Theorem efgcpbllemb 16972

Description: Lemma for efgrelex 16968. Show that L is an equivalence relation containing all direct extensions of a word, so is closed under .~. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
efgval2.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
efgval2.t	|- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
efgred.d	|- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
efgred.s	|- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
efgcpbllem.1	|- L = { <. i , j >. | ( { i , j } C_ W /\ ( ( A ++ i ) ++ B ) .~ ( ( A ++ j ) ++ B ) ) }

Assertion

Ref	Expression
efgcpbllemb	|- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> .~ C_ L )

Distinct variable groups:   i, j, A   y, z   t, n, v, w, y, z   i, m, n, t, v, w, x, M, j   i, k, T, j, m, t, x   y, i, z, W, j   k, n, v, w, y, z, W, m, t, x   .~ , i, j, m, t, x, y, z   B, i, j   S, i, j   i, I, j, m, n, t, v, w, x, y, z   D, i, j, m, t

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   D( x, y, z, w, v, k, n)   .~ ( w, v, k, n)   S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   T( y, z, w, v, n)   I( k)   L( x, y, z, w, v, t, i, j, k, m, n)   M( y, z, k)

Proof of Theorem efgcpbllemb

Dummy variables a b c f g h r u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . 3 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2		efgval.r	. . 3 |- .~ = ( ~FG ` I )
3		efgval2.m	. . 3 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
4		efgval2.t	. . 3 |- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
5	1, 2, 3, 4	efgval2 16941	. 2 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) }
6		efgcpbllem.1	. . . . . . 7 |- L = { <. i , j >. | ( { i , j } C_ W /\ ( ( A ++ i ) ++ B ) .~ ( ( A ++ j ) ++ B ) ) }
7	6	relopabi 5116	. . . . . 6 |- Rel L
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> Rel L )
9		efgred.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
10		efgred.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
11	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16971	. . . . . . . 8 |- ( f L g <-> ( f e. W /\ g e. W /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ g ) ++ B ) ) )
12	11	simp2bi 1010	. . . . . . 7 |- ( f L g -> g e. W )
13	12	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> g e. W )
14	11	simp1bi 1009	. . . . . . 7 |- ( f L g -> f e. W )
15	14	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> f e. W )
16	1, 2	efger 16935	. . . . . . . 8 |- .~ Er W
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> .~ Er W )
18	11	simp3bi 1011	. . . . . . . 8 |- ( f L g -> ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ g ) ++ B ) )
19	18	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ g ) ++ B ) )
20	17, 19	ersym 7315	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> ( ( A ++ g ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) )
21	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16971	. . . . . 6 |- ( g L f <-> ( g e. W /\ f e. W /\ ( ( A ++ g ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) ) )
22	13, 15, 20, 21	syl3anbrc 1178	. . . . 5 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> g L f )
23	14	ad2antrl 725	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> f e. W )
24	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16971	. . . . . . . 8 |- ( g L h <-> ( g e. W /\ h e. W /\ ( ( A ++ g ) ++ B ) .~ ( ( A ++ h ) ++ B ) ) )
25	24	simp2bi 1010	. . . . . . 7 |- ( g L h -> h e. W )
26	25	ad2antll 726	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> h e. W )
27	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> .~ Er W )
28	18	ad2antrl 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ g ) ++ B ) )
29	24	simp3bi 1011	. . . . . . . 8 |- ( g L h -> ( ( A ++ g ) ++ B ) .~ ( ( A ++ h ) ++ B ) )
30	29	ad2antll 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> ( ( A ++ g ) ++ B ) .~ ( ( A ++ h ) ++ B ) )
31	27, 28, 30	ertrd 7319	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ h ) ++ B ) )
32	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16971	. . . . . 6 |- ( f L h <-> ( f e. W /\ h e. W /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ h ) ++ B ) ) )
33	23, 26, 31, 32	syl3anbrc 1178	. . . . 5 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> f L h )
34	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> .~ Er W )
35		fviss 5906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) C_ Word ( I X. 2o )
36	1, 35	eqsstri 3519	. . . . . . . . . . . . 13 |- W C_ Word ( I X. 2o )
37		simpll 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> A e. W )
38	36, 37	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> A e. Word ( I X. 2o ) )
39		simpr 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> f e. W )
40	36, 39	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> f e. Word ( I X. 2o ) )
41		ccatcl 12582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ f e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( A ++ f ) e. Word ( I X. 2o ) )
42	38, 40, 41	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( A ++ f ) e. Word ( I X. 2o ) )
43		simplr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> B e. W )
44	36, 43	sseldi 3487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> B e. Word ( I X. 2o ) )
45		ccatcl 12582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ++ f ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) e. Word ( I X. 2o ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) e. Word ( I X. 2o ) )
47	1	efgrcl 16932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. W -> ( I e. _V /\ W = Word ( I X. 2o ) ) )
48	47	simprd 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. W -> W = Word ( I X. 2o ) )
49	48	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> W = Word ( I X. 2o ) )
50	46, 49	eleqtrrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) e. W )
51	34, 50	erref 7323	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) )
52	51	ex 432	. . . . . . 7 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> ( f e. W -> ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) ) )
53	52	pm4.71d 632	. . . . . 6 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> ( f e. W <-> ( f e. W /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) )
54	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16971	. . . . . . 7 |- ( f L f <-> ( f e. W /\ f e. W /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) ) )
55		df-3an 973	. . . . . . 7 |- ( ( f e. W /\ f e. W /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) ) <-> ( ( f e. W /\ f e. W ) /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) ) )
56		anidm 642	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. W /\ f e. W ) <-> f e. W )
57	56	anbi1i 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. W /\ f e. W ) /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) ) <-> ( f e. W /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) ) )
58	54, 55, 57	3bitri 271	. . . . . 6 |- ( f L f <-> ( f e. W /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ f ) ++ B ) ) )
59	53, 58	syl6bbr 263	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> ( f e. W <-> f L f ) )
60	8, 22, 33, 59	iserd 7329	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> L Er W )
61	1, 2, 3, 4	efgtf 16939	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. W -> ( ( T ` f ) = ( a e. ( 0 ... ( # ` f ) ) , b e. ( I X. 2o ) |-> ( f splice <. a , a , <" b ( M ` b ) "> >. ) ) /\ ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W ) )
62	61	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( f e. W -> ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W )
63	62	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W )
64		ffn 5713	. . . . . . . 8 |- ( ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W -> ( T ` f ) Fn ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) )
65		ovelrn 6424	. . . . . . . 8 |- ( ( T ` f ) Fn ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) -> ( a e. ran ( T ` f ) <-> E. c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) E. u e. ( I X. 2o ) a = ( c ( T ` f ) u ) ) )
66	63, 64, 65	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( a e. ran ( T ` f ) <-> E. c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) E. u e. ( I X. 2o ) a = ( c ( T ` f ) u ) ) )
67		simplr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> f e. W )
68	62	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W )
69		simprl 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) )
70		simprr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> u e. ( I X. 2o ) )
71	68, 69, 70	fovrnd 6420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( c ( T ` f ) u ) e. W )
72	50	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) e. W )
73	37	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> A e. W )
74	36, 73	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> A e. Word ( I X. 2o ) )
75	40	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> f e. Word ( I X. 2o ) )
76		swrdcl 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. Word ( I X. 2o ) -> ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) )
78		ccatcl 12582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) )
79	74, 77, 78	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) )
80	3	efgmf 16930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- M : ( I X. 2o ) --> ( I X. 2o )
81	80	ffvelrni 6006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( I X. 2o ) -> ( M ` u ) e. ( I X. 2o ) )
82	81	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( M ` u ) e. ( I X. 2o ) )
83	70, 82	s2cld 12825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) )
84		ccatcl 12582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) /\ <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) )
85	79, 83, 84	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) )
86		swrdcl 12635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. Word ( I X. 2o ) -> ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) )
87	75, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) )
88	44	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> B e. Word ( I X. 2o ) )
89		ccatass 12594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ++ B ) = ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) ) )
90	85, 87, 88, 89	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ++ B ) = ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) ) )
91		ccatcl 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) )
92	77, 83, 91	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) )
93		ccatass 12594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A ++ ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A ++ ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
94	74, 92, 87, 93	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A ++ ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
95		ccatass 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) = ( A ++ ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ) )
96	74, 77, 83, 95	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) = ( A ++ ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ) )
97	96	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( ( A ++ ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
98	1, 2, 3, 4	efgtval 16940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. W /\ c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) -> ( c ( T ` f ) u ) = ( f splice <. c , c , <" u ( M ` u ) "> >. ) )
99	67, 69, 70, 98	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( c ( T ` f ) u ) = ( f splice <. c , c , <" u ( M ` u ) "> >. ) )
100		splval 12718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. W /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) ) ) -> ( f splice <. c , c , <" u ( M ` u ) "> >. ) = ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
101	67, 69, 69, 83, 100	syl13anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( f splice <. c , c , <" u ( M ` u ) "> >. ) = ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
102	99, 101	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( c ( T ` f ) u ) = ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
103	102	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A ++ ( c ( T ` f ) u ) ) = ( A ++ ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
104	94, 97, 103	3eqtr4rd 2506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A ++ ( c ( T ` f ) u ) ) = ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
105	104	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ ( c ( T ` f ) u ) ) ++ B ) = ( ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ++ B ) )
106		lencl 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. Word ( I X. 2o ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
107	74, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
108		nn0uz 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
109	107, 108	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
110		elfznn0 11775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) -> c e. NN0 )
111	110	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> c e. NN0 )
112		uzaddcl 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ c e. NN0 ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
113	109, 111, 112	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
114	42	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A ++ f ) e. Word ( I X. 2o ) )
115		ccatlen 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ++ f ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) = ( ( # ` ( A ++ f ) ) + ( # ` B ) ) )
116	114, 88, 115	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) = ( ( # ` ( A ++ f ) ) + ( # ` B ) ) )
117		ccatlen 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ f e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( # ` ( A ++ f ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` f ) ) )
118	74, 75, 117	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( A ++ f ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` f ) ) )
119		elfzuz3 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) -> ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` c ) )
120	119	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` c ) )
121	107	nn0zd 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
122		eluzadd 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` c ) /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( ( # ` f ) + ( # ` A ) ) e. ( ZZ>= ` ( c + ( # ` A ) ) ) )
123	120, 121, 122	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` f ) + ( # ` A ) ) e. ( ZZ>= ` ( c + ( # ` A ) ) ) )
124		lencl 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. Word ( I X. 2o ) -> ( # ` f ) e. NN0 )
125	75, 124	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. NN0 )
126	125	nn0cnd 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. CC )
127	107	nn0cnd 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` A ) e. CC )
128	126, 127	addcomd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` f ) + ( # ` A ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` f ) ) )
129	111	nn0cnd 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> c e. CC )
130	129, 127	addcomd 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( c + ( # ` A ) ) = ( ( # ` A ) + c ) )
131	130	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ZZ>= ` ( c + ( # ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
132	123, 128, 131	3eltr3d 2556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` f ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
133	118, 132	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( A ++ f ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
134		lencl 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. Word ( I X. 2o ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
135	88, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
136		uzaddcl 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( # ` ( A ++ f ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( ( # ` ( A ++ f ) ) + ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
137	133, 135, 136	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` ( A ++ f ) ) + ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
138	116, 137	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
139		elfzuzb 11685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` A ) + c ) e. ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) <-> ( ( ( # ` A ) + c ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) ) )
140	113, 138, 139	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) )
141	1, 2, 3, 4	efgtval 16940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A ++ f ) ++ B ) e. W /\ ( ( # ` A ) + c ) e. ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) u ) = ( ( ( A ++ f ) ++ B ) splice <. ( ( # ` A ) + c ) , ( ( # ` A ) + c ) , <" u ( M ` u ) "> >. ) )
142	72, 140, 70, 141	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) u ) = ( ( ( A ++ f ) ++ B ) splice <. ( ( # ` A ) + c ) , ( ( # ` A ) + c ) , <" u ( M ` u ) "> >. ) )
143		wrd0 12553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. Word ( I X. 2o )
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> (/) e. Word ( I X. 2o ) )
145		ccatcl 12582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) e. Word ( I X. 2o ) )
146	87, 88, 145	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) e. Word ( I X. 2o ) )
147		ccatrid 12593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) -> ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ (/) ) = ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) )
148	79, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ (/) ) = ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) )
149	148	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ (/) ) ++ ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) ) = ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) ) )
150		ccatass 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ++ B ) = ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) ) )
151	79, 87, 88, 150	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ++ B ) = ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) ) )
152		ccatass 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A ++ ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
153	74, 77, 87, 152	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A ++ ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
154	111, 108	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> c e. ( ZZ>= ` 0 ) )
155		eluzfz1 11696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( c e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... c ) )
156	154, 155	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> 0 e. ( 0 ... c ) )
157	125, 108	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
158		eluzfz2 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( # ` f ) e. ( 0 ... ( # ` f ) ) )
159	157, 158	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. ( 0 ... ( # ` f ) ) )
160		ccatswrd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f e. Word ( I X. 2o ) /\ ( 0 e. ( 0 ... c ) /\ c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ ( # ` f ) e. ( 0 ... ( # ` f ) ) ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( f substr <. 0 , ( # ` f ) >. ) )
161	75, 156, 69, 159, 160	syl13anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( f substr <. 0 , ( # ` f ) >. ) )
162		swrdid 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. Word ( I X. 2o ) -> ( f substr <. 0 , ( # ` f ) >. ) = f )
163	75, 162	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( f substr <. 0 , ( # ` f ) >. ) = f )
164	161, 163	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = f )
165	164	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A ++ ( ( f substr <. 0 , c >. ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) = ( A ++ f ) )
166	153, 165	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A ++ f ) )
167	166	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ++ B ) = ( ( A ++ f ) ++ B ) )
168	149, 151, 167	3eqtr2rd 2502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) = ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ (/) ) ++ ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) ) )
169		ccatlen 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( # ` ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) )
170	74, 77, 169	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) )
171		swrd0len 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. Word ( I X. 2o ) /\ c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) ) -> ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) = c )
172	75, 69, 171	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) = c )
173	172	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) = ( ( # ` A ) + c ) )
174	170, 173	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) = ( # ` ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) )
175		hash0 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( # ` (/) ) = 0
176	175	oveq2i 6281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` A ) + c ) + ( # ` (/) ) ) = ( ( ( # ` A ) + c ) + 0 )
177	107, 111	nn0addcld 10852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. NN0 )
178	177	nn0cnd 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. CC )
179	178	addid1d 9769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) + 0 ) = ( ( # ` A ) + c ) )
180	176, 179	syl5req 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) = ( ( ( # ` A ) + c ) + ( # ` (/) ) ) )
181	79, 144, 146, 83, 168, 174, 180	splval2 12724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A ++ f ) ++ B ) splice <. ( ( # ` A ) + c ) , ( ( # ` A ) + c ) , <" u ( M ` u ) "> >. ) = ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) ) )
182	142, 181	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) u ) = ( ( ( A ++ ( f substr <. 0 , c >. ) ) ++ <" u ( M ` u ) "> ) ++ ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ++ B ) ) )
183	90, 105, 182	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ ( c ( T ` f ) u ) ) ++ B ) = ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) u ) )
184	1, 2, 3, 4	efgtf 16939	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ++ f ) ++ B ) e. W -> ( ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) = ( a e. ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) , b e. ( I X. 2o ) |-> ( ( ( A ++ f ) ++ B ) splice <. a , a , <" b ( M ` b ) "> >. ) ) /\ ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) : ( ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W ) )
185	184	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ++ f ) ++ B ) e. W -> ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) : ( ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W )
186		ffn 5713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) : ( ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W -> ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) Fn ( ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) )
187	72, 185, 186	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) Fn ( ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) )
188		fnovrn 6423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) Fn ( ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) /\ ( ( # ` A ) + c ) e. ( 0 ... ( # ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) u ) e. ran ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) )
189	187, 140, 70, 188	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) u ) e. ran ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) )
190	183, 189	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ ( c ( T ` f ) u ) ) ++ B ) e. ran ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) )
191	1, 2, 3, 4	efgi2 16942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ++ f ) ++ B ) e. W /\ ( ( A ++ ( c ( T ` f ) u ) ) ++ B ) e. ran ( T ` ( ( A ++ f ) ++ B ) ) ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ ( c ( T ` f ) u ) ) ++ B ) )
192	72, 190, 191	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ ( c ( T ` f ) u ) ) ++ B ) )
193	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16971	. . . . . . . . . 10 |- ( f L ( c ( T ` f ) u ) <-> ( f e. W /\ ( c ( T ` f ) u ) e. W /\ ( ( A ++ f ) ++ B ) .~ ( ( A ++ ( c ( T ` f ) u ) ) ++ B ) ) )
194	67, 71, 192, 193	syl3anbrc 1178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> f L ( c ( T ` f ) u ) )
195		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
196		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
197	195, 196	elec 7343	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. [ f ] L <-> f L a )
198		breq2 4443	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c ( T ` f ) u ) -> ( f L a <-> f L ( c ( T ` f ) u ) ) )
199	197, 198	syl5bb 257	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( c ( T ` f ) u ) -> ( a e. [ f ] L <-> f L ( c ( T ` f ) u ) ) )
200	194, 199	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( a = ( c ( T ` f ) u ) -> a e. [ f ] L ) )
201	200	rexlimdvva 2953	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( E. c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) E. u e. ( I X. 2o ) a = ( c ( T ` f ) u ) -> a e. [ f ] L ) )
202	66, 201	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( a e. ran ( T ` f ) -> a e. [ f ] L ) )
203	202	ssrdv 3495	. . . . 5 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ran ( T ` f ) C_ [ f ] L )
204	203	ralrimiva 2868	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L )
205		fvex 5858	. . . . . . 7 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) e. _V
206	1, 205	eqeltri 2538	. . . . . 6 |- W e. _V
207		erex 7327	. . . . . 6 |- ( L Er W -> ( W e. _V -> L e. _V ) )
208	60, 206, 207	mpisyl 18	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> L e. _V )
209		ereq1 7310	. . . . . . 7 |- ( r = L -> ( r Er W <-> L Er W ) )
210		eceq2 7341	. . . . . . . . 9 |- ( r = L -> [ f ] r = [ f ] L )
211	210	sseq2d 3517	. . . . . . . 8 |- ( r = L -> ( ran ( T ` f ) C_ [ f ] r <-> ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) )
212	211	ralbidv 2893	. . . . . . 7 |- ( r = L -> ( A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r <-> A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) )
213	209, 212	anbi12d 708	. . . . . 6 |- ( r = L -> ( ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) <-> ( L Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) ) )
214	213	elabg 3244	. . . . 5 |- ( L e. _V -> ( L e. { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } <-> ( L Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) ) )
215	208, 214	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> ( L e. { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } <-> ( L Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) ) )
216	60, 204, 215	mpbir2and 920	. . 3 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> L e. { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } )
217		intss1 4286	. . 3 |- ( L e. { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } -> |^| { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } C_ L )
218	216, 217	syl 16	. 2 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } C_ L )
219	5, 218	syl5eqss 3533	1 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> .~ C_ L )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   <.cop 4022   <.cotp 4024   |^|cint 4271   U_ciun 4315   class class class wbr 4439   {copab 4496   |-> cmpt 4497   _I cid 4779   X. cxp 4986   ran crn 4989   Rel wrel 4993   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   |-> cmpt2 6272   1oc1o 7115   2oc2o 7116   Er wer 7300   [cec 7301   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   - cmin 9796   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12387  Word cword 12518   ++ cconcat 12520   substr csubstr 12522   splice csplice 12523   <"cs2 12797   ~_FG cefg 16923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-concat 12528  df-s1 12529  df-substr 12530  df-splice 12531  df-s2 12804  df-efg 16926

This theorem is referenced by:  efgcpbl  16973