Theorem efgi 16610

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efgi	|- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) )

Proof of Theorem efgi

Dummy variables a b i r u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = A -> ( # ` u ) = ( # ` A ) )
2	1	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( u = A -> ( 0 ... ( # ` u ) ) = ( 0 ... ( # ` A ) ) )
3		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = A -> u = A )
4		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = A -> ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) )
5	3, 4	breq12d 4466	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = A -> ( u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
6	5	2ralbidv 2911	. . . . . . . . . 10 |- ( u = A -> ( A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
7	2, 6	raleqbidv 3077	. . . . . . . . 9 |- ( u = A -> ( A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A. i e. ( 0 ... ( # ` A ) ) A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
8	7	rspcv 3215	. . . . . . . 8 |- ( A e. W -> ( A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> A. i e. ( 0 ... ( # ` A ) ) A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
9		oteq1 4228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. )
10		oteq2 4229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> <. N , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. )
11	9, 10	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. )
12	11	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = N -> ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) )
13	12	breq2d 4465	. . . . . . . . . 10 |- ( i = N -> ( A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
14	13	2ralbidv 2911	. . . . . . . . 9 |- ( i = N -> ( A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
15	14	rspcv 3215	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) -> ( A. i e. ( 0 ... ( # ` A ) ) A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
16	8, 15	sylan9 657	. . . . . . 7 |- ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) -> ( A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
17		opeq1 4219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = J -> <. a , b >. = <. J , b >. )
18		opeq1 4219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = J -> <. a , ( 1o \ b ) >. = <. J , ( 1o \ b ) >. )
19	17, 18	s2eqd 12807	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = J -> <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> = <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> )
20	19	oteq3d 4233	. . . . . . . . . 10 |- ( a = J -> <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. )
21	20	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( a = J -> ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) )
22	21	breq2d 4465	. . . . . . . 8 |- ( a = J -> ( A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
23		opeq2 4220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = K -> <. J , b >. = <. J , K >. )
24		difeq2 3621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = K -> ( 1o \ b ) = ( 1o \ K ) )
25	24	opeq2d 4226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = K -> <. J , ( 1o \ b ) >. = <. J , ( 1o \ K ) >. )
26	23, 25	s2eqd 12807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = K -> <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> = <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> )
27	26	oteq3d 4233	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = K -> <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. )
28	27	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( b = K -> ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) )
29	28	breq2d 4465	. . . . . . . . 9 |- ( b = K -> ( A r ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) ) )
30		df-br 4454	. . . . . . . . 9 |- ( A r ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) <-> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r )
31	29, 30	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( b = K -> ( A r ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
32	22, 31	rspc2v 3228	. . . . . . 7 |- ( ( J e. I /\ K e. 2o ) -> ( A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
33	16, 32	sylan9 657	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> ( A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
34	33	adantld 467	. . . . 5 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> ( ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
35	34	alrimiv 1695	. . . 4 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> A. r ( ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
36		opex 4717	. . . . 5 |- <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. _V
37	36	elintab 4299	. . . 4 |- ( <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. |^| { r | ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) } <-> A. r ( ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
38	35, 37	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. |^| { r | ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) } )
39		efgval.w	. . . 4 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
40		efgval.r	. . . 4 |- .~ = ( ~FG ` I )
41	39, 40	efgval 16608	. . 3 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) }
42	38, 41	syl6eleqr 2566	. 2 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. .~ )
43		df-br 4454	. 2 |- ( A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) <-> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. .~ )
44	42, 43	sylibr 212	1 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   \ cdif 3478   <.cop 4039   <.cotp 4041   |^|cint 4288   class class class wbr 4453   _I cid 4796   X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1oc1o 7135   2oc2o 7136   Er wer 7320   0cc0 9504   ...cfz 11684   #chash 12385  Word cword 12515   splice csplice 12520   <"cs2 12786   ~_FG cefg 16597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-s2 12793  df-efg 16600

This theorem is referenced by:  efgi0  16611  efgi1  16612