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Theorem eff1olem 21979
Description: The exponential function maps the set  S, of complex numbers with imaginary part in a real interval of length  2  x.  pi, one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eff1olem.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
eff1olem.2  |-  S  =  ( `' Im " D )
eff1olem.3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
eff1olem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
eff1olem.5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
eff1olem  |-  ( ph  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, D    x, F, y, z    ph, w, x, y, z    x, S, y
Allowed substitution hints:    S( z, w)    F( w)

Proof of Theorem eff1olem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5184 . . . 4  |-  ( `' Im " D ) 
C_  dom  Im
2 eff1olem.2 . . . 4  |-  S  =  ( `' Im " D )
3 imf 12594 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
43fdmi 5559 . . . . 5  |-  dom  Im  =  CC
54eqcomi 2442 . . . 4  |-  CC  =  dom  Im
61, 2, 53sstr4i 3390 . . 3  |-  S  C_  CC
7 eff2 13375 . . . . . . 7  |-  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  CC  ->  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } ) )
98feqmptd 5739 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
109reseq1d 5104 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( exp  |`  S )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  |`  S )
)
11 resmpt 5151 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y
) ) )
1210, 11eqtrd 2470 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( exp  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y ) ) )
136, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( exp  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y ) )
146sseli 3347 . . . 4  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC )
157ffvelrni 5837 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  S  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1716adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
18 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
19 eldifsn 3995 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
2018, 19sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
2120simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
2220simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
2321, 22absrpcld 12926 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR+ )
24 reeff1o 21887 . . . . . . . . 9  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
25 f1ocnv 5648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  ->  `' ( exp  |`  RR ) :
RR+
-1-1-onto-> RR )
26 f1of 5636 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( exp  |`  RR ) : RR+
-1-1-onto-> RR  ->  `' ( exp  |`  RR ) : RR+ --> RR )
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  `' ( exp  |`  RR ) : RR+ --> RR
2827ffvelrni 5837 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR+  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  e.  RR )
2923, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  RR )
3029recnd 9404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  CC )
31 ax-icn 9333 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
32 eff1olem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  D  C_  RR )
34 eff1olem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
35 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' abs " { 1 } )  =  ( `' abs " { 1 } )
36 eff1olem.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
37 eff1olem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
38 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
3934, 35, 32, 36, 37, 38efif1olem4 21976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } ) )
40 f1ocnv 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " {
1 } )  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D )
41 f1of 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4239, 40, 413syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4342adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4421abscld 12914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
4544recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
4621, 22absne0d 12925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  =/=  0 )
4721, 45, 46divcld 10099 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC )
4821, 45, 46absdivd 12933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
x  /  ( abs `  x ) ) )  =  ( ( abs `  x )  /  ( abs `  ( abs `  x
) ) ) )
49 absidm 12803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  x
) )  =  ( abs `  x ) )
5021, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  ( abs `  x ) )  =  ( abs `  x
) )
5150oveq2d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  /  ( abs `  ( abs `  x
) ) )  =  ( ( abs `  x
)  /  ( abs `  x ) ) )
5245, 46dividd 10097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  /  ( abs `  x ) )  =  1 )
5348, 51, 523eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 )
54 absf 12817 . . . . . . . . . . 11  |-  abs : CC
--> RR
55 ffn 5554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
56 fniniseg 5819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } )  <->  ( (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 ) ) )
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } )  <->  ( (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 ) )
5847, 53, 57sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " { 1 } ) )
5943, 58ffvelrnd 5839 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  D )
6033, 59sseldd 3352 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  RR )
6160recnd 9404 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  CC )
62 mulcl 9358 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )
6331, 61, 62sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )
6430, 63addcld 9397 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC )
6529, 60crimd 12713 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( Im `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )
6665, 59eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( Im `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
)
67 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
68 elpreima 5818 . . . . 5  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
) ) )
693, 67, 68mp2b 10 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
) )
7064, 66, 69sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D ) )
7170, 2syl6eleqr 2529 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  S )
72 efadd 13371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
7330, 63, 72syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
74 fvres 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  e.  RR  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) ) )
7529, 74syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) ) )
76 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  /\  ( abs `  x )  e.  RR+ )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
7724, 23, 76sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
7875, 77eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
79 oveq2 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  ->  ( _i  x.  z )  =  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )
8079fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  z
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) ) ) )
81 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  z ) )
8281fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
8382cbvmptv 4378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  D  |->  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  ( z  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
8434, 83eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( z  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
85 fvex 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  _V
8680, 84, 85fvmpt 5769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  e.  D  ->  ( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) ) ) )
8759, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )
8839adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  F : D -1-1-onto-> ( `' abs " {
1 } ) )
89 f1ocnvfv2 5979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } )  /\  (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( x  / 
( abs `  x
) ) )
9088, 58, 89syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( x  / 
( abs `  x
) ) )
9187, 90eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  =  ( x  /  ( abs `  x
) ) )
9278, 91oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )
9321, 45, 46divcan2d 10101 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  x.  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  =  x )
9473, 92, 933eqtrrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
9594adantrl 715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
96 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
9796eqeq2d 2449 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  ( x  =  ( exp `  y
)  <->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) ) )
9895, 97syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  x  =  ( exp `  y ) ) )
9914adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
10099replimd 12678 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  =  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )
101 absef 13473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( exp `  ( Re
`  y ) ) )
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( exp `  ( Re
`  y ) ) )
10399recld 12675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Re `  y )  e.  RR )
104 fvres 5699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Re `  y )  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) )  =  ( exp `  (
Re `  y )
) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) )  =  ( exp `  (
Re `  y )
) )
106102, 105eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) ) )
107106fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  =  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) ) )
108 f1ocnvfv1 5978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  /\  ( Re
`  y )  e.  RR )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) )  =  ( Re `  y ) )
10924, 103, 108sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) )  =  ( Re `  y ) )
110107, 109eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  =  ( Re
`  y ) )
11199imcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  RR )
112111recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  CC )
113 mulcl 9358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  y )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  y )
)  e.  CC )
11431, 112, 113sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
_i  x.  ( Im `  y ) )  e.  CC )
115 efcl 13360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  ( Im
`  y ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )  e.  CC )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )  e.  CC )
117103recnd 9404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Re `  y )  e.  CC )
118 efcl 13360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  e.  CC )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  e.  CC )
120 efne0 13373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  =/=  0 )
121117, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  =/=  0 )
122116, 119, 121divcan3d 10104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )  / 
( exp `  (
Re `  y )
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
123100fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
( Re `  y
)  +  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) ) )
124 efadd 13371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  y
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  y )
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( Re `  y
)  +  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  y ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) ) )
125117, 114, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )  =  ( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) ) )
126123, 125eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  =  ( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) ) )
127126, 102oveq12d 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  =  ( ( ( exp `  ( Re `  y
) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )  / 
( exp `  (
Re `  y )
) ) )
128 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
y  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( y  e.  CC  /\  ( Im `  y
)  e.  D ) ) )
1293, 67, 128mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' Im " D )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( Im
`  y )  e.  D ) )
130129simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' Im " D )  ->  (
Im `  y )  e.  D )
131130, 2eleq2s 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  ->  (
Im `  y )  e.  D )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  D )
133 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( Im `  y )  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )
134133fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( Im `  y )  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
135 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) )  e.  _V
136134, 34, 135fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  y )  e.  D  ->  ( F `  ( Im `  y ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
137132, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  ( Im `  y ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
138122, 127, 1373eqtr4d 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  =  ( F `  (
Im `  y )
) )
139138fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )  =  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) ) )
140 f1ocnvfv1 5978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } )  /\  (
Im `  y )  e.  D )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) )  =  ( Im `  y ) )
14139, 131, 140syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) )  =  ( Im `  y ) )
142139, 141eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )  =  ( Im `  y ) )
143142oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
_i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  / 
( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  y )
) )
144110, 143oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )
145100, 144eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) ) ) )
146 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( exp `  y ) ) )
147146fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  =  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )
148 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  x  =  ( exp `  y ) )
149148, 146oveq12d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( x  /  ( abs `  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) )
150149fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  =  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) )
151150oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) )
152147, 151oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) ) ) )
153152eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  <->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) ) ) )
154145, 153syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
x  =  ( exp `  y )  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
155154adantrr 716 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
15698, 155impbid 191 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  <->  x  =  ( exp `  y ) ) )
15713, 17, 71, 156f1o2d 6307 1  |-  ( ph  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711    \ cdif 3320    C_ wss 3323   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   dom cdm 4835    |` cres 4837   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   _ici 9276    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    - cmin 9587   -ucneg 9588    / cdiv 9985   2c2 10363   ZZcz 10638   RR+crp 10983   [,]cicc 11295   Recre 12578   Imcim 12579   abscabs 12715   expce 13339   sincsin 13341   picpi 13344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317
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