Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efginvrel1 Structured version   Unicode version

Theorem efginvrel1 16619
 Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
Assertion
Ref Expression
efginvrel1 reverse concat
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,,   , ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,)   (,)

Proof of Theorem efginvrel1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 Word
2 fviss 5932 . . . . . . . . . 10 Word Word
31, 2eqsstri 3539 . . . . . . . . 9 Word
43sseli 3505 . . . . . . . 8 Word
5 revcl 12715 . . . . . . . 8 Word reverse Word
64, 5syl 16 . . . . . . 7 reverse Word
7 efgval2.m . . . . . . . 8
87efgmf 16604 . . . . . . 7
9 revco 12780 . . . . . . 7 reverse Word reversereverse reverse reverse
106, 8, 9sylancl 662 . . . . . 6 reversereverse reverse reverse
11 revrev 12721 . . . . . . . 8 Word reversereverse
124, 11syl 16 . . . . . . 7 reversereverse
1312coeq2d 5171 . . . . . 6 reversereverse
1410, 13eqtr3d 2510 . . . . 5 reverse reverse
1514coeq2d 5171 . . . 4 reverse reverse
16 wrdf 12534 . . . . . . . . 9 Word ..^
174, 16syl 16 . . . . . . . 8 ..^
1817ffvelrnda 6032 . . . . . . 7 ..^
197efgmnvl 16605 . . . . . . 7
2018, 19syl 16 . . . . . 6 ..^
2120mpteq2dva 4539 . . . . 5 ..^ ..^
228ffvelrni 6031 . . . . . . 7
2318, 22syl 16 . . . . . 6 ..^
24 fcompt 6068 . . . . . . 7 ..^ ..^
258, 17, 24sylancr 663 . . . . . 6 ..^
268a1i 11 . . . . . . 7
2726feqmptd 5927 . . . . . 6
28 fveq2 5872 . . . . . 6
2923, 25, 27, 28fmptco 6065 . . . . 5 ..^
3017feqmptd 5927 . . . . 5 ..^
3121, 29, 303eqtr4d 2518 . . . 4
3215, 31eqtrd 2508 . . 3 reverse reverse
3332oveq2d 6311 . 2 reverse concat reverse reverse reverse concat
34 wrdco 12777 . . . . 5 reverse Word reverse Word
356, 8, 34sylancl 662 . . . 4 reverse Word
361efgrcl 16606 . . . . 5 Word
3736simprd 463 . . . 4 Word
3835, 37eleqtrrd 2558 . . 3 reverse
39 efgval.r . . . 4 ~FG
40 efgval2.t . . . 4 splice
411, 39, 7, 40efginvrel2 16618 . . 3 reverse reverse concat reverse reverse
4238, 41syl 16 . 2 reverse concat reverse reverse
4333, 42eqbrtrrd 4475 1 reverse concat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   cdif 3478  c0 3790  cop 4039  cotp 4041   class class class wbr 4453   cmpt 4511   cid 4796   cxp 5003   ccom 5009  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  c1o 7135  c2o 7136  cc0 9504  cfz 11684  ..^cfzo 11804  chash 12385  Word cword 12515   concat cconcat 12517   splice csplice 12520  reversecreverse 12521  cs2 12786   ~FG cefg 16597 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-reverse 12529  df-s2 12793  df-efg 16600 This theorem is referenced by:  frgp0  16651
 Copyright terms: Public domain W3C validator