Theorem efgcpbllemb 16232

Description: Lemma for efgrelex 16228. Show that L is an equivalence relation containing all direct extensions of a word, so is closed under .~. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
efgval2.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
efgval2.t	|- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
efgred.d	|- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
efgred.s	|- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
efgcpbllem.1	|- L = { <. i , j >. | ( { i , j } C_ W /\ ( ( A concat i ) concat B ) .~ ( ( A concat j ) concat B ) ) }

Assertion

Ref	Expression
efgcpbllemb	|- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> .~ C_ L )

Distinct variable groups:   i, j, A   y, z   t, n, v, w, y, z   i, m, n, t, v, w, x, M, j   i, k, T, j, m, t, x   y, i, z, W, j   k, n, v, w, y, z, W, m, t, x   .~ , i, j, m, t, x, y, z   B, i, j   S, i, j   i, I, j, m, n, t, v, w, x, y, z   D, i, j, m, t

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   D( x, y, z, w, v, k, n)   .~ ( w, v, k, n)   S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   T( y, z, w, v, n)   I( k)   L( x, y, z, w, v, t, i, j, k, m, n)   M( y, z, k)

Proof of Theorem efgcpbllemb

Dummy variables a b c f g h r u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . 3 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2		efgval.r	. . 3 |- .~ = ( ~FG ` I )
3		efgval2.m	. . 3 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
4		efgval2.t	. . 3 |- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
5	1, 2, 3, 4	efgval2 16201	. 2 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) }
6		efgcpbllem.1	. . . . . . 7 |- L = { <. i , j >. | ( { i , j } C_ W /\ ( ( A concat i ) concat B ) .~ ( ( A concat j ) concat B ) ) }
7	6	relopabi 4952	. . . . . 6 |- Rel L
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> Rel L )
9		efgred.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
10		efgred.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
11	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16231	. . . . . . . 8 |- ( f L g <-> ( f e. W /\ g e. W /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat g ) concat B ) ) )
12	11	simp2bi 997	. . . . . . 7 |- ( f L g -> g e. W )
13	12	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> g e. W )
14	11	simp1bi 996	. . . . . . 7 |- ( f L g -> f e. W )
15	14	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> f e. W )
16	1, 2	efger 16195	. . . . . . . 8 |- .~ Er W
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> .~ Er W )
18	11	simp3bi 998	. . . . . . . 8 |- ( f L g -> ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat g ) concat B ) )
19	18	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat g ) concat B ) )
20	17, 19	ersym 7101	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> ( ( A concat g ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) )
21	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16231	. . . . . 6 |- ( g L f <-> ( g e. W /\ f e. W /\ ( ( A concat g ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) ) )
22	13, 15, 20, 21	syl3anbrc 1165	. . . . 5 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f L g ) -> g L f )
23	14	ad2antrl 720	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> f e. W )
24	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16231	. . . . . . . 8 |- ( g L h <-> ( g e. W /\ h e. W /\ ( ( A concat g ) concat B ) .~ ( ( A concat h ) concat B ) ) )
25	24	simp2bi 997	. . . . . . 7 |- ( g L h -> h e. W )
26	25	ad2antll 721	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> h e. W )
27	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> .~ Er W )
28	18	ad2antrl 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat g ) concat B ) )
29	24	simp3bi 998	. . . . . . . 8 |- ( g L h -> ( ( A concat g ) concat B ) .~ ( ( A concat h ) concat B ) )
30	29	ad2antll 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> ( ( A concat g ) concat B ) .~ ( ( A concat h ) concat B ) )
31	27, 28, 30	ertrd 7105	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat h ) concat B ) )
32	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16231	. . . . . 6 |- ( f L h <-> ( f e. W /\ h e. W /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat h ) concat B ) ) )
33	23, 26, 31, 32	syl3anbrc 1165	. . . . 5 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ ( f L g /\ g L h ) ) -> f L h )
34	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> .~ Er W )
35		fviss 5737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) C_ Word ( I X. 2o )
36	1, 35	eqsstri 3374	. . . . . . . . . . . . 13 |- W C_ Word ( I X. 2o )
37		simpll 746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> A e. W )
38	36, 37	sseldi 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> A e. Word ( I X. 2o ) )
39		simpr 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> f e. W )
40	36, 39	sseldi 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> f e. Word ( I X. 2o ) )
41		ccatcl 12258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ f e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( A concat f ) e. Word ( I X. 2o ) )
42	38, 40, 41	syl2anc 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( A concat f ) e. Word ( I X. 2o ) )
43		simplr 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> B e. W )
44	36, 43	sseldi 3342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> B e. Word ( I X. 2o ) )
45		ccatcl 12258	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A concat f ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A concat f ) concat B ) e. Word ( I X. 2o ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( ( A concat f ) concat B ) e. Word ( I X. 2o ) )
47	1	efgrcl 16192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. W -> ( I e. _V /\ W = Word ( I X. 2o ) ) )
48	47	simprd 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. W -> W = Word ( I X. 2o ) )
49	48	ad2antrr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> W = Word ( I X. 2o ) )
50	46, 49	eleqtrrd 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( ( A concat f ) concat B ) e. W )
51	34, 50	erref 7109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) )
52	51	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> ( f e. W -> ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) ) )
53	52	pm4.71d 627	. . . . . 6 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> ( f e. W <-> ( f e. W /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) ) ) )
54	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16231	. . . . . . 7 |- ( f L f <-> ( f e. W /\ f e. W /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) ) )
55		df-3an 960	. . . . . . 7 |- ( ( f e. W /\ f e. W /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) ) <-> ( ( f e. W /\ f e. W ) /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) ) )
56		anidm 637	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. W /\ f e. W ) <-> f e. W )
57	56	anbi1i 688	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. W /\ f e. W ) /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) ) <-> ( f e. W /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) ) )
58	54, 55, 57	3bitri 271	. . . . . 6 |- ( f L f <-> ( f e. W /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat f ) concat B ) ) )
59	53, 58	syl6bbr 263	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> ( f e. W <-> f L f ) )
60	8, 22, 33, 59	iserd 7115	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> L Er W )
61	1, 2, 3, 4	efgtf 16199	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. W -> ( ( T ` f ) = ( a e. ( 0 ... ( # ` f ) ) , b e. ( I X. 2o ) |-> ( f splice <. a , a , <" b ( M ` b ) "> >. ) ) /\ ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W ) )
62	61	simprd 460	. . . . . . . . 9 |- ( f e. W -> ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W )
63	62	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W )
64		ffn 5547	. . . . . . . 8 |- ( ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W -> ( T ` f ) Fn ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) )
65		ovelrn 6228	. . . . . . . 8 |- ( ( T ` f ) Fn ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) -> ( a e. ran ( T ` f ) <-> E. c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) E. u e. ( I X. 2o ) a = ( c ( T ` f ) u ) ) )
66	63, 64, 65	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( a e. ran ( T ` f ) <-> E. c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) E. u e. ( I X. 2o ) a = ( c ( T ` f ) u ) ) )
67		simplr 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> f e. W )
68	62	ad2antlr 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( T ` f ) : ( ( 0 ... ( # ` f ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W )
69		simprl 748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) )
70		simprr 749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> u e. ( I X. 2o ) )
71	68, 69, 70	fovrnd 6224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( c ( T ` f ) u ) e. W )
72	50	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat f ) concat B ) e. W )
73	37	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> A e. W )
74	36, 73	sseldi 3342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> A e. Word ( I X. 2o ) )
75	40	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> f e. Word ( I X. 2o ) )
76		swrdcl 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. Word ( I X. 2o ) -> ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) )
78		ccatcl 12258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) )
79	74, 77, 78	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) )
80	3	efgmf 16190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- M : ( I X. 2o ) --> ( I X. 2o )
81	80	ffvelrni 5830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. ( I X. 2o ) -> ( M ` u ) e. ( I X. 2o ) )
82	81	ad2antll 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( M ` u ) e. ( I X. 2o ) )
83	70, 82	s2cld 12480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) )
84		ccatcl 12258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) /\ <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) )
85	79, 83, 84	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) )
86		swrdcl 12299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. Word ( I X. 2o ) -> ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) )
87	75, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) )
88	44	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> B e. Word ( I X. 2o ) )
89		ccatass 12270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) concat B ) = ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) ) )
90	85, 87, 88, 89	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) concat B ) = ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) ) )
91		ccatcl 12258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) )
92	77, 83, 91	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) )
93		ccatass 12270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A concat ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A concat ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
94	74, 92, 87, 93	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A concat ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
95		ccatass 12270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) = ( A concat ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) ) )
96	74, 77, 83, 95	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) = ( A concat ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) ) )
97	96	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( ( A concat ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
98	1, 2, 3, 4	efgtval 16200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. W /\ c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) -> ( c ( T ` f ) u ) = ( f splice <. c , c , <" u ( M ` u ) "> >. ) )
99	67, 69, 70, 98	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( c ( T ` f ) u ) = ( f splice <. c , c , <" u ( M ` u ) "> >. ) )
100		splval 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. W /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ <" u ( M ` u ) "> e. Word ( I X. 2o ) ) ) -> ( f splice <. c , c , <" u ( M ` u ) "> >. ) = ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
101	67, 69, 69, 83, 100	syl13anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( f splice <. c , c , <" u ( M ` u ) "> >. ) = ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
102	99, 101	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( c ( T ` f ) u ) = ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
103	102	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A concat ( c ( T ` f ) u ) ) = ( A concat ( ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
104	94, 97, 103	3eqtr4rd 2476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A concat ( c ( T ` f ) u ) ) = ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) )
105	104	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat ( c ( T ` f ) u ) ) concat B ) = ( ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) concat B ) )
106		lencl 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. Word ( I X. 2o ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
107	74, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
108		nn0uz 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
109	107, 108	syl6eleq 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
110		elfznn0 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) -> c e. NN0 )
111	110	ad2antrl 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> c e. NN0 )
112		uzaddcl 10899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ c e. NN0 ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
113	109, 111, 112	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
114	42	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A concat f ) e. Word ( I X. 2o ) )
115		ccatlen 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A concat f ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) = ( ( # ` ( A concat f ) ) + ( # ` B ) ) )
116	114, 88, 115	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) = ( ( # ` ( A concat f ) ) + ( # ` B ) ) )
117		ccatlen 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ f e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( # ` ( A concat f ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` f ) ) )
118	74, 75, 117	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( A concat f ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` f ) ) )
119		elfzuz3 11437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) -> ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` c ) )
120	119	ad2antrl 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` c ) )
121	107	nn0zd 10733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
122		eluzadd 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` c ) /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( ( # ` f ) + ( # ` A ) ) e. ( ZZ>= ` ( c + ( # ` A ) ) ) )
123	120, 121, 122	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` f ) + ( # ` A ) ) e. ( ZZ>= ` ( c + ( # ` A ) ) ) )
124		lencl 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. Word ( I X. 2o ) -> ( # ` f ) e. NN0 )
125	75, 124	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. NN0 )
126	125	nn0cnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. CC )
127	107	nn0cnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` A ) e. CC )
128	126, 127	addcomd 9559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` f ) + ( # ` A ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` f ) ) )
129	111	nn0cnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> c e. CC )
130	129, 127	addcomd 9559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( c + ( # ` A ) ) = ( ( # ` A ) + c ) )
131	130	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ZZ>= ` ( c + ( # ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
132	123, 128, 131	3eltr3d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` f ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
133	118, 132	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( A concat f ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
134		lencl 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. Word ( I X. 2o ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
135	88, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
136		uzaddcl 10899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( # ` ( A concat f ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) /\ ( # ` B ) e. NN0 ) -> ( ( # ` ( A concat f ) ) + ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
137	133, 135, 136	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` ( A concat f ) ) + ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
138	116, 137	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) )
139		elfzuzb 11434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` A ) + c ) e. ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) <-> ( ( ( # ` A ) + c ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` A ) + c ) ) ) )
140	113, 138, 139	sylanbrc 657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) )
141	1, 2, 3, 4	efgtval 16200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A concat f ) concat B ) e. W /\ ( ( # ` A ) + c ) e. ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) u ) = ( ( ( A concat f ) concat B ) splice <. ( ( # ` A ) + c ) , ( ( # ` A ) + c ) , <" u ( M ` u ) "> >. ) )
142	72, 140, 70, 141	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) u ) = ( ( ( A concat f ) concat B ) splice <. ( ( # ` A ) + c ) , ( ( # ` A ) + c ) , <" u ( M ` u ) "> >. ) )
143		wrd0 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. Word ( I X. 2o )
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> (/) e. Word ( I X. 2o ) )
145		ccatcl 12258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) e. Word ( I X. 2o ) )
146	87, 88, 145	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) e. Word ( I X. 2o ) )
147		ccatrid 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) -> ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat (/) ) = ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) )
148	79, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat (/) ) = ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) )
149	148	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat (/) ) concat ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) ) = ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) ) )
150		ccatass 12270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ B e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) concat B ) = ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) ) )
151	79, 87, 88, 150	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) concat B ) = ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) ) )
152		ccatass 12270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A concat ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
153	74, 77, 87, 152	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A concat ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) )
154	111, 108	syl6eleq 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> c e. ( ZZ>= ` 0 ) )
155		eluzfz1 11445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( c e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... c ) )
156	154, 155	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> 0 e. ( 0 ... c ) )
157	125, 108	syl6eleq 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
158		eluzfz2 11446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( # ` f ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( # ` f ) e. ( 0 ... ( # ` f ) ) )
159	157, 158	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` f ) e. ( 0 ... ( # ` f ) ) )
160		ccatswrd 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f e. Word ( I X. 2o ) /\ ( 0 e. ( 0 ... c ) /\ c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ ( # ` f ) e. ( 0 ... ( # ` f ) ) ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( f substr <. 0 , ( # ` f ) >. ) )
161	75, 156, 69, 159, 160	syl13anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( f substr <. 0 , ( # ` f ) >. ) )
162		swrdid 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. Word ( I X. 2o ) -> ( f substr <. 0 , ( # ` f ) >. ) = f )
163	75, 162	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( f substr <. 0 , ( # ` f ) >. ) = f )
164	161, 163	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = f )
165	164	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( A concat ( ( f substr <. 0 , c >. ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) ) = ( A concat f ) )
166	153, 165	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) = ( A concat f ) )
167	166	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) ) concat B ) = ( ( A concat f ) concat B ) )
168	149, 151, 167	3eqtr2rd 2472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat f ) concat B ) = ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat (/) ) concat ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) ) )
169		ccatlen 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. Word ( I X. 2o ) /\ ( f substr <. 0 , c >. ) e. Word ( I X. 2o ) ) -> ( # ` ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) )
170	74, 77, 169	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) = ( ( # ` A ) + ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) )
171		swrd0len 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. Word ( I X. 2o ) /\ c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) ) -> ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) = c )
172	75, 69, 171	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) = c )
173	172	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + ( # ` ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) = ( ( # ` A ) + c ) )
174	170, 173	eqtr2d 2466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) = ( # ` ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) ) )
175		hash0 12119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( # ` (/) ) = 0
176	175	oveq2i 6091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` A ) + c ) + ( # ` (/) ) ) = ( ( ( # ` A ) + c ) + 0 )
177	107, 111	nn0addcld 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. NN0 )
178	177	nn0cnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) e. CC )
179	178	addid1d 9557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) + 0 ) = ( ( # ` A ) + c ) )
180	176, 179	syl5req 2478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( # ` A ) + c ) = ( ( ( # ` A ) + c ) + ( # ` (/) ) ) )
181	79, 144, 146, 83, 168, 174, 180	splval2 12383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( A concat f ) concat B ) splice <. ( ( # ` A ) + c ) , ( ( # ` A ) + c ) , <" u ( M ` u ) "> >. ) = ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) ) )
182	142, 181	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) u ) = ( ( ( A concat ( f substr <. 0 , c >. ) ) concat <" u ( M ` u ) "> ) concat ( ( f substr <. c , ( # ` f ) >. ) concat B ) ) )
183	90, 105, 182	3eqtr4d 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat ( c ( T ` f ) u ) ) concat B ) = ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) u ) )
184	1, 2, 3, 4	efgtf 16199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A concat f ) concat B ) e. W -> ( ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) = ( a e. ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) , b e. ( I X. 2o ) |-> ( ( ( A concat f ) concat B ) splice <. a , a , <" b ( M ` b ) "> >. ) ) /\ ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) : ( ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W ) )
185	184	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A concat f ) concat B ) e. W -> ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) : ( ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W )
186		ffn 5547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) : ( ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) --> W -> ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) Fn ( ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) )
187	72, 185, 186	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) Fn ( ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) )
188		fnovrn 6227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) Fn ( ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) X. ( I X. 2o ) ) /\ ( ( # ` A ) + c ) e. ( 0 ... ( # ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) u ) e. ran ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) )
189	187, 140, 70, 188	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( ( # ` A ) + c ) ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) u ) e. ran ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) )
190	183, 189	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat ( c ( T ` f ) u ) ) concat B ) e. ran ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) )
191	1, 2, 3, 4	efgi2 16202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A concat f ) concat B ) e. W /\ ( ( A concat ( c ( T ` f ) u ) ) concat B ) e. ran ( T ` ( ( A concat f ) concat B ) ) ) -> ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat ( c ( T ` f ) u ) ) concat B ) )
192	72, 190, 191	syl2anc 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat ( c ( T ` f ) u ) ) concat B ) )
193	1, 2, 3, 4, 9, 10, 6	efgcpbllema 16231	. . . . . . . . . 10 |- ( f L ( c ( T ` f ) u ) <-> ( f e. W /\ ( c ( T ` f ) u ) e. W /\ ( ( A concat f ) concat B ) .~ ( ( A concat ( c ( T ` f ) u ) ) concat B ) ) )
194	67, 71, 192, 193	syl3anbrc 1165	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> f L ( c ( T ` f ) u ) )
195		vex 2965	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
196		vex 2965	. . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
197	195, 196	elec 7128	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. [ f ] L <-> f L a )
198		breq2 4284	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( c ( T ` f ) u ) -> ( f L a <-> f L ( c ( T ` f ) u ) ) )
199	197, 198	syl5bb 257	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( c ( T ` f ) u ) -> ( a e. [ f ] L <-> f L ( c ( T ` f ) u ) ) )
200	194, 199	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) /\ ( c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) /\ u e. ( I X. 2o ) ) ) -> ( a = ( c ( T ` f ) u ) -> a e. [ f ] L ) )
201	200	rexlimdvva 2838	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( E. c e. ( 0 ... ( # ` f ) ) E. u e. ( I X. 2o ) a = ( c ( T ` f ) u ) -> a e. [ f ] L ) )
202	66, 201	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ( a e. ran ( T ` f ) -> a e. [ f ] L ) )
203	202	ssrdv 3350	. . . . 5 |- ( ( ( A e. W /\ B e. W ) /\ f e. W ) -> ran ( T ` f ) C_ [ f ] L )
204	203	ralrimiva 2789	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L )
205		fvex 5689	. . . . . . 7 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) e. _V
206	1, 205	eqeltri 2503	. . . . . 6 |- W e. _V
207		erex 7113	. . . . . 6 |- ( L Er W -> ( W e. _V -> L e. _V ) )
208	60, 206, 207	mpisyl 18	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> L e. _V )
209		ereq1 7096	. . . . . . 7 |- ( r = L -> ( r Er W <-> L Er W ) )
210		eceq2 7126	. . . . . . . . 9 |- ( r = L -> [ f ] r = [ f ] L )
211	210	sseq2d 3372	. . . . . . . 8 |- ( r = L -> ( ran ( T ` f ) C_ [ f ] r <-> ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) )
212	211	ralbidv 2725	. . . . . . 7 |- ( r = L -> ( A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r <-> A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) )
213	209, 212	anbi12d 703	. . . . . 6 |- ( r = L -> ( ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) <-> ( L Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) ) )
214	213	elabg 3096	. . . . 5 |- ( L e. _V -> ( L e. { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } <-> ( L Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) ) )
215	208, 214	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> ( L e. { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } <-> ( L Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] L ) ) )
216	60, 204, 215	mpbir2and 906	. . 3 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> L e. { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } )
217		intss1 4131	. . 3 |- ( L e. { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } -> |^| { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } C_ L )
218	216, 217	syl 16	. 2 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> |^| { r | ( r Er W /\ A. f e. W ran ( T ` f ) C_ [ f ] r ) } C_ L )
219	5, 218	syl5eqss 3388	1 |- ( ( A e. W /\ B e. W ) -> .~ C_ L )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   {cab 2419   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962   \ cdif 3313   C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   {cpr 3867   <.cop 3871   <.cotp 3873   |^|cint 4116   U_ciun 4159   class class class wbr 4280   {copab 4337   e. cmpt 4338   _I cid 4618   X. cxp 4825   ran crn 4828   Rel wrel 4832   Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   e. cmpt2 6082   1oc1o 6901   2oc2o 6902   Er wer 7086   [cec 7087   0cc0 9270   1c1 9271   + caddc 9273   - cmin 9583   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424  ..^cfzo 11532   #chash 12087  Word cword 12205   concat cconcat 12207   substr csubstr 12209   splice csplice 12210   <"cs2 12452   ~_FG cefg 16183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-ot 3874  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-ec 7091  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-hash 12088  df-word 12213  df-concat 12215  df-s1 12216  df-substr 12217  df-splice 12218  df-s2 12459  df-efg 16186

This theorem is referenced by:  efgcpbl  16233