Theorem effsumlei 8662

Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function of a nonnegative real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
effsumle.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
effsumle.2	|- A e. RR
effsumle.3	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
effsumlei	|- (0 <_ A -> (( + seq0 F)` N) <_ (exp` A))

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem effsumlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		effsumle.2	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
2		reexpcl 7823	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
3	1, 2	mpan 759	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. RR)
4	3	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (A^k) e. RR)
5		expge0 7833	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^k))
6	1, 5	mp3an1 1178	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^k))
7		faccl 8192	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
8		nnre 7112	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
9	7, 8	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. RR)
10	9	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (!` k) e. RR)
11		nngt0 7129	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
12	7, 11	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> 0 < (!` k))
13	12	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 < (!` k))
14		divge0 7038	. . . . . . 7 |- ((((A^k) e. RR /\ 0 <_ (A^k)) /\ ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k))) -> 0 <_ ((A^k) / (!` k)))
15	4, 6, 10, 13, 14	syl22anc 1101	. . . . . 6 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ ((A^k) / (!` k)))
16		effsumle.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
17	16	eftval 8578	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
18	17	adantr 425	. . . . . 6 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
19	15, 18	breqtrrd 3363	. . . . 5 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (F` k))
20		elnn0uz 7610	. . . . 5 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>=` 0))
21	19, 20	sylanbr 499	. . . 4 |- ((k e. (ZZ>=` 0) /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (F` k))
22	21	expcom 403	. . 3 |- (0 <_ A -> (k e. (ZZ>=` 0) -> 0 <_ (F` k)))
23	22	r19.21aiv 2175	. 2 |- (0 <_ A -> A.k e. (ZZ>=` 0)0 <_ (F` k))
24		effsumle.3	. . . . 5 |- N e. NN0
25		nn0uz 7607	. . . . 5 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
26	24, 25	eleqtri 1969	. . . 4 |- N e. (ZZ>=` 0)
27		nn0ex 7314	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
28	27, 16	fopabex2 4541	. . . . 5 |- F e. _V
29		fvex 4689	. . . . 5 |- (exp` A) e. _V
30		addex 6470	. . . . . . 7 |- + e. _V
31	30, 28	seq0seqz 7785	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
32	1	recni 6467	. . . . . . 7 |- A e. CC
33	16	efcvg 8576	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
34	32, 33	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
35	31, 34	eqbrtrri 3358	. . . . 5 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
36		reeftcl 8636	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. RR)
37	1, 36	mpan 759	. . . . . . 7 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. RR)
38	16, 37	fopab 4800	. . . . . 6 |- F:NN0-->RR
39	25	feq2i 4559	. . . . . 6 |- (F:NN0-->RR <-> F:(ZZ>=` 0)-->RR)
40	38, 39	mpbi 206	. . . . 5 |- F:(ZZ>=` 0)-->RR
41	28, 29, 35, 40	climserzlei 8407	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` 0) /\ A.k e. (ZZ>=` 0)0 <_ (F` k)) -> ((<.0, + >. seq F)` N) <_ (exp` A))
42	26, 41	mpan 759	. . 3 |- (A.k e. (ZZ>=` 0)0 <_ (F` k) -> ((<.0, + >. seq F)` N) <_ (exp` A))
43	31	fveq1i 4682	. . 3 |- (( + seq0 F)` N) = ((<.0, + >. seq F)` N)
44	42, 43	syl5eqbr 3370	. 2 |- (A.k e. (ZZ>=` 0)0 <_ (F` k) -> (( + seq0 F)` N) <_ (exp` A))
45	23, 44	syl 12	1 |- (0 <_ A -> (( + seq0 F)` N) <_ (exp` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774   seq0 cseq0 7775  ^cexp 7811  !cfa 8183   ~~> cli 8234  expce 8555

This theorem is referenced by:  efge1i 8666  efge1pi 8667

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain