MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efger Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem efger 17446
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efger  |-  .~  Er  W

Proof of Theorem efger
Dummy variables  r 
y  z  n  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
21efglem 17444 . . . 4  |-  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
3 abn0 3754 . . . 4  |-  ( { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =/=  (/)  <->  E. r ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) )
42, 3mpbir 214 . . 3  |-  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  =/=  (/)
5 ereq1 7388 . . . . 5  |-  ( w  =  r  ->  (
w  Er  W  <->  r  Er  W ) )
65ralab2 3191 . . . 4  |-  ( A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  Er  W  <->  A. r ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  Er  W ) )
7 simpl 464 . . . 4  |-  ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  Er  W )
86, 7mpgbir 1681 . . 3  |-  A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } w  Er  W
9 iiner 7453 . . 3  |-  ( ( { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =/=  (/) 
/\  A. w  e.  {
r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } w  Er  W )  ->  |^|_ w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } w  Er  W )
104, 8, 9mp2an 686 . 2  |-  |^|_ w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } w  Er  W
11 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
121, 11efgval 17445 . . . 4  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
13 intiin 4323 . . . 4  |-  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  =  |^|_ w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } w
1412, 13eqtri 2493 . . 3  |-  .~  =  |^|_
w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w
15 ereq1 7388 . . 3  |-  (  .~  =  |^|_ w  e.  {
r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } w  ->  (  .~  Er  W  <->  |^|_
w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  Er  W ) )
1614, 15ax-mp 5 . 2  |-  (  .~  Er  W  <->  |^|_ w  e.  {
r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } w  Er  W )
1710, 16mpbir 214 1  |-  .~  Er  W
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756    \ cdif 3387   (/)c0 3722   <.cop 3965   <.cotp 3967   |^|cint 4226   |^|_ciin 4270   class class class wbr 4395    _I cid 4749    X. cxp 4837   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1oc1o 7193   2oc2o 7194    Er wer 7378   0cc0 9557   ...cfz 11810   #chash 12553  Word cword 12703   splice csplice 12708   <"cs2 12996   ~FG cefg 17434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-s2 13003  df-efg 17437
This theorem is referenced by:  efginvrel2  17455  efgsrel  17462  efgredeu  17480  efgred2  17481  efgcpbllemb  17483  efgcpbl2  17485  frgpcpbl  17487  frgp0  17488  frgpadd  17491  frgpinv  17492  frgpmhm  17493  frgpuplem  17500  frgpupf  17501  frgpupval  17502  frgpup3lem  17505  frgpnabllem1  17587  frgpnabllem2  17588
  Copyright terms: Public domain W3C validator