MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi0 Structured version   Unicode version

Theorem efgi0 16342
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi0  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi0
StepHypRef Expression
1 0ex 4533 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
21prid1 4094 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
3 df2o3 7046 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
42, 3eleqtrri 2541 . . . 4  |-  (/)  e.  2o
5 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
6 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
75, 6efgi 16341 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  (/)  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
84, 7mpanr2 684 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
) )
983impa 1183 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
10 tru 1374 . . . 4  |- T.
11 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( T. 
->  <. J ,  (/) >.  =  <. J ,  (/) >.
)
12 dif0 3860 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
1312opeq2i 4174 . . . . . 6  |-  <. J , 
( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >.
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >. )
1511, 14s2eqd 12611 . . . 4  |-  ( T. 
->  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> )
16 oteq3 4181 . . . 4  |-  ( <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  1o >. ">  ->  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
1710, 15, 16mp2b 10 . . 3  |-  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >.
1817oveq2i 6214 . 2  |-  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
199, 18syl6breq 4442 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    \ cdif 3436   (/)c0 3748   {cpr 3990   <.cop 3994   <.cotp 3996   class class class wbr 4403    _I cid 4742    X. cxp 4949   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1oc1o 7026   2oc2o 7027   0cc0 9397   ...cfz 11558   #chash 12224  Word cword 12343   splice csplice 12348   <"cs2 12590   ~FG cefg 16328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353  df-s1 12354  df-substr 12355  df-splice 12356  df-s2 12597  df-efg 16331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator