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Theorem efgcpbllemb 17483
Description: Lemma for efgrelex 17479. Show that  L is an equivalence relation containing all direct extensions of a word, so is closed under  .~. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
efgcpbllem.1  |-  L  =  { <. i ,  j
>.  |  ( {
i ,  j } 
C_  W  /\  (
( A ++  i ) ++  B )  .~  (
( A ++  j ) ++  B ) ) }
Assertion
Ref Expression
efgcpbllemb  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  .~  C_  L )
Distinct variable groups:    i, j, A    y, z    t, n, v, w, y, z   
i, m, n, t, v, w, x, M, j    i, k, T, j, m, t, x   
y, i, z, W, j    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , i,
j, m, t, x, y, z    B, i, j    S, i, j    i, I, j, m, n, t, v, w, x, y, z    D, i, j, m, t
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y, z, w, v, n)    I( k)    L( x, y, z, w, v, t, i, j, k, m, n)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgcpbllemb
Dummy variables  a 
b  c  f  g  h  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . 3  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . 3  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . 3  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . 3  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
51, 2, 3, 4efgval2 17452 . 2  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f ) 
C_  [ f ] r ) }
6 efgcpbllem.1 . . . . . . 7  |-  L  =  { <. i ,  j
>.  |  ( {
i ,  j } 
C_  W  /\  (
( A ++  i ) ++  B )  .~  (
( A ++  j ) ++  B ) ) }
76relopabi 4964 . . . . . 6  |-  Rel  L
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  Rel  L )
9 efgred.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
10 efgred.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
111, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17482 . . . . . . . 8  |-  ( f L g  <->  ( f  e.  W  /\  g  e.  W  /\  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  g ) ++  B ) ) )
1211simp2bi 1046 . . . . . . 7  |-  ( f L g  ->  g  e.  W )
1312adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  g  e.  W )
1411simp1bi 1045 . . . . . . 7  |-  ( f L g  ->  f  e.  W )
1514adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  f  e.  W )
161, 2efger 17446 . . . . . . . 8  |-  .~  Er  W
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  .~  Er  W )
1811simp3bi 1047 . . . . . . . 8  |-  ( f L g  ->  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  g ) ++  B ) )
1918adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  g ) ++  B ) )
2017, 19ersym 7393 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  (
( A ++  g ) ++  B )  .~  (
( A ++  f ) ++  B ) )
211, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17482 . . . . . 6  |-  ( g L f  <->  ( g  e.  W  /\  f  e.  W  /\  (
( A ++  g ) ++  B )  .~  (
( A ++  f ) ++  B ) ) )
2213, 15, 20, 21syl3anbrc 1214 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  g L f )
2314ad2antrl 742 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  f  e.  W
)
241, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17482 . . . . . . . 8  |-  ( g L h  <->  ( g  e.  W  /\  h  e.  W  /\  (
( A ++  g ) ++  B )  .~  (
( A ++  h ) ++  B ) ) )
2524simp2bi 1046 . . . . . . 7  |-  ( g L h  ->  h  e.  W )
2625ad2antll 743 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  h  e.  W
)
2716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  .~  Er  W
)
2818ad2antrl 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  ( ( A ++  f ) ++  B )  .~  ( ( A ++  g ) ++  B ) )
2924simp3bi 1047 . . . . . . . 8  |-  ( g L h  ->  (
( A ++  g ) ++  B )  .~  (
( A ++  h ) ++  B ) )
3029ad2antll 743 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  ( ( A ++  g ) ++  B )  .~  ( ( A ++  h ) ++  B ) )
3127, 28, 30ertrd 7397 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  ( ( A ++  f ) ++  B )  .~  ( ( A ++  h ) ++  B ) )
321, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17482 . . . . . 6  |-  ( f L h  <->  ( f  e.  W  /\  h  e.  W  /\  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  h ) ++  B ) ) )
3323, 26, 31, 32syl3anbrc 1214 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  f L h )
3416a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  .~  Er  W )
35 fviss 5938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
361, 35eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
37 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  A  e.  W )
3836, 37sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  A  e. Word  ( I  X.  2o ) )
39 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  f  e.  W )
4036, 39sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  f  e. Word  ( I  X.  2o ) )
41 ccatcl 12771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  f  e. Word  ( I  X.  2o ) )  -> 
( A ++  f )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
4238, 40, 41syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ( A ++  f )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
43 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  B  e.  W )
4436, 43sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  B  e. Word  ( I  X.  2o ) )
45 ccatcl 12771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ++  f )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  B  e. Word 
( I  X.  2o ) )  ->  (
( A ++  f ) ++  B )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
4642, 44, 45syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
( A ++  f ) ++  B )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
471efgrcl 17443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
4847simprd 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  W  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
4948ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
5046, 49eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
( A ++  f ) ++  B )  e.  W
)
5134, 50erref 7401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  f ) ++  B ) )
5251ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( f  e.  W  ->  ( ( A ++  f
) ++  B )  .~  ( ( A ++  f
) ++  B ) ) )
5352pm4.71d 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( f  e.  W  <->  ( f  e.  W  /\  ( ( A ++  f
) ++  B )  .~  ( ( A ++  f
) ++  B ) ) ) )
541, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17482 . . . . . . 7  |-  ( f L f  <->  ( f  e.  W  /\  f  e.  W  /\  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  f ) ++  B ) ) )
55 df-3an 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  W  /\  f  e.  W  /\  ( ( A ++  f
) ++  B )  .~  ( ( A ++  f
) ++  B ) )  <-> 
( ( f  e.  W  /\  f  e.  W )  /\  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  f ) ++  B ) ) )
56 anidm 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  W  /\  f  e.  W )  <->  f  e.  W )
5756anbi1i 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  W  /\  f  e.  W
)  /\  ( ( A ++  f ) ++  B )  .~  ( ( A ++  f ) ++  B ) )  <->  ( f  e.  W  /\  ( ( A ++  f ) ++  B
)  .~  ( ( A ++  f ) ++  B ) ) )
5854, 55, 573bitri 279 . . . . . 6  |-  ( f L f  <->  ( f  e.  W  /\  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  f ) ++  B ) ) )
5953, 58syl6bbr 271 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( f  e.  W  <->  f L f ) )
608, 22, 33, 59iserd 7407 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  L  Er  W )
611, 2, 3, 4efgtf 17450 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  W  ->  (
( T `  f
)  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( f splice  <. a ,  a , 
<" b ( M `
 b ) "> >. ) )  /\  ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W ) )
6261simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  W  ->  ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W )
6362adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W )
64 ffn 5739 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  f )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) )
65 ovelrn 6464 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  f )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) )  ->  ( a  e.  ran  ( T `  f )  <->  E. c  e.  ( 0 ... ( # `
 f ) ) E. u  e.  ( I  X.  2o ) a  =  ( c ( T `  f
) u ) ) )
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
a  e.  ran  ( T `  f )  <->  E. c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) E. u  e.  ( I  X.  2o ) a  =  ( c ( T `  f ) u ) ) )
67 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
f  e.  W )
6862ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( T `  f
) : ( ( 0 ... ( # `  f ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W )
69 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )
70 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  u  e.  ( I  X.  2o ) )
7168, 69, 70fovrnd 6460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c ( T `
 f ) u )  e.  W )
7250adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  f
) ++  B )  e.  W )
7337adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  A  e.  W )
7436, 73sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  A  e. Word  ( I  X.  2o ) )
7540adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
f  e. Word  ( I  X.  2o ) )
76 swrdcl 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( f substr  <. 0 ,  c >.
)  e. Word  ( I  X.  2o ) )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
78 ccatcl 12771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) )  e. Word 
( I  X.  2o ) )
7974, 77, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
803efgmf 17441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
8180ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( I  X.  2o )  ->  ( M `
 u )  e.  ( I  X.  2o ) )
8281ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( M `  u
)  e.  ( I  X.  2o ) )
8370, 82s2cld 13025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  <" u ( M `
 u ) ">  e. Word  ( I  X.  2o ) )
84 ccatcl 12771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ++  <" u ( M `  u ) "> )  e. Word 
( I  X.  2o ) )
8579, 83, 84syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  <" u
( M `  u
) "> )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
86 swrdcl 12829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
8775, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
8844adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  B  e. Word  ( I  X.  2o ) )
89 ccatass 12783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  <" u
( M `  u
) "> )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  B  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  <" u
( M `  u
) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) ++  B
)  =  ( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) ++  <" u
( M `  u
) "> ) ++  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ++  B ) ) )
9085, 87, 88, 89syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) ++  <" u ( M `  u ) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) ++  B )  =  ( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) ++  <" u ( M `  u ) "> ) ++  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ++  B ) ) )
91 ccatcl 12771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ++  <" u
( M `  u
) "> )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
9277, 83, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++ 
<" u ( M `
 u ) "> )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
93 ccatass 12783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++ 
<" u ( M `
 u ) "> )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A ++  ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++ 
<" u ( M `
 u ) "> ) ) ++  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) )  =  ( A ++  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) ++  <" u
( M `  u
) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) ) )
9474, 92, 87, 93syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  (
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++  <" u
( M `  u
) "> )
) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( A ++  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++  <" u ( M `
 u ) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
) ) )
95 ccatass 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ++  <" u ( M `  u ) "> )  =  ( A ++  ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) ++  <" u
( M `  u
) "> )
) )
9674, 77, 83, 95syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  <" u
( M `  u
) "> )  =  ( A ++  (
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++  <" u
( M `  u
) "> )
) )
9796oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ++  <" u ( M `  u ) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) )  =  ( ( A ++  ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) ++  <" u
( M `  u
) "> )
) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) )
981, 2, 3, 4efgtval 17451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  W  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) )  ->  (
c ( T `  f ) u )  =  ( f splice  <. c ,  c ,  <" u ( M `  u ) "> >.
) )
9967, 69, 70, 98syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c ( T `
 f ) u )  =  ( f splice  <. c ,  c , 
<" u ( M `
 u ) "> >. ) )
100 splval 12912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  W  /\  ( c  e.  ( 0 ... ( # `  f ) )  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f splice  <. c ,  c ,  <" u
( M `  u
) "> >. )  =  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) ++  <" u
( M `  u
) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) )
10167, 69, 69, 83, 100syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f splice  <. c ,  c ,  <" u
( M `  u
) "> >. )  =  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) ++  <" u
( M `  u
) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) )
10299, 101eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c ( T `
 f ) u )  =  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++  <" u ( M `
 u ) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
) )
103102oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A ++  ( c ( T `  f
) u ) )  =  ( A ++  (
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++ 
<" u ( M `
 u ) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
) ) )
10494, 97, 1033eqtr4rd 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A ++  ( c ( T `  f
) u ) )  =  ( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) ++  <" u ( M `  u ) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) )
105104oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  (
c ( T `  f ) u ) ) ++  B )  =  ( ( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) ++  <" u ( M `  u ) "> ) ++  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) ++  B ) )
106 lencl 12737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  A )  e.  NN0 )
10774, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  NN0 )
108 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
109107, 108syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
110 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  ->  c  e.  NN0 )
111110ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  NN0 )
112 uzaddcl 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( # `  A )  +  c )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
113109, 111, 112syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
11442adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A ++  f )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
115 ccatlen 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A ++  f )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  B  e. Word 
( I  X.  2o ) )  ->  ( # `
 ( ( A ++  f ) ++  B ) )  =  ( (
# `  ( A ++  f ) )  +  ( # `  B
) ) )
116114, 88, 115syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( ( A ++  f ) ++  B
) )  =  ( ( # `  ( A ++  f ) )  +  ( # `  B
) ) )
117 ccatlen 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  f  e. Word  ( I  X.  2o ) )  -> 
( # `  ( A ++  f ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) ) )
11874, 75, 117syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( A ++  f ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) ) )
119 elfzuz3 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  ->  ( # `
 f )  e.  ( ZZ>= `  c )
)
120119ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  ( ZZ>= `  c
) )
121107nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  ZZ )
122 eluzadd 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  f
)  e.  ( ZZ>= `  c )  /\  ( # `
 A )  e.  ZZ )  ->  (
( # `  f )  +  ( # `  A
) )  e.  (
ZZ>= `  ( c  +  ( # `  A
) ) ) )
123120, 121, 122syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( c  +  ( # `  A
) ) ) )
124 lencl 12737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  f )  e.  NN0 )
12575, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  NN0 )
126125nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  CC )
127107nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  CC )
128126, 127addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  ( # `  A ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) ) )
129111nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  CC )
130129, 127addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c  +  (
# `  A )
)  =  ( (
# `  A )  +  c ) )
131130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ZZ>= `  ( c  +  ( # `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) ) )
132123, 128, 1313eltr3d 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) ) )
133118, 132eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( A ++  f ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) ) )
134 lencl 12737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
13588, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  B )  e.  NN0 )
136 uzaddcl 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  ( A ++  f ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) )  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  ( A ++  f ) )  +  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) )
137133, 135, 136syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  ( A ++  f ) )  +  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) )
138116, 137eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( ( A ++  f ) ++  B
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) )
139 elfzuzb 11820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `  (
( A ++  f ) ++  B ) ) )  <-> 
( ( ( # `  A )  +  c )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( # `
 ( ( A ++  f ) ++  B ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `  A
)  +  c ) ) ) )
140113, 138, 139sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `  (
( A ++  f ) ++  B ) ) ) )
1411, 2, 3, 4efgtval 17451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A ++  f
) ++  B )  e.  W  /\  ( (
# `  A )  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `
 ( ( A ++  f ) ++  B ) ) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) )  ->  (
( ( # `  A
)  +  c ) ( T `  (
( A ++  f ) ++  B ) ) u )  =  ( ( ( A ++  f ) ++  B ) splice  <. (
( # `  A )  +  c ) ,  ( ( # `  A
)  +  c ) ,  <" u ( M `  u ) "> >. )
)
14272, 140, 70, 141syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A ++  f
) ++  B ) ) u )  =  ( ( ( A ++  f
) ++  B ) splice  <. ( ( # `  A
)  +  c ) ,  ( ( # `  A )  +  c ) ,  <" u
( M `  u
) "> >. )
)
143 wrd0 12742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e. Word  (
I  X.  2o )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  (/) 
e. Word  ( I  X.  2o ) )
145 ccatcl 12771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  B  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ++  B )  e. Word 
( I  X.  2o ) )
14687, 88, 145syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ++  B )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
147 ccatrid 12782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) )  e. Word  ( I  X.  2o )  -> 
( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  (/) )  =  ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) )
14879, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  (/) )  =  ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) )
149148oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ++  (/) ) ++  ( ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ++  B ) )  =  ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ++  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. ) ++  B ) ) )
150 ccatass 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  B  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
) ++  B )  =  ( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  ( ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ++  B ) ) )
15179, 87, 88, 150syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) ++  B
)  =  ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) ++  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. ) ++  B ) ) )
152 ccatass 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( A ++  ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) ++  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) ) )
15374, 77, 87, 152syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
)  =  ( A ++  ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) ) )
154111, 108syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
155 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... c
) )
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... c ) )
157125, 108syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
158 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  f )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( # `  f
)  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )
159157, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )
160 ccatswrd 12866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( 0  e.  ( 0 ... c )  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f ) )  /\  ( # `  f )  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) ) )  ->  ( ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( f substr  <. 0 ,  ( # `  f
) >. ) )
16175, 156, 69, 159, 160syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( f substr  <. 0 ,  ( # `  f
) >. ) )
162 swrdid 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( f substr  <. 0 ,  ( # `  f ) >. )  =  f )
16375, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f substr  <. 0 ,  ( # `  f
) >. )  =  f )
164161, 163eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  f )
165164oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A ++  ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) ++  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) )  =  ( A ++  f ) )
166153, 165eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
)  =  ( A ++  f ) )
167166oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ++  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) ++  B
)  =  ( ( A ++  f ) ++  B
) )
168149, 151, 1673eqtr2rd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  f
) ++  B )  =  ( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ++  (/) ) ++  ( ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ++  B ) ) )
169 ccatlen 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( # `  ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ) )
17074, 77, 169syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ) )
171 swrd0len 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )  -> 
( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  =  c )
17275, 69, 171syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  =  c )
173172oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) )  =  ( ( # `  A
)  +  c ) )
174170, 173eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  =  ( # `  ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ) )
175 hash0 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( # `  (/) )  =  0
176175oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  A
)  +  c )  +  ( # `  (/) ) )  =  ( ( (
# `  A )  +  c )  +  0 )
177107, 111nn0addcld 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  NN0 )
178177nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  CC )
179178addid1d 9851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c )  +  0 )  =  ( ( # `  A )  +  c ) )
180176, 179syl5req 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  =  ( ( (
# `  A )  +  c )  +  ( # `  (/) ) ) )
18179, 144, 146, 83, 168, 174, 180splval2 12918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A ++  f ) ++  B ) splice  <. ( ( # `  A
)  +  c ) ,  ( ( # `  A )  +  c ) ,  <" u
( M `  u
) "> >. )  =  ( ( ( A ++  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) ++  <" u ( M `  u ) "> ) ++  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ++  B ) ) )
182142, 181eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A ++  f
) ++  B ) ) u )  =  ( ( ( A ++  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) ++  <" u
( M `  u
) "> ) ++  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ++  B ) ) )
18390, 105, 1823eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  (
c ( T `  f ) u ) ) ++  B )  =  ( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A ++  f
) ++  B ) ) u ) )
1841, 2, 3, 4efgtf 17450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A ++  f ) ++  B )  e.  W  ->  ( ( T `  ( ( A ++  f
) ++  B ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `
 ( ( A ++  f ) ++  B ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( ( ( A ++  f ) ++  B ) splice  <. a ,  a ,  <" b ( M `  b ) "> >.
) )  /\  ( T `  ( ( A ++  f ) ++  B ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( ( A ++  f
) ++  B ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W ) )
185184simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A ++  f ) ++  B )  e.  W  ->  ( T `  (
( A ++  f ) ++  B ) ) : ( ( 0 ... ( # `  (
( A ++  f ) ++  B ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W )
186 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T `  ( ( A ++  f ) ++  B
) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( ( A ++  f ) ++  B ) ) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  ( ( A ++  f ) ++  B ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( ( A ++  f
) ++  B ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) )
18772, 185, 1863syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( T `  (
( A ++  f ) ++  B ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  (
( A ++  f ) ++  B ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) )
188 fnovrn 6463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  (
( A ++  f ) ++  B ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  (
( A ++  f ) ++  B ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) )  /\  (
( # `  A )  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `
 ( ( A ++  f ) ++  B ) ) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) )  ->  (
( ( # `  A
)  +  c ) ( T `  (
( A ++  f ) ++  B ) ) u )  e.  ran  ( T `  ( ( A ++  f ) ++  B ) ) )
189187, 140, 70, 188syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A ++  f
) ++  B ) ) u )  e.  ran  ( T `  ( ( A ++  f ) ++  B
) ) )
190183, 189eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  (
c ( T `  f ) u ) ) ++  B )  e. 
ran  ( T `  ( ( A ++  f
) ++  B ) ) )
1911, 2, 3, 4efgi2 17453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A ++  f
) ++  B )  e.  W  /\  ( ( A ++  ( c ( T `  f ) u ) ) ++  B
)  e.  ran  ( T `  ( ( A ++  f ) ++  B ) ) )  ->  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  ( c ( T `  f
) u ) ) ++  B ) )
19272, 190, 191syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A ++  f
) ++  B )  .~  ( ( A ++  (
c ( T `  f ) u ) ) ++  B ) )
1931, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17482 . . . . . . . . . 10  |-  ( f L ( c ( T `  f ) u )  <->  ( f  e.  W  /\  (
c ( T `  f ) u )  e.  W  /\  (
( A ++  f ) ++  B )  .~  (
( A ++  ( c ( T `  f
) u ) ) ++  B ) ) )
19467, 71, 192, 193syl3anbrc 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
f L ( c ( T `  f
) u ) )
195 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
196 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
197195, 196elec 7421 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  [ f ] L  <->  f L a )
198 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  (
f L a  <->  f L
( c ( T `
 f ) u ) ) )
199197, 198syl5bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  (
a  e.  [ f ] L  <->  f L
( c ( T `
 f ) u ) ) )
200194, 199syl5ibrcom 230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  a  e.  [
f ] L ) )
201200rexlimdvva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ( E. c  e.  (
0 ... ( # `  f
) ) E. u  e.  ( I  X.  2o ) a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  a  e.  [
f ] L ) )
20266, 201sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
a  e.  ran  ( T `  f )  ->  a  e.  [ f ] L ) )
203202ssrdv 3424 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ran  ( T `  f ) 
C_  [ f ] L )
204203ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] L )
205 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  e.  _V
2061, 205eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  W  e. 
_V
207 erex 7405 . . . . . 6  |-  ( L  Er  W  ->  ( W  e.  _V  ->  L  e.  _V ) )
20860, 206, 207mpisyl 21 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  L  e.  _V )
209 ereq1 7388 . . . . . . 7  |-  ( r  =  L  ->  (
r  Er  W  <->  L  Er  W ) )
210 eceq2 7419 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  L  ->  [ f ] r  =  [
f ] L )
211210sseq2d 3446 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  L  ->  ( ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r  <->  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) )
212211ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( r  =  L  ->  ( A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r  <->  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) )
213209, 212anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( r  =  L  ->  (
( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r )  <->  ( L  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) ) )
214213elabg 3174 . . . . 5  |-  ( L  e.  _V  ->  ( L  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] r ) }  <->  ( L  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) ) )
215208, 214syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( L  e.  {
r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f ) 
C_  [ f ] r ) }  <->  ( L  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) ) )
21660, 204, 215mpbir2and 936 . . 3  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  L  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] r ) } )
217 intss1 4241 . . 3  |-  ( L  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r ) }  ->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r ) } 
C_  L )
218216, 217syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r ) } 
C_  L )
2195, 218syl5eqss 3462 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  .~  C_  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   <.cotp 3967   |^|cint 4226   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   {copab 4453    |-> cmpt 4454    _I cid 4749    X. cxp 4837   ran crn 4840   Rel wrel 4844    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   1oc1o 7193   2oc2o 7194    Er wer 7378   [cec 7379   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    - cmin 9880   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   ++ cconcat 12705   substr csubstr 12707   splice csplice 12708   <"cs2 12996   ~FG cefg 17434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-s2 13003  df-efg 17437
This theorem is referenced by:  efgcpbl  17484
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