MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem efgi 17424
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi
Dummy variables  a 
b  i  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  A  ->  ( # `
 u )  =  ( # `  A
) )
21oveq2d 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  A  ->  (
0 ... ( # `  u
) )  =  ( 0 ... ( # `  A ) ) )
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  A  ->  u  =  A )
4 oveq1 6327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  A  ->  (
u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)
53, 4breq12d 4431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  A  ->  (
u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A r ( A splice  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >. ) ) )
652ralbidv 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  A  ->  ( A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A
r ( A splice  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >. ) ) )
72, 6raleqbidv 3013 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  A  ->  ( A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  <->  A. i  e.  ( 0 ... ( # `  A ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A
r ( A splice  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >. ) ) )
87rspcv 3158 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  W  ->  ( A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  ->  A. i  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
) )
9 oteq1 4189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >.  =  <. N , 
i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)
10 oteq2 4190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  <. N , 
i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)
119, 10eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  N  ->  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)
1211oveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  N  ->  ( A splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)
1312breq2d 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  N  ->  ( A r ( A splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) )
14132ralbidv 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  N  ->  ( A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A
r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) )
1514rspcv 3158 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  ->  ( A. i  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  ->  A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) )
168, 15sylan9 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( A. u  e.  W  A. i  e.  ( 0 ... ( # `
 u ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  ->  A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
) )
17 opeq1 4180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  J  ->  <. a ,  b >.  =  <. J ,  b >. )
18 opeq1 4180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  J  ->  <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >.  =  <. J ,  ( 1o  \ 
b ) >. )
1917, 18s2eqd 13001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  J  ->  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. ">  =  <" <. J , 
b >. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> )
2019oteq3d 4194 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  J  ->  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J , 
b >. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
2120oveq2d 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  J  ->  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b
>. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)
2221breq2d 4430 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  J  ->  ( A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b >. <. J , 
( 1o  \  b
) >. "> >. )
) )
23 opeq2 4181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  K  ->  <. J , 
b >.  =  <. J ,  K >. )
24 difeq2 3557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  K  ->  ( 1o  \  b )  =  ( 1o  \  K
) )
2524opeq2d 4187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  K  ->  <. J , 
( 1o  \  b
) >.  =  <. J , 
( 1o  \  K
) >. )
2623, 25s2eqd 13001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  K  ->  <" <. J ,  b >. <. J , 
( 1o  \  b
) >. ">  =  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> )
2726oteq3d 4194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  K  ->  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b >. <. J , 
( 1o  \  b
) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K ) >. "> >.
)
2827oveq2d 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  K  ->  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J , 
b >. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )
)
2928breq2d 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  K  ->  ( A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b
>. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )
) )
30 df-br 4419 . . . . . . . . 9  |-  ( A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )  <->  <. A ,  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> >. ) >.  e.  r )
3129, 30syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  K  ->  ( A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b
>. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  <. A ,  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> >. ) >.  e.  r ) )
3222, 31rspc2v 3171 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  I  /\  K  e.  2o )  ->  ( A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
3316, 32sylan9 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  ( A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
3433adantld 473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  (
( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) )  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
3534alrimiv 1784 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  A. r
( ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  ( 0 ... ( # `
 u ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
36 opex 4681 . . . . 5  |-  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  _V
3736elintab 4259 . . . 4  |-  ( <. A ,  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> >. ) >.  e.  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) }  <->  A. r
( ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  ( 0 ... ( # `
 u ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
3835, 37sylibr 217 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) } )
39 efgval.w . . . 4  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
40 efgval.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
4139, 40efgval 17422 . . 3  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  ( 0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) }
4238, 41syl6eleqr 2551 . 2  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  .~  )
43 df-br 4419 . 2  |-  ( A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )  <->  <. A ,  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> >. ) >.  e.  .~  )
4442, 43sylibr 217 1  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375   A.wal 1453    = wceq 1455    e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749    \ cdif 3413   <.cop 3986   <.cotp 3988   |^|cint 4248   class class class wbr 4418    _I cid 4766    X. cxp 4854   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   1oc1o 7206   2oc2o 7207    Er wer 7391   0cc0 9570   ...cfz 11819   #chash 12553  Word cword 12695   splice csplice 12700   <"cs2 12980   ~FG cefg 17411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-hash 12554  df-word 12703  df-concat 12705  df-s1 12706  df-substr 12707  df-splice 12708  df-s2 12987  df-efg 17414
This theorem is referenced by:  efgi0  17425  efgi1  17426
  Copyright terms: Public domain W3C validator