MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgmf Structured version   Unicode version

Theorem efgmf 16203
Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efgmval.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
Assertion
Ref Expression
efgmf  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
Distinct variable group:    y, z, I
Allowed substitution hints:    M( y, z)

Proof of Theorem efgmf
StepHypRef Expression
1 2oconcl 6939 . . . 4  |-  ( z  e.  2o  ->  ( 1o  \  z )  e.  2o )
2 opelxpi 4867 . . . 4  |-  ( ( y  e.  I  /\  ( 1o  \  z
)  e.  2o )  ->  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o ) )
31, 2sylan2 471 . . 3  |-  ( ( y  e.  I  /\  z  e.  2o )  -> 
<. y ,  ( 1o 
\  z ) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
43rgen2 2810 . 2  |-  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o )
5 efgmval.m . . 3  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
65fmpt2 6640 . 2  |-  ( A. y  e.  I  A. z  e.  2o  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >.  e.  ( I  X.  2o )  <-> 
M : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o ) )
74, 6mpbi 208 1  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    \ cdif 3322   <.cop 3880    X. cxp 4834   -->wf 5411    e. cmpt2 6092   1oc1o 6909   2oc2o 6910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-1o 6916  df-2o 6917
This theorem is referenced by:  efgtf  16212  efgtlen  16216  efginvrel2  16217  efginvrel1  16218  efgredleme  16233  efgredlemc  16235  efgcpbllemb  16245  frgp0  16250  frgpinv  16254  vrgpinv  16259  frgpnabllem1  16344
  Copyright terms: Public domain W3C validator