MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi1 Structured version   Unicode version

Theorem efgi1 16334
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi1
StepHypRef Expression
1 1on 7032 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
21elexi 3082 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
32prid2 4087 . . . . 5  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
4 df2o3 7038 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
53, 4eleqtrri 2539 . . . 4  |-  1o  e.  2o
6 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
7 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
86, 7efgi 16332 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  1o  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >. )
)
95, 8mpanr2 684 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >. )
)
1093impa 1183 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >. )
)
11 tru 1374 . . . 4  |- T.
12 eqidd 2453 . . . . 5  |-  ( T. 
->  <. J ,  1o >.  =  <. J ,  1o >. )
13 difid 3850 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  1o )  =  (/)
1413opeq2i 4166 . . . . . 6  |-  <. J , 
( 1o  \  1o ) >.  =  <. J ,  (/)
>.
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  <. J ,  ( 1o  \  1o )
>.  =  <. J ,  (/)
>. )
1612, 15s2eqd 12602 . . . 4  |-  ( T. 
->  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. ">  =  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> )
17 oteq3 4173 . . . 4  |-  ( <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. ">  =  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. ">  -> 
<. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> >.
)
1811, 16, 17mp2b 10 . . 3  |-  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> >.
1918oveq2i 6206 . 2  |-  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >. )  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
2010, 19syl6breq 4434 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    \ cdif 3428   (/)c0 3740   {cpr 3982   <.cop 3986   <.cotp 3988   class class class wbr 4395    _I cid 4734   Oncon0 4822    X. cxp 4941   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   1oc1o 7018   2oc2o 7019   0cc0 9388   ...cfz 11549   #chash 12215  Word cword 12334   splice csplice 12339   <"cs2 12581   ~FG cefg 16319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-hash 12216  df-word 12342  df-concat 12344  df-s1 12345  df-substr 12346  df-splice 12347  df-s2 12588  df-efg 16322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator