # `  <" A "> )
)  =  (/)  ->  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  <" A "> ) ) ( <" A "> `  i )  e.  ran  ( T `  ( <" A "> `  ( i  -  1 ) ) ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( A  e.  D  ->  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  <" A "> ) ) ( <" A "> `  i )  e.  ran  ( T `  ( <" A "> `  ( i  -  1 ) ) ) )
19 efgval.w . . 3  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
20 efgval.r . . 3  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
21 efgval2.m . . 3  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
22 efgval2.t . . 3  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
23 efgred.s . . 3  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
2419, 20, 21, 22, 2, 23efgsdm 16563 . 2  |-  ( <" A ">  e.  dom  S  <->  ( <" A ">  e.  (Word  W  \  { (/) } )  /\  ( <" A "> `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  <" A "> )
) ( <" A "> `  i )  e.  ran  ( T `  ( <" A "> `  ( i  - 
1 ) ) ) ) )
258, 11, 18, 24syl3anbrc 1180 1  |-  ( A  e.  D  ->  <" A ">  e.  dom  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818    \ cdif 3473   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   <.cotp 4035   U_ciun 4325    |-> cmpt 4505    _I cid 4790    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   1oc1o 7124   2oc2o 7125   0cc0 9493   1c1 9494    - cmin 9806   ...cfz 11673  ..^cfzo 11793   #chash 12374  Word cword 12501   <"cs1 12504   splice csplice 12506   <"cs2 12772   ~FG cefg 16539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-s1 12512
This theorem is referenced by:  efgsfo  16572
  Copyright terms: Public domain W3C validator