Theorem efgi 17063

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efgi	|- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) )

Proof of Theorem efgi

Dummy variables a b i r u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5851	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = A -> ( # ` u ) = ( # ` A ) )
2	1	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( u = A -> ( 0 ... ( # ` u ) ) = ( 0 ... ( # ` A ) ) )
3		id 23	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = A -> u = A )
4		oveq1 6287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = A -> ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) )
5	3, 4	breq12d 4410	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = A -> ( u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
6	5	2ralbidv 2850	. . . . . . . . . 10 |- ( u = A -> ( A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
7	2, 6	raleqbidv 3020	. . . . . . . . 9 |- ( u = A -> ( A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A. i e. ( 0 ... ( # ` A ) ) A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
8	7	rspcv 3158	. . . . . . . 8 |- ( A e. W -> ( A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> A. i e. ( 0 ... ( # ` A ) ) A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
9		oteq1 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. )
10		oteq2 4171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = N -> <. N , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. )
11	9, 10	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = N -> <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. )
12	11	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = N -> ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) )
13	12	breq2d 4409	. . . . . . . . . 10 |- ( i = N -> ( A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
14	13	2ralbidv 2850	. . . . . . . . 9 |- ( i = N -> ( A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
15	14	rspcv 3158	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) -> ( A. i e. ( 0 ... ( # ` A ) ) A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
16	8, 15	sylan9 657	. . . . . . 7 |- ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) -> ( A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
17		opeq1 4161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = J -> <. a , b >. = <. J , b >. )
18		opeq1 4161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = J -> <. a , ( 1o \ b ) >. = <. J , ( 1o \ b ) >. )
19	17, 18	s2eqd 12885	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = J -> <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> = <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> )
20	19	oteq3d 4175	. . . . . . . . . 10 |- ( a = J -> <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. )
21	20	oveq2d 6296	. . . . . . . . 9 |- ( a = J -> ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) )
22	21	breq2d 4409	. . . . . . . 8 |- ( a = J -> ( A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) )
23		opeq2 4162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = K -> <. J , b >. = <. J , K >. )
24		difeq2 3557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = K -> ( 1o \ b ) = ( 1o \ K ) )
25	24	opeq2d 4168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = K -> <. J , ( 1o \ b ) >. = <. J , ( 1o \ K ) >. )
26	23, 25	s2eqd 12885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = K -> <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> = <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> )
27	26	oteq3d 4175	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = K -> <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. = <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. )
28	27	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( b = K -> ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) = ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) )
29	28	breq2d 4409	. . . . . . . . 9 |- ( b = K -> ( A r ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> A r ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) ) )
30		df-br 4398	. . . . . . . . 9 |- ( A r ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) <-> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r )
31	29, 30	syl6bb 263	. . . . . . . 8 |- ( b = K -> ( A r ( A splice <. N , N , <" <. J , b >. <. J , ( 1o \ b ) >. "> >. ) <-> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
32	22, 31	rspc2v 3171	. . . . . . 7 |- ( ( J e. I /\ K e. 2o ) -> ( A. a e. I A. b e. 2o A r ( A splice <. N , N , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
33	16, 32	sylan9 657	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> ( A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
34	33	adantld 467	. . . . 5 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> ( ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
35	34	alrimiv 1742	. . . 4 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> A. r ( ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
36		opex 4657	. . . . 5 |- <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. _V
37	36	elintab 4240	. . . 4 |- ( <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. |^| { r | ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) } <-> A. r ( ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. r ) )
38	35, 37	sylibr 214	. . 3 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. |^| { r | ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) } )
39		efgval.w	. . . 4 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
40		efgval.r	. . . 4 |- .~ = ( ~FG ` I )
41	39, 40	efgval 17061	. . 3 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. u e. W A. i e. ( 0 ... ( # ` u ) ) A. a e. I A. b e. 2o u r ( u splice <. i , i , <" <. a , b >. <. a , ( 1o \ b ) >. "> >. ) ) }
42	38, 41	syl6eleqr 2503	. 2 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. .~ )
43		df-br 4398	. 2 |- ( A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) <-> <. A , ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) >. e. .~ )
44	42, 43	sylibr 214	1 |- ( ( ( A e. W /\ N e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ ( J e. I /\ K e. 2o ) ) -> A .~ ( A splice <. N , N , <" <. J , K >. <. J , ( 1o \ K ) >. "> >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1405   = wceq 1407   e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   \ cdif 3413   <.cop 3980   <.cotp 3982   |^|cint 4229   class class class wbr 4397   _I cid 4735   X. cxp 4823   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   1oc1o 7162   2oc2o 7163   Er wer 7347   0cc0 9524   ...cfz 11728   #chash 12454  Word cword 12585   splice csplice 12590   <"cs2 12864   ~_FG cefg 17050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-ot 3983  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-hash 12455  df-word 12593  df-concat 12595  df-s1 12596  df-substr 12597  df-splice 12598  df-s2 12871  df-efg 17053

This theorem is referenced by:  efgi0  17064  efgi1  17065