MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgrelex Structured version   Unicode version

Theorem efgrelex 16373
Description: If two words  A ,  B are related under the free group equivalence, then there exist two extension sequences  a ,  b such that  a ends at  A,  b ends at  B, and  a and  B have the same starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgrelex  |-  ( A  .~  B  ->  E. a  e.  ( `' S " { A } ) E. b  e.  ( `' S " { B } ) ( a `
 0 )  =  ( b `  0
) )
Distinct variable groups:    a, b, A    y, a, z, b   
t, n, v, w, y, z    m, a, n, t, v, w, x, M, b    k,
a, T, b, m, t, x    W, a, b    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , a,
b, m, t, x, y, z    B, a, b    S, a, b    I,
a, b, m, n, t, v, w, x, y, z    D, a, b, m, t
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y, z, w, v, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgrelex
Dummy variables  c 
d  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . . 4  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . . 4  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
5 efgred.d . . . 4  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
6 efgred.s . . . 4  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
7 eqid 2454 . . . 4  |-  { <. i ,  j >.  |  E. c  e.  ( `' S " { i } ) E. d  e.  ( `' S " { j } ) ( c `  0
)  =  ( d `
 0 ) }  =  { <. i ,  j >.  |  E. c  e.  ( `' S " { i } ) E. d  e.  ( `' S " { j } ) ( c `  0
)  =  ( d `
 0 ) }
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7efgrelexlemb 16372 . . 3  |-  .~  C_  { <. i ,  j >.  |  E. c  e.  ( `' S " { i } ) E. d  e.  ( `' S " { j } ) ( c `  0
)  =  ( d `
 0 ) }
98ssbri 4445 . 2  |-  ( A  .~  B  ->  A { <. i ,  j
>.  |  E. c  e.  ( `' S " { i } ) E. d  e.  ( `' S " { j } ) ( c `
 0 )  =  ( d `  0
) } B )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7efgrelexlema 16371 . 2  |-  ( A { <. i ,  j
>.  |  E. c  e.  ( `' S " { i } ) E. d  e.  ( `' S " { j } ) ( c `
 0 )  =  ( d `  0
) } B  <->  E. a  e.  ( `' S " { A } ) E. b  e.  ( `' S " { B } ) ( a `
 0 )  =  ( b `  0
) )
119, 10sylib 196 1  |-  ( A  .~  B  ->  E. a  e.  ( `' S " { A } ) E. b  e.  ( `' S " { B } ) ( a `
 0 )  =  ( b `  0
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    \ cdif 3436   (/)c0 3748   {csn 3988   <.cop 3994   <.cotp 3996   U_ciun 4282   class class class wbr 4403   {copab 4460    |-> cmpt 4461    _I cid 4742    X. cxp 4949   `'ccnv 4950   ran crn 4952   "cima 4954   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   1oc1o 7026   2oc2o 7027   0cc0 9397   1c1 9398    - cmin 9710   ...cfz 11558  ..^cfzo 11669   #chash 12224  Word cword 12343   splice csplice 12348   <"cs2 12590   ~FG cefg 16328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-ec 7216  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353  df-s1 12354  df-substr 12355  df-splice 12356  df-s2 12597  df-efg 16331
This theorem is referenced by:  efgredeu  16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator