Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efginvrel2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem efginvrel2 17455
 Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
Assertion
Ref Expression
efginvrel2 ++ reverse
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,,   , ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,)   (,)

Proof of Theorem efginvrel2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 Word
2 fviss 5938 . . . 4 Word Word
31, 2eqsstri 3448 . . 3 Word
43sseli 3414 . 2 Word
5 id 22 . . . . . 6
6 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 reverse reverse
7 rev0 12923 . . . . . . . . 9 reverse
86, 7syl6eq 2521 . . . . . . . 8 reverse
98coeq2d 5002 . . . . . . 7 reverse
10 co02 5356 . . . . . . 7
119, 10syl6eq 2521 . . . . . 6 reverse
125, 11oveq12d 6326 . . . . 5 ++ reverse ++
1312breq1d 4405 . . . 4 ++ reverse ++
1413imbi2d 323 . . 3 ++ reverse ++
15 id 22 . . . . . 6
16 fveq2 5879 . . . . . . 7 reverse reverse
1716coeq2d 5002 . . . . . 6 reverse reverse
1815, 17oveq12d 6326 . . . . 5 ++ reverse ++ reverse
1918breq1d 4405 . . . 4 ++ reverse ++ reverse
2019imbi2d 323 . . 3 ++ reverse ++ reverse
21 id 22 . . . . . 6 ++ ++
22 fveq2 5879 . . . . . . 7 ++ reverse reverse ++
2322coeq2d 5002 . . . . . 6 ++ reverse reverse ++
2421, 23oveq12d 6326 . . . . 5 ++ ++ reverse ++ ++ reverse ++
2524breq1d 4405 . . . 4 ++ ++ reverse ++ ++ reverse ++
2625imbi2d 323 . . 3 ++ ++ reverse ++ ++ reverse ++
27 id 22 . . . . . 6
28 fveq2 5879 . . . . . . 7 reverse reverse
2928coeq2d 5002 . . . . . 6 reverse reverse
3027, 29oveq12d 6326 . . . . 5 ++ reverse ++ reverse
3130breq1d 4405 . . . 4 ++ reverse ++ reverse
3231imbi2d 323 . . 3 ++ reverse ++ reverse
33 wrd0 12742 . . . . 5 Word
34 ccatlid 12781 . . . . 5 Word ++
3533, 34ax-mp 5 . . . 4 ++
36 efgval.r . . . . . . 7 ~FG
371, 36efger 17446 . . . . . 6
3837a1i 11 . . . . 5
391efgrcl 17443 . . . . . . 7 Word
4039simprd 470 . . . . . 6 Word
4133, 40syl5eleqr 2556 . . . . 5
4238, 41erref 7401 . . . 4
4335, 42syl5eqbr 4429 . . 3 ++
4437a1i 11 . . . . . . 7 Word
45 simprl 772 . . . . . . . . . 10 Word Word
46 revcl 12920 . . . . . . . . . . . 12 Word reverse Word
4746ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11 Word reverse Word
48 efgval2.m . . . . . . . . . . . 12
4948efgmf 17441 . . . . . . . . . . 11
50 wrdco 12987 . . . . . . . . . . 11 reverse Word reverse Word
5147, 49, 50sylancl 675 . . . . . . . . . 10 Word reverse Word
52 ccatcl 12771 . . . . . . . . . 10 Word reverse Word ++ reverse Word
5345, 51, 52syl2anc 673 . . . . . . . . 9 Word ++ reverse Word
5440adantr 472 . . . . . . . . 9 Word Word
5553, 54eleqtrrd 2552 . . . . . . . 8 Word ++ reverse
56 lencl 12737 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
5756ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13 Word
58 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . 13
5957, 58syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12 Word
60 ccatlen 12772 . . . . . . . . . . . . . 14 Word reverse Word ++ reverse reverse
6145, 51, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 Word ++ reverse reverse
6257nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
63 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
65 lencl 12737 . . . . . . . . . . . . . . 15 reverse Word reverse
6651, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 Word reverse
67 uzaddcl 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 reverse reverse
6864, 66, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 Word reverse
6961, 68eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12 Word ++ reverse
70 elfzuzb 11820 . . . . . . . . . . . 12 ++ reverse ++ reverse
7159, 69, 70sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11 Word ++ reverse
72 simprr 774 . . . . . . . . . . 11 Word
73 efgval2.t . . . . . . . . . . . 12 splice
741, 36, 48, 73efgtval 17451 . . . . . . . . . . 11 ++ reverse ++ reverse ++ reverse ++ reverse splice
7555, 71, 72, 74syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 Word ++ reverse ++ reverse splice
7633a1i 11 . . . . . . . . . . 11 Word Word
7749ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . 13
7872, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Word
7972, 78s2cld 13025 . . . . . . . . . . 11 Word Word
80 ccatrid 12782 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ++
8180ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13 Word ++
8281eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12 Word ++
8382oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 Word ++ reverse ++ ++ reverse
84 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11 Word
85 hash0 12586 . . . . . . . . . . . . 13
8685oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . 12
8757nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . 13 Word
8887addid1d 9851 . . . . . . . . . . . 12 Word
8986, 88syl5req 2518 . . . . . . . . . . 11 Word
9045, 76, 51, 79, 83, 84, 89splval2 12918 . . . . . . . . . 10 Word ++ reverse splice ++ ++ reverse
9172s1cld 12795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word
92 revccat 12925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word reverse ++ reverse ++ reverse
9345, 91, 92syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word reverse ++ reverse ++ reverse
94 revs1 12924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 reverse
9594oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15 reverse ++ reverse ++ reverse
9693, 95syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14 Word reverse ++ ++ reverse
9796coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . . 13 Word reverse ++ ++ reverse
9849a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
99 ccatco 12991 . . . . . . . . . . . . . 14 Word reverse Word ++ reverse ++ reverse
10091, 47, 98, 99syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 Word ++ reverse ++ reverse
101 s1co 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15
10272, 49, 101sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
103102oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 Word ++ reverse ++ reverse
10497, 100, 1033eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12 Word reverse ++ ++ reverse
105104oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11 Word ++ ++ reverse ++ ++ ++ ++ reverse
106 ccatcl 12771 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word ++ Word
10745, 91, 106syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 Word ++ Word
10878s1cld 12795 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
109 ccatass 12783 . . . . . . . . . . . 12 ++ Word Word reverse Word ++ ++ ++ reverse ++ ++ ++ reverse
110107, 108, 51, 109syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 Word ++ ++ ++ reverse ++ ++ ++ reverse
111 ccatass 12783 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word Word ++ ++ ++ ++
11245, 91, 108, 111syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 Word ++ ++ ++ ++
113 df-s2 13003 . . . . . . . . . . . . . 14 ++
114113oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13 ++ ++ ++
115112, 114syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . 12 Word ++ ++ ++
116115oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 Word ++ ++ ++ reverse ++ ++ reverse
117105, 110, 1163eqtr2rd 2512 . . . . . . . . . 10 Word ++ ++ reverse ++ ++ reverse ++
11875, 90, 1173eqtrd 2509 . . . . . . . . 9 Word ++ reverse ++ ++ reverse ++
1191, 36, 48, 73efgtf 17450 . . . . . . . . . . . 12 ++ reverse ++ reverse ++ reverse ++ reverse splice ++ reverse ++ reverse
120119simprd 470 . . . . . . . . . . 11 ++ reverse ++ reverse ++ reverse
121 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11 ++ reverse ++ reverse ++ reverse ++ reverse
12255, 120, 1213syl 18 . . . . . . . . . 10 Word ++ reverse ++ reverse
123 fnovrn 6463 . . . . . . . . . 10 ++ reverse ++ reverse ++ reverse ++ reverse ++ reverse
124122, 71, 72, 123syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 Word ++ reverse ++ reverse
125118, 124eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8 Word ++ ++ reverse ++ ++ reverse
1261, 36, 48, 73efgi2 17453 . . . . . . . 8 ++ reverse ++ ++ reverse ++ ++ reverse ++ reverse ++ ++ reverse ++
12755, 125, 126syl2anc 673 . . . . . . 7 Word ++ reverse ++ ++ reverse ++
12844, 127ersym 7393 . . . . . 6 Word ++ ++ reverse ++ ++ reverse
12944ertr 7396 . . . . . 6 Word ++ ++ reverse ++ ++ reverse ++ reverse ++ ++ reverse ++
130128, 129mpand 689 . . . . 5 Word ++ reverse ++ ++ reverse ++
131130expcom 442 . . . 4 Word ++ reverse ++ ++ reverse ++
132131a2d 28 . . 3 Word ++ reverse ++ ++ reverse ++
13314, 20, 26, 32, 43, 132wrdind 12887 . 2 Word ++ reverse
1344, 133mpcom 36 1 ++ reverse
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cdif 3387  c0 3722  cop 3965  cotp 3967   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cid 4749   cxp 4837   crn 4840   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1o 7193  c2o 7194   wer 7378  cc0 9557   caddc 9560  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  chash 12553  Word cword 12703   ++ cconcat 12705  cs1 12706   splice csplice 12708  reversecreverse 12709  cs2 12996   ~FG cefg 17434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-efg 17437 This theorem is referenced by:  efginvrel1  17456  frgpinv  17492
 Copyright terms: Public domain W3C validator