MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi1 Unicode version

Theorem efgi1 15308
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi1
StepHypRef Expression
1 1on 6690 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
21elexi 2925 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
32prid2 3873 . . . . 5  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
4 df2o3 6696 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
53, 4eleqtrri 2477 . . . 4  |-  1o  e.  2o
6 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
7 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
86, 7efgi 15306 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  1o  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >. )
)
95, 8mpanr2 666 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >. )
)
1093impa 1148 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >. )
)
11 tru 1327 . . . 4  |-  T.
12 eqidd 2405 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  1o >.  =  <. J ,  1o >. )
13 difid 3656 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  1o )  =  (/)
1413opeq2i 3948 . . . . . 6  |-  <. J , 
( 1o  \  1o ) >.  =  <. J ,  (/)
>.
1514a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  ( 1o  \  1o )
>.  =  <. J ,  (/)
>. )
1612, 15s2eqd 11781 . . . 4  |-  (  T. 
->  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. ">  =  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> )
17 oteq3 3955 . . . 4  |-  ( <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. ">  =  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. ">  -> 
<. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> >.
)
1811, 16, 17mp2b 10 . . 3  |-  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J , 
( 1o  \  1o ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  1o >. <. J ,  (/) >. "> >.
1918oveq2i 6051 . 2  |-  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  ( 1o  \  1o )
>. "> >. )  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
2010, 19syl6breq 4211 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  1o >. <. J ,  (/)
>. "> >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277   (/)c0 3588   {cpr 3775   <.cop 3777   <.cotp 3778   class class class wbr 4172    _I cid 4453   Oncon0 4541    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   2oc2o 6677   0cc0 8946   ...cfz 10999   #chash 11573  Word cword 11672   splice csplice 11676   <"cs2 11760   ~FG cefg 15293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-substr 11681  df-splice 11682  df-s2 11767  df-efg 15296
  Copyright terms: Public domain W3C validator