MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbl Structured version   Unicode version

Theorem efgcpbl 17341
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgcpbl  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W  /\  X  .~  Y )  -> 
( ( A ++  X
) ++  B )  .~  ( ( A ++  Y
) ++  B ) )
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y, z, w, v, n)    I( k)    M( y, z, k)    X( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    Y( x, y, z, w, v, t, k, m, n)

Proof of Theorem efgcpbl
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . . . 5  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . . . 5  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
5 efgred.d . . . . 5  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
6 efgred.s . . . . 5  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
7 eqid 2429 . . . . 5  |-  { <. i ,  j >.  |  ( { i ,  j }  C_  W  /\  ( ( A ++  i
) ++  B )  .~  ( ( A ++  j
) ++  B ) ) }  =  { <. i ,  j >.  |  ( { i ,  j }  C_  W  /\  ( ( A ++  i
) ++  B )  .~  ( ( A ++  j
) ++  B ) ) }
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7efgcpbllemb 17340 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  .~  C_  { <. i ,  j >.  |  ( { i ,  j }  C_  W  /\  ( ( A ++  i
) ++  B )  .~  ( ( A ++  j
) ++  B ) ) } )
98ssbrd 4467 . . 3  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( X  .~  Y  ->  X { <. i ,  j >.  |  ( { i ,  j }  C_  W  /\  ( ( A ++  i
) ++  B )  .~  ( ( A ++  j
) ++  B ) ) } Y ) )
1093impia 1202 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W  /\  X  .~  Y )  ->  X { <. i ,  j
>.  |  ( {
i ,  j } 
C_  W  /\  (
( A ++  i ) ++  B )  .~  (
( A ++  j ) ++  B ) ) } Y )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7efgcpbllema 17339 . . 3  |-  ( X { <. i ,  j
>.  |  ( {
i ,  j } 
C_  W  /\  (
( A ++  i ) ++  B )  .~  (
( A ++  j ) ++  B ) ) } Y  <->  ( X  e.  W  /\  Y  e.  W  /\  ( ( A ++  X ) ++  B
)  .~  ( ( A ++  Y ) ++  B ) ) )
1211simp3bi 1022 . 2  |-  ( X { <. i ,  j
>.  |  ( {
i ,  j } 
C_  W  /\  (
( A ++  i ) ++  B )  .~  (
( A ++  j ) ++  B ) ) } Y  ->  ( ( A ++  X ) ++  B )  .~  ( ( A ++  Y ) ++  B ) )
1310, 12syl 17 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W  /\  X  .~  Y )  -> 
( ( A ++  X
) ++  B )  .~  ( ( A ++  Y
) ++  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786    \ cdif 3439    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   {cpr 4004   <.cop 4008   <.cotp 4010   U_ciun 4302   class class class wbr 4426   {copab 4483    |-> cmpt 4484    _I cid 4764    X. cxp 4852   ran crn 4855   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   1oc1o 7183   2oc2o 7184   0cc0 9538   1c1 9539    - cmin 9859   ...cfz 11782  ..^cfzo 11913   #chash 12512  Word cword 12643   ++ cconcat 12645   splice csplice 12648   <"cs2 12922   ~FG cefg 17291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ec 7373  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655  df-splice 12656  df-s2 12929  df-efg 17294
This theorem is referenced by:  efgcpbl2  17342
  Copyright terms: Public domain W3C validator