MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi Structured version   Unicode version

Theorem efgi 16610
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi
Dummy variables  a 
b  i  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  A  ->  ( # `
 u )  =  ( # `  A
) )
21oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  A  ->  (
0 ... ( # `  u
) )  =  ( 0 ... ( # `  A ) ) )
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  A  ->  u  =  A )
4 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  A  ->  (
u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)
53, 4breq12d 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  A  ->  (
u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A r ( A splice  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >. ) ) )
652ralbidv 2911 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  A  ->  ( A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A
r ( A splice  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >. ) ) )
72, 6raleqbidv 3077 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  A  ->  ( A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  <->  A. i  e.  ( 0 ... ( # `  A ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A
r ( A splice  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >. ) ) )
87rspcv 3215 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  W  ->  ( A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  ->  A. i  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
) )
9 oteq1 4228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >.  =  <. N , 
i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)
10 oteq2 4229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  N  ->  <. N , 
i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)
119, 10eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  N  ->  <. i ,  i ,  <"
<. a ,  b >. <. a ,  ( 1o 
\  b ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)
1211oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  N  ->  ( A splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)
1312breq2d 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  N  ->  ( A r ( A splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) )
14132ralbidv 2911 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  N  ->  ( A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A
r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) )
1514rspcv 3215 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  ->  ( A. i  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  ->  A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) )
168, 15sylan9 657 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( A. u  e.  W  A. i  e.  ( 0 ... ( # `
 u ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  ->  A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
) )
17 opeq1 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  J  ->  <. a ,  b >.  =  <. J ,  b >. )
18 opeq1 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  J  ->  <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >.  =  <. J ,  ( 1o  \ 
b ) >. )
1917, 18s2eqd 12807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  J  ->  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. ">  =  <" <. J , 
b >. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> )
2019oteq3d 4233 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  J  ->  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J , 
b >. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
2120oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  J  ->  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b
>. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)
2221breq2d 4465 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  J  ->  ( A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b >. <. J , 
( 1o  \  b
) >. "> >. )
) )
23 opeq2 4220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  K  ->  <. J , 
b >.  =  <. J ,  K >. )
24 difeq2 3621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  K  ->  ( 1o  \  b )  =  ( 1o  \  K
) )
2524opeq2d 4226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  K  ->  <. J , 
( 1o  \  b
) >.  =  <. J , 
( 1o  \  K
) >. )
2623, 25s2eqd 12807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  K  ->  <" <. J ,  b >. <. J , 
( 1o  \  b
) >. ">  =  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> )
2726oteq3d 4233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  K  ->  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b >. <. J , 
( 1o  \  b
) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <"
<. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K ) >. "> >.
)
2827oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  K  ->  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J , 
b >. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )
)
2928breq2d 4465 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  K  ->  ( A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b
>. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )
) )
30 df-br 4454 . . . . . . . . 9  |-  ( A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )  <->  <. A ,  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> >. ) >.  e.  r )
3129, 30syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  K  ->  ( A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  b
>. <. J ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )  <->  <. A ,  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> >. ) >.  e.  r ) )
3222, 31rspc2v 3228 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  I  /\  K  e.  2o )  ->  ( A. a  e.  I  A. b  e.  2o  A r ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
3316, 32sylan9 657 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  ( A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
)  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
3433adantld 467 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  (
( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) )  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
3534alrimiv 1695 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  A. r
( ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  ( 0 ... ( # `
 u ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
36 opex 4717 . . . . 5  |-  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  _V
3736elintab 4299 . . . 4  |-  ( <. A ,  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> >. ) >.  e.  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) }  <->  A. r
( ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  ( 0 ... ( # `
 u ) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i , 
<" <. a ,  b
>. <. a ,  ( 1o  \  b )
>. "> >. )
)  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  r ) )
3835, 37sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  (
0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) } )
39 efgval.w . . . 4  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
40 efgval.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
4139, 40efgval 16608 . . 3  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. u  e.  W  A. i  e.  ( 0 ... ( # `  u
) ) A. a  e.  I  A. b  e.  2o  u r ( u splice  <. i ,  i ,  <" <. a ,  b >. <. a ,  ( 1o  \ 
b ) >. "> >.
) ) }
4238, 41syl6eleqr 2566 . 2  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  <. A , 
( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. ) >.  e.  .~  )
43 df-br 4454 . 2  |-  ( A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )  <->  <. A ,  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J ,  ( 1o  \  K )
>. "> >. ) >.  e.  .~  )
4442, 43sylibr 212 1  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  K  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  K >. <. J , 
( 1o  \  K
) >. "> >. )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817    \ cdif 3478   <.cop 4039   <.cotp 4041   |^|cint 4288   class class class wbr 4453    _I cid 4796    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1oc1o 7135   2oc2o 7136    Er wer 7320   0cc0 9504   ...cfz 11684   #chash 12385  Word cword 12515   splice csplice 12520   <"cs2 12786   ~FG cefg 16597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-s2 12793  df-efg 16600
This theorem is referenced by:  efgi0  16611  efgi1  16612
  Copyright terms: Public domain W3C validator