Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efghgrp Structured version   Unicode version

Theorem efghgrp 25148
 Description: The image of a subgroup of the group , under the exponential function of a scaled complex number, is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
efghgrp.1
efghgrp.2
efghgrp.3
efghgrp.4
efghgrp.5
Assertion
Ref Expression
efghgrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem efghgrp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efghgrp.2 . . 3
2 efghgrp.1 . . . . . . 7
3 eqid 2467 . . . . . . . 8
43rnmpt 5248 . . . . . . 7
52, 4eqtr4i 2499 . . . . . 6
6 df-ima 5012 . . . . . . . 8
7 efghgrp.4 . . . . . . . . . 10
8 resmpt 5323 . . . . . . . . . 10
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9
109rneqd 5230 . . . . . . . 8
116, 10syl5eq 2520 . . . . . . 7
12 ax-addf 9572 . . . . . . . . . . 11
1312fdmi 5736 . . . . . . . . . 10
1413a1i 11 . . . . . . . . 9
15 cnaddablo 25125 . . . . . . . . . . . 12
16 efghgrp.5 . . . . . . . . . . . 12
17 subgoablo 25086 . . . . . . . . . . . 12
1815, 16, 17mp2an 672 . . . . . . . . . . 11
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10
20 ablogrpo 25059 . . . . . . . . . 10
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9
22 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
2322resgrprn 25055 . . . . . . . . 9
2414, 21, 7, 23syl3anc 1228 . . . . . . . 8
2524imaeq2d 5337 . . . . . . 7
2611, 25eqtr3d 2510 . . . . . 6
275, 26syl5eq 2520 . . . . 5
2827, 27xpeq12d 5024 . . . 4
2928reseq2d 5273 . . 3
301, 29syl5eq 2520 . 2
3116a1i 11 . . 3
32 ablogrpo 25059 . . . . 5
3315, 32ax-mp 5 . . . 4
3433, 13grporn 24987 . . 3
35 efghgrp.3 . . . . 5
36 mulcl 9577 . . . . . 6
37 efcl 13683 . . . . . 6
3836, 37syl 16 . . . . 5
3935, 38sylan 471 . . . 4
40 eqid 2467 . . . 4
4139, 40fmptd 6046 . . 3
42 ssid 3523 . . . 4
4342a1i 11 . . 3
44 ax-mulf 9573 . . . . 5
45 ffn 5731 . . . . 5
4644, 45ax-mp 5 . . . 4
4746a1i 11 . . 3
48 cnrng 18251 . . . . . . . 8 fld
49 rnggrp 17017 . . . . . . . 8 fld fld
50 cnfldbas 18235 . . . . . . . . 9 fld
5150subgid 16017 . . . . . . . 8 fld SubGrpfld
5248, 49, 51mp2b 10 . . . . . . 7 SubGrpfld
5352jctr 542 . . . . . 6 SubGrpfld
5440efgh 22753 . . . . . 6 SubGrpfld
5553, 54syl3an1 1261 . . . . 5
56553expb 1197 . . . 4
5735, 56sylan 471 . . 3
58 eqid 2467 . . 3
59 eqid 2467 . . 3
60 eqid 2467 . . 3
6131, 34, 41, 43, 47, 57, 58, 59, 60, 19ghsubablo 25147 . 2
6230, 61eqeltrd 2555 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wrex 2815   wss 3476   cmpt 4505   cxp 4997   cdm 4999   crn 5000   cres 5001  cima 5002   wfn 5583  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6285  cc 9491   caddc 9496   cmul 9498  ce 13662  cgrp 15730  SubGrpcsubg 16009  crg 17012  ℂfldccnfld 18231  cgr 24961  cablo 25056  csubgo 25076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-ico 11536  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-ef 13668  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-subg 16012  df-cmn 16615  df-mgp 16956  df-rng 17014  df-cring 17015  df-cnfld 18232  df-grpo 24966  df-gid 24967  df-ginv 24968  df-gdiv 24969  df-ablo 25057  df-subgo 25077 This theorem is referenced by:  circgrpOLD  25149
 Copyright terms: Public domain W3C validator