MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eff2 Structured version   Unicode version

Theorem eff2 13487
Description: The exponential function maps the complex numbers to the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
eff2  |-  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } )

Proof of Theorem eff2
StepHypRef Expression
1 eff 13471 . . 3  |-  exp : CC
--> CC
2 ffn 5659 . . 3  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  exp  Fn  CC
4 efcl 13472 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
5 efne0 13485 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
6 eldifsn 4100 . . . 4  |-  ( ( exp `  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 ) )
74, 5, 6sylanbrc 664 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
87rgen 2891 . 2  |-  A. x  e.  CC  ( exp `  x
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )
9 ffnfv 5970 . 2  |-  ( exp
: CC --> ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( exp  Fn  CC  /\  A. x  e.  CC  ( exp `  x
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
103, 8, 9mpbir2an 911 1  |-  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795    \ cdif 3425   {csn 3977    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518   CCcc 9383   0cc0 9385   expce 13451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-ico 11409  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457
This theorem is referenced by:  eff1olem  22122  dvlog  22214
  Copyright terms: Public domain W3C validator