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Theorem efgrelexlemb 15337
 Description: If two words are related under the free group equivalence, then there exist two extension sequences such that ends at , ends at , and and have the same starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
efgrelexlem.1
Assertion
Ref Expression
efgrelexlemb
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,   ,,,,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,,,,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,,,,,,,,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem efgrelexlemb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . 3 Word
2 efgval.r . . 3 ~FG
3 efgval2.m . . 3
4 efgval2.t . . 3 splice
51, 2, 3, 4efgval2 15311 . 2
6 efgrelexlem.1 . . . . . . . 8
76relopabi 4959 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
9 simpr 448 . . . . . . 7
10 eqcom 2406 . . . . . . . . . 10
11102rexbii 2693 . . . . . . . . 9
12 rexcom 2829 . . . . . . . . 9
1311, 12bitri 241 . . . . . . . 8
14 efgred.d . . . . . . . . 9
15 efgred.s . . . . . . . . 9 Word ..^
161, 2, 3, 4, 14, 15, 6efgrelexlema 15336 . . . . . . . 8
171, 2, 3, 4, 14, 15, 6efgrelexlema 15336 . . . . . . . 8
1813, 16, 173bitr4i 269 . . . . . . 7
199, 18sylib 189 . . . . . 6
201, 2, 3, 4, 14, 15, 6efgrelexlema 15336 . . . . . . . . 9
21 reeanv 2835 . . . . . . . . . 10
221, 2, 3, 4, 14, 15efgsfo 15326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23 fofn 5614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2824, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 eqtr3 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
301, 2, 3, 4, 14, 15efgred 15335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3130eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32313expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3329, 32sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3433an4s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3526, 28, 34syl2anb 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
36 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3735, 36syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837reximdv 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4039rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . 15
4238, 41syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14
4342rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . . . 13
4443imp3a 421 . . . . . . . . . . . 12
4544rexlimiv 2784 . . . . . . . . . . 11
4645reximi 2773 . . . . . . . . . 10
4721, 46sylbir 205 . . . . . . . . 9
4816, 20, 47syl2anb 466 . . . . . . . 8
491, 2, 3, 4, 14, 15, 6efgrelexlema 15336 . . . . . . . 8
5048, 49sylibr 204 . . . . . . 7
5150adantl 453 . . . . . 6
52 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12
53 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . 14
5453eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13
5554rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12
5652, 55mpan2 653 . . . . . . . . . . 11
5756pm4.71i 614 . . . . . . . . . 10
58 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . 11
5924, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
6057, 59bitr3i 243 . . . . . . . . 9
6160rexbii2 2695 . . . . . . . 8
621, 2, 3, 4, 14, 15, 6efgrelexlema 15336 . . . . . . . 8
63 forn 5615 . . . . . . . . . . 11
6422, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
6564eleq2i 2468 . . . . . . . . 9
66 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . 10
6724, 66ax-mp 8 . . . . . . . . 9
6865, 67bitr3i 243 . . . . . . . 8
6961, 62, 683bitr4ri 270 . . . . . . 7
7069a1i 11 . . . . . 6
718, 19, 51, 70iserd 6890 . . . . 5
7271trud 1329 . . . 4
73 simpl 444 . . . . . . . . . . 11
74 foelrn 5847 . . . . . . . . . . 11
7522, 73, 74sylancr 645 . . . . . . . . . 10
76 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14
77 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . 14
79 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . . . . 15
8024, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
8176, 78, 80sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13
82 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8377fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483rneqd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8582, 84eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
861, 2, 3, 4, 14, 15efgsp1 15324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 concat
8776, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 concat
881, 2, 3, 4, 14, 15efgsdm 15317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^
8988simp1bi 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
9089ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
9190eldifad 3292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
921, 2, 3, 4efgtf 15309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 splice
9392simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9695sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
981, 2, 3, 4, 14, 15efgsval2 15320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word concat concat
9991, 97, 87, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 concat
100 fniniseg 5810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 concat concat concat
10124, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15 concat concat concat
10287, 99, 101sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14 concat
10397s1cld 11711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
104 eldifsn 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Word
105 lennncl 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
106104, 105sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
10790, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108 lbfzo0 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
109107, 108sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
110 ccatval1 11700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word ..^ concat
11191, 103, 109, 110syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 concat
112111eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . 14 concat
113 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 concat concat
114113eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . 15 concat concat
115114rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14 concat concat
116102, 112, 115syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
11781, 116jca 519 . . . . . . . . . . . 12
118117ex 424 . . . . . . . . . . 11
119118reximdv2 2775 . . . . . . . . . 10
12075, 119mpd 15 . . . . . . . . 9
1211, 2, 3, 4, 14, 15, 6efgrelexlema 15336 . . . . . . . . 9
122120, 121sylibr 204 . . . . . . . 8
123 vex 2919 . . . . . . . . 9
124 vex 2919 . . . . . . . . 9
125123, 124elec 6903 . . . . . . . 8
126122, 125sylibr 204 . . . . . . 7
127126ex 424 . . . . . 6
128127ssrdv 3314 . . . . 5
129128rgen 2731 . . . 4
130 fvex 5701 . . . . . . 7 Word
1311, 130eqeltri 2474 . . . . . 6
132 erex 6888 . . . . . 6
13372, 131, 132mp2 9 . . . . 5
134 ereq1 6871 . . . . . 6
135 eceq2 6901 . . . . . . . 8
136135sseq2d 3336 . . . . . . 7
137136ralbidv 2686 . . . . . 6
138134, 137anbi12d 692 . . . . 5
139133, 138elab 3042 . . . 4
14072, 129, 139mpbir2an 887 . . 3
141 intss1 4025 . . 3
142140, 141ax-mp 8 . 2
1435, 142eqsstri 3338 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wtru 1322   wceq 1649   wcel 1721  cab 2390   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  crab 2670  cvv 2916   cdif 3277   wss 3280  c0 3588  csn 3774  cop 3777  cotp 3778  cint 4010  ciun 4053   class class class wbr 4172  copab 4225   cmpt 4226   cid 4453   cxp 4835  ccnv 4836   cdm 4837   crn 4838  cima 4840   wrel 4842   wfn 5408  wf 5409  wfo 5411  cfv 5413  (class class class)co 6040   cmpt2 6042  c1o 6676  c2o 6677   wer 6861  cec 6862  cc0 8946  c1 8947   cmin 9247  cn 9956  cfz 10999  ..^cfzo 11090  chash 11573  Word cword 11672   concat cconcat 11673  cs1 11674   splice csplice 11676  cs2 11760   ~FG cefg 15293 This theorem is referenced by:  efgrelex  15338 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-substr 11681  df-splice 11682  df-s2 11767  df-efg 15296
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