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Theorem efgredlemd 17086
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 17073 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
efgredlem.1  |-  ( ph  ->  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  (
a `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
efgredlem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  S
)
efgredlem.3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  S
)
efgredlem.4  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( S `
 B ) )
efgredlem.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A ` 
0 )  =  ( B `  0 ) )
efgredlemb.k  |-  K  =  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )
efgredlemb.l  |-  L  =  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )
efgredlemb.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  K )
) ) )
efgredlemb.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  L )
) ) )
efgredlemb.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( I  X.  2o ) )
efgredlemb.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( I  X.  2o ) )
efgredlemb.6  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( P ( T `  ( A `  K )
) U ) )
efgredlemb.7  |-  ( ph  ->  ( S `  B
)  =  ( Q ( T `  ( B `  L )
) V ) )
efgredlemb.8  |-  ( ph  ->  -.  ( A `  K )  =  ( B `  L ) )
efgredlemd.9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  2
) ) )
efgredlemd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  S
)
efgredlemd.sc  |-  ( ph  ->  ( S `  C
)  =  ( ( ( B `  L
) substr  <. 0 ,  Q >. ) ++  ( ( A `
 K ) substr  <. ( Q  +  2 ) ,  ( # `  ( A `  K )
) >. ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgredlemd  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( B `
 0 ) )
Distinct variable groups:    a, b, A    y, a, z, b    L, a, b    K, a, b    t, n, v, w, y, z, P   
m, a, n, t, v, w, x, M, b    U, n, v, w, y, z    k, a, T, b, m, t, x    n, V, v, w, y, z    Q, n, t, v, w, y, z    W, a, b    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , a, b, m, t, x, y, z    B, a, b    C, a, b, k, m, n, t, v, w, x, y, z    S, a, b    I,
a, b, m, n, t, v, w, x, y, z    D, a, b, m, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, t, k, m, n, a, b)    A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    D( x, y, z, w, v, k, n)    P( x, k, m, a, b)    Q( x, k, m, a, b)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y, z, w, v, n)    U( x, t, k, m, a, b)    I( k)    K( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    L( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    M( y, z, k)    V( x, t, k, m, a, b)

Proof of Theorem efgredlemd
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlemd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  S
)
2 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
3 efgval.r . . . . . . . . 9  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
4 efgval2.m . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
5 efgval2.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
6 efgred.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
7 efgred.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 17072 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  dom  S  <->  ( C  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( C `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  C ) ) ( C `  i )  e.  ran  ( T `
 ( C `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
98simp1bi 1012 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  dom  S  ->  C  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
101, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
1110eldifad 3426 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e. Word  W )
12 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  S
)
132, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 17072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  S  <->  ( A  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( A `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  A ) ) ( A `  i )  e.  ran  ( T `
 ( A `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
1413simp1bi 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  S  ->  A  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
1615eldifad 3426 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e. Word  W )
17 wrdf 12603 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Word  W  ->  A : ( 0..^ (
# `  A )
) --> W )
1816, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : ( 0..^ ( # `  A
) ) --> W )
19 fzossfz 11877 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  C_  ( 0 ... ( ( # `  A )  -  1 ) )
20 lencl 12614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e. Word  W  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
2221nn0zd 11006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
23 fzoval 11860 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  A
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  A )  -  1 ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  A ) )  =  ( 0 ... (
( # `  A )  -  1 ) ) )
2519, 24syl5sseqr 3491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  A )
) )
26 efgredlemb.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )
27 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  (
a `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
28 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  S
)
29 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( S `
 B ) )
30 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( A ` 
0 )  =  ( B `  0 ) )
312, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30efgredlema 17082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN ) )
3231simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN )
33 fzo0end 11941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
3526, 34syl5eqel 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
3625, 35sseldd 3443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
3718, 36ffvelrnd 6010 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e.  W )
3837s1cld 12669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" ( A `
 K ) ">  e. Word  W )
39 eldifsn 4097 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (Word  W  \  { (/) } )  <->  ( C  e. Word  W  /\  C  =/=  (/) ) )
40 lennncl 12615 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e. Word  W  /\  C  =/=  (/) )  ->  ( # `
 C )  e.  NN )
4139, 40sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( # `  C )  e.  NN )
4210, 41syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  C
)  e.  NN )
43 lbfzo0 11894 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  C )
)  <->  ( # `  C
)  e.  NN )
4442, 43sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  C
) ) )
45 ccatval1 12649 . . . . 5  |-  ( ( C  e. Word  W  /\  <" ( A `  K ) ">  e. Word  W  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  C ) ) )  ->  ( ( C ++ 
<" ( A `  K ) "> ) `  0 )  =  ( C ` 
0 ) )
4611, 38, 44, 45syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( C ++  <" ( A `  K
) "> ) `  0 )  =  ( C `  0
) )
472, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 17072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  dom  S  <->  ( B  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( B `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  B ) ) ( B `  i )  e.  ran  ( T `
 ( B `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
4847simp1bi 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  S  ->  B  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
4928, 48syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
5049eldifad 3426 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e. Word  W )
51 wrdf 12603 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. Word  W  ->  B : ( 0..^ (
# `  B )
) --> W )
5250, 51syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B : ( 0..^ ( # `  B
) ) --> W )
53 fzossfz 11877 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) )  C_  ( 0 ... ( ( # `  B )  -  1 ) )
54 lencl 12614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e. Word  W  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
5550, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
5655nn0zd 11006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
57 fzoval 11860 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  B
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  B )  -  1 ) ) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  B ) )  =  ( 0 ... (
( # `  B )  -  1 ) ) )
5953, 58syl5sseqr 3491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  B )
) )
60 efgredlemb.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )
6131simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN )
62 fzo0end 11941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )
6460, 63syl5eqel 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )
6559, 64sseldd 3443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( 0..^ ( # `  B
) ) )
6652, 65ffvelrnd 6010 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  e.  W )
6766s1cld 12669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" ( B `
 L ) ">  e. Word  W )
68 ccatval1 12649 . . . . 5  |-  ( ( C  e. Word  W  /\  <" ( B `  L ) ">  e. Word  W  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  C ) ) )  ->  ( ( C ++ 
<" ( B `  L ) "> ) `  0 )  =  ( C ` 
0 ) )
6911, 67, 44, 68syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( C ++  <" ( B `  L
) "> ) `  0 )  =  ( C `  0
) )
7046, 69eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C ++  <" ( A `  K
) "> ) `  0 )  =  ( ( C ++  <" ( B `  L
) "> ) `  0 ) )
71 fviss 5907 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
722, 71eqsstri 3472 . . . . . . . . 9  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
7372, 37sseldi 3440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e. Word  ( I  X.  2o ) )
74 lencl 12614 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  K )  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  ( A `  K
) )  e.  NN0 )
7573, 74syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A `  K )
)  e.  NN0 )
7675nn0red 10894 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A `  K )
)  e.  RR )
77 2rp 11270 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
78 ltaddrp 11299 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  ( A `  K )
)  e.  RR  /\  2  e.  RR+ )  -> 
( # `  ( A `
 K ) )  <  ( ( # `  ( A `  K
) )  +  2 ) )
7976, 77, 78sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A `  K )
)  <  ( ( # `
 ( A `  K ) )  +  2 ) )
8021nn0red 10894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
8180lem1d 10519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  <_  ( # `  A
) )
82 fznn 11802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  A )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <-> 
( ( ( # `  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  <_  ( # `  A
) ) ) )
8322, 82syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( (
( # `  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( (
# `  A )  -  1 )  <_ 
( # `  A ) ) ) )
8432, 81, 83mpbir2and 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
852, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 17080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  S  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
8612, 84, 85syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
872, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 17073 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )  e.  dom  S  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
89 1eluzge0 11170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
90 fzss1 11777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  (
0 ... ( # `  A
) ) )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  (
0 ... ( # `  A
) )
9291, 84sseldi 3440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
93 swrd0val 12702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  W  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A
)  -  1 )
>. )  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )
9416, 92, 93syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A )  -  1 ) >. )  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )
9594fveq2d 5853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A
)  -  1 )
>. ) )  =  (
# `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )
96 swrd0len 12703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  W  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( # `  ( A substr  <. 0 ,  ( (
# `  A )  -  1 ) >.
) )  =  ( ( # `  A
)  -  1 ) )
9716, 92, 96syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A
)  -  1 )
>. ) )  =  ( ( # `  A
)  -  1 ) )
9895, 97eqtr3d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  A
)  -  1 ) )
9998oveq1d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )
10099, 26syl6eqr 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  K )
101100fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) )  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  K ) )
102 fvres 5863 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  K
)  =  ( A `
 K ) )
10335, 102syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  K )  =  ( A `  K ) )
10488, 101, 1033eqtrd 2447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( A `  K
) )
105104fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( # `  ( A `  K )
) )
1062, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 17074 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  S  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN )  -> 
( S `  A
)  e.  ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
10712, 32, 106syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  e.  ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
10826fveq2i 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 K )  =  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )
109108fveq2i 5852 . . . . . . . 8  |-  ( T `
 ( A `  K ) )  =  ( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )
110109rneqi 5050 . . . . . . 7  |-  ran  ( T `  ( A `  K ) )  =  ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )
111107, 110syl6eleqr 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  e.  ran  ( T `  ( A `  K ) ) )
1122, 3, 4, 5efgtlen 17068 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  K
)  e.  W  /\  ( S `  A )  e.  ran  ( T `
 ( A `  K ) ) )  ->  ( # `  ( S `  A )
)  =  ( (
# `  ( A `  K ) )  +  2 ) )
11337, 111, 112syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  A )
)  =  ( (
# `  ( A `  K ) )  +  2 ) )
11479, 105, 1133brtr4d 4425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) ) )
115 efgredlemb.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  K )
) ) )
116 efgredlemb.q . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  L )
) ) )
117 efgredlemb.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  ( I  X.  2o ) )
118 efgredlemb.v . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  e.  ( I  X.  2o ) )
119 efgredlemb.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( P ( T `  ( A `  K )
) U ) )
120 efgredlemb.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  B
)  =  ( Q ( T `  ( B `  L )
) V ) )
121 efgredlemb.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( A `  K )  =  ( B `  L ) )
122 efgredlemd.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  ( Q  +  2
) ) )
123 efgredlemd.sc . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  C
)  =  ( ( ( B `  L
) substr  <. 0 ,  Q >. ) ++  ( ( A `
 K ) substr  <. ( Q  +  2 ) ,  ( # `  ( A `  K )
) >. ) ) )
1242, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30, 26, 60, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 1, 123efgredleme 17085 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  e.  ran  ( T `  ( S `
 C ) )  /\  ( B `  L )  e.  ran  ( T `  ( S `
 C ) ) ) )
125124simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e.  ran  ( T `  ( S `  C ) ) )
1262, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 17079 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  dom  S  /\  ( A `  K
)  e.  ran  ( T `  ( S `  C ) ) )  ->  ( C ++  <" ( A `  K
) "> )  e.  dom  S )
1271, 125, 126syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ++  <" ( A `  K ) "> )  e.  dom  S )
1282, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 17075 . . . . . 6  |-  ( ( C  e. Word  W  /\  ( A `  K )  e.  W  /\  ( C ++  <" ( A `
 K ) "> )  e.  dom  S )  ->  ( S `  ( C ++  <" ( A `  K ) "> ) )  =  ( A `  K
) )
12911, 37, 127, 128syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  ( C ++  <" ( A `
 K ) "> ) )  =  ( A `  K
) )
130104, 129eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( A `
 K ) "> ) ) )
131 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( S `  a
)  =  ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ) )
132131fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( S `
 a ) )  =  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) ) )
133132breq1d 4405 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  <->  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) ) ) )
134131eqeq1d 2404 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( S `  a )  =  ( S `  b )  <-> 
( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b
) ) )
135 fveq1 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( a `  0
)  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  0
) )
136135eqeq1d 2404 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( a ` 
0 )  =  ( b `  0 )  <-> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( b `  0 ) ) )
137134, 136imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) )  <->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
138133, 137imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S `  a
) )  <  ( # `
 ( S `  A ) )  -> 
( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  ( a ` 
0 )  =  ( b `  0 ) ) )  <->  ( ( # `
 ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) ) )
139 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( A `  K
) "> )  ->  ( S `  b
)  =  ( S `
 ( C ++  <" ( A `  K
) "> )
) )
140139eqeq2d 2416 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( A `  K
) "> )  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b
)  <->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( A `
 K ) "> ) ) ) )
141 fveq1 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( A `  K
) "> )  ->  ( b `  0
)  =  ( ( C ++  <" ( A `
 K ) "> ) `  0
) )
142141eqeq2d 2416 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( A `  K
) "> )  ->  ( ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 )  <->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( ( C ++  <" ( A `
 K ) "> ) `  0
) ) )
143140, 142imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( A `  K
) "> )  ->  ( ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  (
( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( b `  0 ) )  <->  ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( A `  K ) "> ) )  -> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( A `  K ) "> ) `  0
) ) ) )
144143imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( A `  K
) "> )  ->  ( ( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) )  <-> 
( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( A `  K ) "> ) )  -> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( A `  K ) "> ) `  0
) ) ) ) )
145138, 144rspc2va 3170 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S  /\  ( C ++  <" ( A `
 K ) "> )  e.  dom  S )  /\  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( (
# `  ( S `  a ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) ) ) )  ->  ( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++ 
<" ( A `  K ) "> ) )  ->  (
( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( A `  K ) "> ) `  0
) ) ) )
14686, 127, 27, 145syl21anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( A `  K ) "> ) )  -> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( A `  K ) "> ) `  0
) ) ) )
147114, 130, 146mp2d 43 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( A `  K ) "> ) `  0
) )
14872, 66sseldi 3440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  e. Word  ( I  X.  2o ) )
149 lencl 12614 . . . . . . . 8  |-  ( ( B `  L )  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  ( B `  L
) )  e.  NN0 )
150148, 149syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B `  L )
)  e.  NN0 )
151150nn0red 10894 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B `  L )
)  e.  RR )
152 ltaddrp 11299 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  ( B `  L )
)  e.  RR  /\  2  e.  RR+ )  -> 
( # `  ( B `
 L ) )  <  ( ( # `  ( B `  L
) )  +  2 ) )
153151, 77, 152sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B `  L )
)  <  ( ( # `
 ( B `  L ) )  +  2 ) )
15455nn0red 10894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
155154lem1d 10519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  <_  ( # `  B
) )
156 fznn 11802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  B )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( ( # `  B )  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  <_  ( # `  B
) ) ) )
15756, 156syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) )  <->  ( (
( # `  B )  -  1 )  e.  NN  /\  ( (
# `  B )  -  1 )  <_ 
( # `  B ) ) ) )
15861, 155, 157mpbir2and 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
1592, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 17080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  dom  S  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
16028, 158, 159syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
1612, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 17073 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )  e.  dom  S  ->  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
162160, 161syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
163 fzss1 11777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  B
) )  C_  (
0 ... ( # `  B
) ) )
16489, 163ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( # `  B
) )  C_  (
0 ... ( # `  B
) )
165164, 158sseldi 3440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
166 swrd0val 12702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e. Word  W  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B
)  -  1 )
>. )  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )
16750, 165, 166syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B )  -  1 ) >. )  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )
168167fveq2d 5853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B
)  -  1 )
>. ) )  =  (
# `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) ) )
169 swrd0len 12703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e. Word  W  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( (
# `  B )  -  1 ) >.
) )  =  ( ( # `  B
)  -  1 ) )
17050, 165, 169syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B
)  -  1 )
>. ) )  =  ( ( # `  B
)  -  1 ) )
171168, 170eqtr3d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  1 ) )
172171oveq1d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )
173172, 60syl6eqr 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  L )
174173fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  L ) )
175 fvres 5863 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) )  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
17664, 175syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  L )  =  ( B `  L ) )
177162, 174, 1763eqtrd 2447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( B `  L
) )
178177fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( # `  ( B `  L )
) )
1792, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 17074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  dom  S  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN )  -> 
( S `  B
)  e.  ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
18028, 61, 179syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S `  B
)  e.  ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
18129, 180eqeltrd 2490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  e.  ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
18260fveq2i 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( B `
 L )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )
183182fveq2i 5852 . . . . . . . 8  |-  ( T `
 ( B `  L ) )  =  ( T `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )
184183rneqi 5050 . . . . . . 7  |-  ran  ( T `  ( B `  L ) )  =  ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )
185181, 184syl6eleqr 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  e.  ran  ( T `  ( B `  L ) ) )
1862, 3, 4, 5efgtlen 17068 . . . . . 6  |-  ( ( ( B `  L
)  e.  W  /\  ( S `  A )  e.  ran  ( T `
 ( B `  L ) ) )  ->  ( # `  ( S `  A )
)  =  ( (
# `  ( B `  L ) )  +  2 ) )
18766, 185, 186syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  A )
)  =  ( (
# `  ( B `  L ) )  +  2 ) )
188153, 178, 1873brtr4d 4425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) ) )
189124simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  e.  ran  ( T `  ( S `  C ) ) )
1902, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 17079 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  dom  S  /\  ( B `  L
)  e.  ran  ( T `  ( S `  C ) ) )  ->  ( C ++  <" ( B `  L
) "> )  e.  dom  S )
1911, 189, 190syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ++  <" ( B `  L ) "> )  e.  dom  S )
1922, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 17075 . . . . . 6  |-  ( ( C  e. Word  W  /\  ( B `  L )  e.  W  /\  ( C ++  <" ( B `
 L ) "> )  e.  dom  S )  ->  ( S `  ( C ++  <" ( B `  L ) "> ) )  =  ( B `  L
) )
19311, 66, 191, 192syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  ( C ++  <" ( B `
 L ) "> ) )  =  ( B `  L
) )
194177, 193eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( B `
 L ) "> ) ) )
195 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( S `  a
)  =  ( S `
 ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ) )
196195fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( S `
 a ) )  =  ( # `  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) ) ) )
197196breq1d 4405 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  <->  ( # `  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) ) ) )
198195eqeq1d 2404 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( S `  a )  =  ( S `  b )  <-> 
( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b
) ) )
199 fveq1 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( a `  0
)  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  0
) )
200199eqeq1d 2404 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( a ` 
0 )  =  ( b `  0 )  <-> 
( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( b `  0 ) ) )
201198, 200imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) )  <->  ( ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
202197, 201imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S `  a
) )  <  ( # `
 ( S `  A ) )  -> 
( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  ( a ` 
0 )  =  ( b `  0 ) ) )  <->  ( ( # `
 ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) ) )
203 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( B `  L
) "> )  ->  ( S `  b
)  =  ( S `
 ( C ++  <" ( B `  L
) "> )
) )
204203eqeq2d 2416 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( B `  L
) "> )  ->  ( ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b
)  <->  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( B `
 L ) "> ) ) ) )
205 fveq1 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( B `  L
) "> )  ->  ( b `  0
)  =  ( ( C ++  <" ( B `
 L ) "> ) `  0
) )
206205eqeq2d 2416 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( B `  L
) "> )  ->  ( ( ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 )  <->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( ( C ++  <" ( B `
 L ) "> ) `  0
) ) )
207204, 206imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( B `  L
) "> )  ->  ( ( ( S `
 ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  (
( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( b `  0 ) )  <->  ( ( S `
 ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( B `  L ) "> ) )  -> 
( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( B `  L ) "> ) `  0
) ) ) )
208207imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( C ++  <" ( B `  L
) "> )  ->  ( ( ( # `  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) )  <-> 
( ( # `  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( B `  L ) "> ) )  -> 
( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( B `  L ) "> ) `  0
) ) ) ) )
209202, 208rspc2va 3170 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S  /\  ( C ++  <" ( B `
 L ) "> )  e.  dom  S )  /\  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( (
# `  ( S `  a ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) ) ) )  ->  ( ( # `  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++ 
<" ( B `  L ) "> ) )  ->  (
( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( B `  L ) "> ) `  0
) ) ) )
210160, 191, 27, 209syl21anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( C ++  <" ( B `  L ) "> ) )  -> 
( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( B `  L ) "> ) `  0
) ) ) )
211188, 194, 210mp2d 43 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( C ++  <" ( B `  L ) "> ) `  0
) )
21270, 147, 2113eqtr4d 2453 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) )
213 lbfzo0 11894 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  <->  ( ( # `  A )  -  1 )  e.  NN )
21432, 213sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
215 fvres 5863 . . 3  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
216214, 215syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( A `  0 ) )
217 lbfzo0 11894 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) )  <->  ( ( # `  B )  -  1 )  e.  NN )
21861, 217sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )
219 fvres 5863 . . 3  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) )  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( B `
 0 ) )
220218, 219syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( B `  0 ) )
221212, 216, 2203eqtr3d 2451 1  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( B `
 0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   {crab 2758    \ cdif 3411    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   <.cop 3978   <.cotp 3980   U_ciun 4271   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    _I cid 4733    X. cxp 4821   dom cdm 4823   ran crn 4824    |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   1oc1o 7160   2oc2o 7161   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   NNcn 10576   2c2 10626   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   RR+crp 11265   ...cfz 11726  ..^cfzo 11854   #chash 12452  Word cword 12583   ++ cconcat 12585   <"cs1 12586   substr csubstr 12587   splice csplice 12588   <"cs2 12862   ~FG cefg 17048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-substr 12595  df-splice 12596  df-s2 12869
This theorem is referenced by:  efgredlemc  17087
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