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Theorem efgcpbllemb 16243
Description: Lemma for efgrelex 16239. Show that  L is an equivalence relation containing all direct extensions of a word, so is closed under  .~. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
efgcpbllem.1  |-  L  =  { <. i ,  j
>.  |  ( {
i ,  j } 
C_  W  /\  (
( A concat  i ) concat  B )  .~  ( ( A concat  j ) concat  B
) ) }
Assertion
Ref Expression
efgcpbllemb  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  .~  C_  L )
Distinct variable groups:    i, j, A    y, z    t, n, v, w, y, z   
i, m, n, t, v, w, x, M, j    i, k, T, j, m, t, x   
y, i, z, W, j    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , i,
j, m, t, x, y, z    B, i, j    S, i, j    i, I, j, m, n, t, v, w, x, y, z    D, i, j, m, t
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y, z, w, v, n)    I( k)    L( x, y, z, w, v, t, i, j, k, m, n)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgcpbllemb
Dummy variables  a 
b  c  f  g  h  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . 3  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . 3  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . 3  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . 3  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
51, 2, 3, 4efgval2 16212 . 2  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f ) 
C_  [ f ] r ) }
6 efgcpbllem.1 . . . . . . 7  |-  L  =  { <. i ,  j
>.  |  ( {
i ,  j } 
C_  W  /\  (
( A concat  i ) concat  B )  .~  ( ( A concat  j ) concat  B
) ) }
76relopabi 4960 . . . . . 6  |-  Rel  L
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  Rel  L )
9 efgred.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
10 efgred.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
111, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 16242 . . . . . . . 8  |-  ( f L g  <->  ( f  e.  W  /\  g  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  g ) concat  B
) ) )
1211simp2bi 1004 . . . . . . 7  |-  ( f L g  ->  g  e.  W )
1312adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  g  e.  W )
1411simp1bi 1003 . . . . . . 7  |-  ( f L g  ->  f  e.  W )
1514adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  f  e.  W )
161, 2efger 16206 . . . . . . . 8  |-  .~  Er  W
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  .~  Er  W )
1811simp3bi 1005 . . . . . . . 8  |-  ( f L g  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  g ) concat  B
) )
1918adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  g ) concat  B
) )
2017, 19ersym 7105 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  (
( A concat  g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) )
211, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 16242 . . . . . 6  |-  ( g L f  <->  ( g  e.  W  /\  f  e.  W  /\  (
( A concat  g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) )
2213, 15, 20, 21syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  g L f )
2314ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  f  e.  W
)
241, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 16242 . . . . . . . 8  |-  ( g L h  <->  ( g  e.  W  /\  h  e.  W  /\  (
( A concat  g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h ) concat  B
) ) )
2524simp2bi 1004 . . . . . . 7  |-  ( g L h  ->  h  e.  W )
2625ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  h  e.  W
)
2716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  .~  Er  W
)
2818ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  ( ( A concat 
f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  g
) concat  B ) )
2924simp3bi 1005 . . . . . . . 8  |-  ( g L h  ->  (
( A concat  g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h ) concat  B
) )
3029ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  ( ( A concat 
g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h
) concat  B ) )
3127, 28, 30ertrd 7109 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  ( ( A concat 
f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h
) concat  B ) )
321, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 16242 . . . . . 6  |-  ( f L h  <->  ( f  e.  W  /\  h  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h ) concat  B
) ) )
3323, 26, 31, 32syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  f L h )
3416a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  .~  Er  W )
35 fviss 5744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
361, 35eqsstri 3381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
37 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  A  e.  W )
3836, 37sseldi 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  A  e. Word  ( I  X.  2o ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  f  e.  W )
4036, 39sseldi 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  f  e. Word  ( I  X.  2o ) )
41 ccatcl 12266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  f  e. Word  ( I  X.  2o ) )  -> 
( A concat  f )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
4238, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ( A concat  f )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
43 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  B  e.  W )
4436, 43sseldi 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  B  e. Word  ( I  X.  2o ) )
45 ccatcl 12266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A concat  f )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  B  e. Word 
( I  X.  2o ) )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
4642, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
471efgrcl 16203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
4847simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  W  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
5046, 49eleqtrrd 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  e.  W )
5134, 50erref 7113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) )
5251ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( f  e.  W  ->  ( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  f ) concat  B ) ) )
5352pm4.71d 634 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( f  e.  W  <->  ( f  e.  W  /\  ( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  f ) concat  B ) ) ) )
541, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 16242 . . . . . . 7  |-  ( f L f  <->  ( f  e.  W  /\  f  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) )
55 df-3an 967 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  W  /\  f  e.  W  /\  ( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  f ) concat  B ) )  <->  ( (
f  e.  W  /\  f  e.  W )  /\  ( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  f ) concat  B ) ) )
56 anidm 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  W  /\  f  e.  W )  <->  f  e.  W )
5756anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  W  /\  f  e.  W
)  /\  ( ( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat 
f ) concat  B )
)  <->  ( f  e.  W  /\  ( ( A concat  f ) concat  B
)  .~  ( ( A concat  f ) concat  B ) ) )
5854, 55, 573bitri 271 . . . . . 6  |-  ( f L f  <->  ( f  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) )
5953, 58syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( f  e.  W  <->  f L f ) )
608, 22, 33, 59iserd 7119 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  L  Er  W )
611, 2, 3, 4efgtf 16210 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  W  ->  (
( T `  f
)  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( f splice  <. a ,  a , 
<" b ( M `
 b ) "> >. ) )  /\  ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W ) )
6261simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  W  ->  ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W )
6362adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W )
64 ffn 5554 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  f )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) )
65 ovelrn 6234 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  f )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) )  ->  ( a  e.  ran  ( T `  f )  <->  E. c  e.  ( 0 ... ( # `
 f ) ) E. u  e.  ( I  X.  2o ) a  =  ( c ( T `  f
) u ) ) )
6663, 64, 653syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
a  e.  ran  ( T `  f )  <->  E. c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) E. u  e.  ( I  X.  2o ) a  =  ( c ( T `  f ) u ) ) )
67 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
f  e.  W )
6862ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( T `  f
) : ( ( 0 ... ( # `  f ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W )
69 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )
70 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  u  e.  ( I  X.  2o ) )
7168, 69, 70fovrnd 6230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c ( T `
 f ) u )  e.  W )
7250adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  f
) concat  B )  e.  W
)
7337adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  A  e.  W )
7436, 73sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  A  e. Word  ( I  X.  2o ) )
7540adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
f  e. Word  ( I  X.  2o ) )
76 swrdcl 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( f substr  <. 0 ,  c >.
)  e. Word  ( I  X.  2o ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
78 ccatcl 12266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
7974, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  ( f substr  <.
0 ,  c >.
) )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
803efgmf 16201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
8180ffvelrni 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( I  X.  2o )  ->  ( M `
 u )  e.  ( I  X.  2o ) )
8281ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( M `  u
)  e.  ( I  X.  2o ) )
8370, 82s2cld 12488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  <" u ( M `
 u ) ">  e. Word  ( I  X.  2o ) )
84 ccatcl 12266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) concat  <" u ( M `  u ) "> )  e. Word 
( I  X.  2o ) )
8579, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  <" u
( M `  u
) "> )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
86 swrdcl 12307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
8775, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
8844adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  B  e. Word  ( I  X.  2o ) )
89 ccatass 12278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  <" u
( M `  u
) "> )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  B  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
9085, 87, 88, 89syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
91 ccatcl 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
9277, 83, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
93 ccatass 12278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A concat  ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> ) ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) )  =  ( A concat  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) ) )
9474, 92, 87, 93syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )
) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( A concat  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) ) )
95 ccatass 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) concat  <" u ( M `  u ) "> )  =  ( A concat  ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )
) )
9674, 77, 83, 95syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  <" u
( M `  u
) "> )  =  ( A concat  (
( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )
) )
9796oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( ( A concat  (
( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )
) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) )
981, 2, 3, 4efgtval 16211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  W  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) )  ->  (
c ( T `  f ) u )  =  ( f splice  <. c ,  c ,  <" u ( M `  u ) "> >.
) )
9967, 69, 70, 98syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c ( T `
 f ) u )  =  ( f splice  <. c ,  c , 
<" u ( M `
 u ) "> >. ) )
100 splval 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  W  /\  ( c  e.  ( 0 ... ( # `  f ) )  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f splice  <. c ,  c ,  <" u
( M `  u
) "> >. )  =  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) )
10167, 69, 69, 83, 100syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f splice  <. c ,  c ,  <" u
( M `  u
) "> >. )  =  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) )
10299, 101eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c ( T `
 f ) u )  =  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) )
103102oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  ( c
( T `  f
) u ) )  =  ( A concat  (
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) ) )
10494, 97, 1033eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  ( c
( T `  f
) u ) )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) )
105104oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B )  =  ( ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B ) )
106 lencl 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  A )  e.  NN0 )
10774, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  NN0 )
108 nn0uz 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
109107, 108syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
110 elfznn0 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  ->  c  e.  NN0 )
111110ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  NN0 )
112 uzaddcl 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( # `  A )  +  c )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
113109, 111, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
11442adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  f )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
115 ccatlen 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A concat  f )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  B  e. Word 
( I  X.  2o ) )  ->  ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
)  =  ( (
# `  ( A concat  f ) )  +  (
# `  B )
) )
116114, 88, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( ( A concat  f ) concat  B
) )  =  ( ( # `  ( A concat  f ) )  +  ( # `  B
) ) )
117 ccatlen 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  f  e. Word  ( I  X.  2o ) )  -> 
( # `  ( A concat 
f ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) ) )
11874, 75, 117syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( A concat 
f ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) ) )
119 elfzuz3 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  ->  ( # `
 f )  e.  ( ZZ>= `  c )
)
120119ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  ( ZZ>= `  c
) )
121107nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  ZZ )
122 eluzadd 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  f
)  e.  ( ZZ>= `  c )  /\  ( # `
 A )  e.  ZZ )  ->  (
( # `  f )  +  ( # `  A
) )  e.  (
ZZ>= `  ( c  +  ( # `  A
) ) ) )
123120, 121, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( c  +  ( # `  A
) ) ) )
124 lencl 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  f )  e.  NN0 )
12575, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  NN0 )
126125nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  CC )
127107nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  CC )
128126, 127addcomd 9563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  ( # `  A ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) ) )
129111nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  CC )
130129, 127addcomd 9563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c  +  (
# `  A )
)  =  ( (
# `  A )  +  c ) )
131130fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ZZ>= `  ( c  +  ( # `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) ) )
132123, 128, 1313eltr3d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) ) )
133118, 132eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( A concat 
f ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) ) )
134 lencl 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
13588, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  B )  e.  NN0 )
136 uzaddcl 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  ( A concat  f ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) )  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  ( A concat  f ) )  +  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) )
137133, 135, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  ( A concat  f ) )  +  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) )
138116, 137eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( ( A concat  f ) concat  B
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) )
139 elfzuzb 11439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) )  <->  ( (
( # `  A )  +  c )  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( # `  (
( A concat  f ) concat  B ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) ) )
140113, 138, 139sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) ) )
1411, 2, 3, 4efgtval 16211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A concat  f
) concat  B )  e.  W  /\  ( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u )  =  ( ( ( A concat  f ) concat  B ) splice  <. ( (
# `  A )  +  c ) ,  ( ( # `  A
)  +  c ) ,  <" u ( M `  u ) "> >. )
)
14272, 140, 70, 141syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u )  =  ( ( ( A concat  f ) concat  B ) splice  <. ( (
# `  A )  +  c ) ,  ( ( # `  A
)  +  c ) ,  <" u ( M `  u ) "> >. )
)
143 wrd0 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e. Word  (
I  X.  2o )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  (/) 
e. Word  ( I  X.  2o ) )
145 ccatcl 12266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  B  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) concat  B )  e. Word 
( I  X.  2o ) )
14687, 88, 145syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
147 ccatrid 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) )  e. Word  ( I  X.  2o )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  (/) )  =  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) )
14879, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  (/) )  =  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) )
149148oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  (/) ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
)  =  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. ) concat  B ) ) )
150 ccatass 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  B  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
( A concat  ( f substr  <.
0 ,  c >.
) ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) concat  B )  =  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) concat  ( (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) concat  B ) ) )
15179, 87, 88, 150syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B )  =  ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
152 ccatass 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( A concat  ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) ) )
15374, 77, 87, 152syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
)  =  ( A concat 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat 
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) ) )
154111, 108syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
155 eluzfz1 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... c
) )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... c ) )
157125, 108syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
158 eluzfz2 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  f )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( # `  f
)  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )
160 ccatswrd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( 0  e.  ( 0 ... c )  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f ) )  /\  ( # `  f )  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) ) )  ->  ( ( f substr  <. 0 ,  c >.
) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( f substr  <. 0 ,  ( # `  f
) >. ) )
16175, 156, 69, 159, 160syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat 
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( f substr  <. 0 ,  ( # `  f
) >. ) )
162 swrdid 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( f substr  <. 0 ,  ( # `  f ) >. )  =  f )
16375, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f substr  <. 0 ,  ( # `  f
) >. )  =  f )
164161, 163eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat 
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  f )
165164oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  ( (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) )  =  ( A concat  f ) )
166153, 165eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
)  =  ( A concat 
f ) )
167166oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B )  =  ( ( A concat 
f ) concat  B )
)
168149, 151, 1673eqtr2rd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  f
) concat  B )  =  ( ( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  (/) ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
169 ccatlen 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( # `  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ) )
17074, 77, 169syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( f substr  <.
0 ,  c >.
) ) ) )
171 swrd0len 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )  -> 
( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  =  c )
17275, 69, 171syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  =  c )
173172oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) )  =  ( ( # `  A
)  +  c ) )
174170, 173eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  =  ( # `  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ) )
175 hash0 12127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( # `  (/) )  =  0
176175oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  A
)  +  c )  +  ( # `  (/) ) )  =  ( ( (
# `  A )  +  c )  +  0 )
177107, 111nn0addcld 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  NN0 )
178177nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  CC )
179178addid1d 9561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c )  +  0 )  =  ( ( # `  A )  +  c ) )
180176, 179syl5req 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  =  ( ( (
# `  A )  +  c )  +  ( # `  (/) ) ) )
18179, 144, 146, 83, 168, 174, 180splval2 12391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
f ) concat  B ) splice  <.
( ( # `  A
)  +  c ) ,  ( ( # `  A )  +  c ) ,  <" u
( M `  u
) "> >. )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
182142, 181eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
18390, 105, 1823eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B )  =  ( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u ) )
1841, 2, 3, 4efgtf 16210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A concat  f ) concat  B )  e.  W  ->  ( ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o ) 
|->  ( ( ( A concat 
f ) concat  B ) splice  <.
a ,  a , 
<" b ( M `
 b ) "> >. ) )  /\  ( T `  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W ) )
185184simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A concat  f ) concat  B )  e.  W  ->  ( T `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W )
186 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T `  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  ( ( A concat  f ) concat  B ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) )
18772, 185, 1863syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( T `  (
( A concat  f ) concat  B ) )  Fn  (
( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) )
188 fnovrn 6233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  (
( A concat  f ) concat  B ) )  Fn  (
( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) )  /\  ( (
# `  A )  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) )  ->  (
( ( # `  A
)  +  c ) ( T `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) u )  e.  ran  ( T `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )
189187, 140, 70, 188syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u )  e.  ran  ( T `  ( ( A concat  f ) concat  B ) ) )
190183, 189eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B )  e. 
ran  ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) )
1911, 2, 3, 4efgi2 16213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A concat  f
) concat  B )  e.  W  /\  ( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B )  e. 
ran  ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) )  ->  ( ( A concat 
f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B ) )
19272, 190, 191syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  ( c
( T `  f
) u ) ) concat  B ) )
1931, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 16242 . . . . . . . . . 10  |-  ( f L ( c ( T `  f ) u )  <->  ( f  e.  W  /\  (
c ( T `  f ) u )  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  ( c ( T `  f ) u ) ) concat  B
) ) )
19467, 71, 192, 193syl3anbrc 1172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
f L ( c ( T `  f
) u ) )
195 vex 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
196 vex 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
197195, 196elec 7132 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  [ f ] L  <->  f L a )
198 breq2 4291 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  (
f L a  <->  f L
( c ( T `
 f ) u ) ) )
199197, 198syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  (
a  e.  [ f ] L  <->  f L
( c ( T `
 f ) u ) ) )
200194, 199syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  a  e.  [
f ] L ) )
201200rexlimdvva 2843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ( E. c  e.  (
0 ... ( # `  f
) ) E. u  e.  ( I  X.  2o ) a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  a  e.  [
f ] L ) )
20266, 201sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
a  e.  ran  ( T `  f )  ->  a  e.  [ f ] L ) )
203202ssrdv 3357 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ran  ( T `  f ) 
C_  [ f ] L )
204203ralrimiva 2794 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] L )
205 fvex 5696 . . . . . . 7  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  e.  _V
2061, 205eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  W  e. 
_V
207 erex 7117 . . . . . 6  |-  ( L  Er  W  ->  ( W  e.  _V  ->  L  e.  _V ) )
20860, 206, 207mpisyl 18 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  L  e.  _V )
209 ereq1 7100 . . . . . . 7  |-  ( r  =  L  ->  (
r  Er  W  <->  L  Er  W ) )
210 eceq2 7130 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  L  ->  [ f ] r  =  [
f ] L )
211210sseq2d 3379 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  L  ->  ( ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r  <->  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) )
212211ralbidv 2730 . . . . . . 7  |-  ( r  =  L  ->  ( A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r  <->  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) )
213209, 212anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( r  =  L  ->  (
( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r )  <->  ( L  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) ) )
214213elabg 3102 . . . . 5  |-  ( L  e.  _V  ->  ( L  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] r ) }  <->  ( L  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) ) )
215208, 214syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( L  e.  {
r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f ) 
C_  [ f ] r ) }  <->  ( L  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) ) )
21660, 204, 215mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  L  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] r ) } )
217 intss1 4138 . . 3  |-  ( L  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r ) }  ->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r ) } 
C_  L )
218216, 217syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r ) } 
C_  L )
2195, 218syl5eqss 3395 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  .~  C_  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2424   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   {cpr 3874   <.cop 3878   <.cotp 3880   |^|cint 4123   U_ciun 4166   class class class wbr 4287   {copab 4344    e. cmpt 4345    _I cid 4626    X. cxp 4833   ran crn 4836   Rel wrel 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   1oc1o 6905   2oc2o 6906    Er wer 7090   [cec 7091   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    - cmin 9587   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213   concat cconcat 12215   substr csubstr 12217   splice csplice 12218   <"cs2 12460   ~FG cefg 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-ot 3881  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-concat 12223  df-s1 12224  df-substr 12225  df-splice 12226  df-s2 12467  df-efg 16197
This theorem is referenced by:  efgcpbl  16244
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