MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgmf Structured version   Unicode version

Theorem efgmf 16527
Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efgmval.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
Assertion
Ref Expression
efgmf  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
Distinct variable group:    y, z, I
Allowed substitution hints:    M( y, z)

Proof of Theorem efgmf
StepHypRef Expression
1 2oconcl 7150 . . . 4  |-  ( z  e.  2o  ->  ( 1o  \  z )  e.  2o )
2 opelxpi 5030 . . . 4  |-  ( ( y  e.  I  /\  ( 1o  \  z
)  e.  2o )  ->  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o ) )
31, 2sylan2 474 . . 3  |-  ( ( y  e.  I  /\  z  e.  2o )  -> 
<. y ,  ( 1o 
\  z ) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
43rgen2 2889 . 2  |-  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o )
5 efgmval.m . . 3  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
65fmpt2 6848 . 2  |-  ( A. y  e.  I  A. z  e.  2o  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >.  e.  ( I  X.  2o )  <-> 
M : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o ) )
74, 6mpbi 208 1  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    \ cdif 3473   <.cop 4033    X. cxp 4997   -->wf 5582    |-> cmpt2 6284   1oc1o 7120   2oc2o 7121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-1o 7127  df-2o 7128
This theorem is referenced by:  efgtf  16536  efgtlen  16540  efginvrel2  16541  efginvrel1  16542  efgredleme  16557  efgredlemc  16559  efgcpbllemb  16569  frgp0  16574  frgpinv  16578  vrgpinv  16583  frgpnabllem1  16668
  Copyright terms: Public domain W3C validator