Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredeu Structured version   Unicode version

Theorem efgredeu 17094
 Description: There is a unique reduced word equivalent to a given word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
Assertion
Ref Expression
efgredeu
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem efgredeu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5 Word
2 efgval.r . . . . 5 ~FG
3 efgval2.m . . . . 5
4 efgval2.t . . . . 5 splice
5 efgred.d . . . . 5
6 efgred.s . . . . 5 Word ..^
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsfo 17081 . . . 4
8 foelrn 6028 . . . 4
97, 8mpan 668 . . 3
101, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 17072 . . . . . . . 8 Word ..^
1110simp2bi 1013 . . . . . . 7
1211adantl 464 . . . . . 6
131, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 17076 . . . . . . 7
1413adantl 464 . . . . . 6
15 breq1 4398 . . . . . . 7
1615rspcev 3160 . . . . . 6
1712, 14, 16syl2anc 659 . . . . 5
18 breq2 4399 . . . . . 6
1918rexbidv 2918 . . . . 5
2017, 19syl5ibrcom 222 . . . 4
2120rexlimdva 2896 . . 3
229, 21mpd 15 . 2
231, 2efger 17060 . . . . . . 7
2423a1i 11 . . . . . 6
25 simprl 756 . . . . . 6
26 simprr 758 . . . . . 6
2724, 25, 26ertr4d 7367 . . . . 5
281, 2, 3, 4, 5, 6efgrelex 17093 . . . . . 6
29 fofn 5780 . . . . . . . . . . . . . 14
30 fniniseg 5986 . . . . . . . . . . . . . 14
317, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
3231simplbi 458 . . . . . . . . . . . 12
3332ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11
341, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 17073 . . . . . . . . . . 11
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10
3631simprbi 462 . . . . . . . . . . 11
3736ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10
38 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
4037, 39eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . . 14
411, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 17078 . . . . . . . . . . . . . . 15
4233, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
4340, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
4443oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . 12
45 1m1e0 10645 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45syl6eq 2459 . . . . . . . . . . 11
4746fveq2d 5853 . . . . . . . . . 10
4835, 37, 473eqtr3rd 2452 . . . . . . . . 9
49 fniniseg 5986 . . . . . . . . . . . . . 14
507, 29, 49mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
5150simplbi 458 . . . . . . . . . . . 12
5251ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11
531, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 17073 . . . . . . . . . . 11
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10
5550simprbi 462 . . . . . . . . . . 11
5655ad2antll 727 . . . . . . . . . 10
5738simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
5856, 57eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . . 14
591, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 17078 . . . . . . . . . . . . . . 15
6052, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
6158, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
6261oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . 12
6362, 45syl6eq 2459 . . . . . . . . . . 11
6463fveq2d 5853 . . . . . . . . . 10
6554, 56, 643eqtr3rd 2452 . . . . . . . . 9
6648, 65eqeq12d 2424 . . . . . . . 8
6766biimpd 207 . . . . . . 7
6867rexlimdvva 2903 . . . . . 6
6928, 68syl5 30 . . . . 5
7027, 69mpd 15 . . . 4
7170ex 432 . . 3
7271ralrimivva 2825 . 2
73 breq1 4398 . . 3
7473reu4 3243 . 2
7522, 72, 74sylanbrc 662 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  wrex 2755  wreu 2756  crab 2758   cdif 3411  c0 3738  csn 3972  cop 3978  cotp 3980  ciun 4271   class class class wbr 4395   cmpt 4453   cid 4733   cxp 4821  ccnv 4822   cdm 4823   crn 4824  cima 4826   wfn 5564  wfo 5567  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  c1o 7160  c2o 7161   wer 7345  cc0 9522  c1 9523   cmin 9841  cfz 11726  ..^cfzo 11854  chash 12452  Word cword 12583   splice csplice 12588  cs2 12862   ~FG cefg 17048 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-ec 7350  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-substr 12595  df-splice 12596  df-s2 12869  df-efg 17051 This theorem is referenced by:  efgred2  17095  frgpnabllem2  17202
 Copyright terms: Public domain W3C validator