MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgmf Structured version   Unicode version

Theorem efgmf 17055
Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efgmval.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
Assertion
Ref Expression
efgmf  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
Distinct variable group:    y, z, I
Allowed substitution hints:    M( y, z)

Proof of Theorem efgmf
StepHypRef Expression
1 2oconcl 7190 . . . 4  |-  ( z  e.  2o  ->  ( 1o  \  z )  e.  2o )
2 opelxpi 4855 . . . 4  |-  ( ( y  e.  I  /\  ( 1o  \  z
)  e.  2o )  ->  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o ) )
31, 2sylan2 472 . . 3  |-  ( ( y  e.  I  /\  z  e.  2o )  -> 
<. y ,  ( 1o 
\  z ) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
43rgen2 2829 . 2  |-  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o )
5 efgmval.m . . 3  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
65fmpt2 6851 . 2  |-  ( A. y  e.  I  A. z  e.  2o  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >.  e.  ( I  X.  2o )  <-> 
M : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o ) )
74, 6mpbi 208 1  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    \ cdif 3411   <.cop 3978    X. cxp 4821   -->wf 5565    |-> cmpt2 6280   1oc1o 7160   2oc2o 7161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-1o 7167  df-2o 7168
This theorem is referenced by:  efgtf  17064  efgtlen  17068  efginvrel2  17069  efginvrel1  17070  efgredleme  17085  efgredlemc  17087  efgcpbllemb  17097  frgp0  17102  frgpinv  17106  vrgpinv  17111  frgpnabllem1  17201
  Copyright terms: Public domain W3C validator