MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eff1olem Structured version   Unicode version

Theorem eff1olem 22140
Description: The exponential function maps the set  S, of complex numbers with imaginary part in a real interval of length  2  x.  pi, one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eff1olem.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
eff1olem.2  |-  S  =  ( `' Im " D )
eff1olem.3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
eff1olem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
eff1olem.5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
eff1olem  |-  ( ph  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, D    x, F, y, z    ph, w, x, y, z    x, S, y
Allowed substitution hints:    S( z, w)    F( w)

Proof of Theorem eff1olem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5300 . . . 4  |-  ( `' Im " D ) 
C_  dom  Im
2 eff1olem.2 . . . 4  |-  S  =  ( `' Im " D )
3 imf 12723 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
43fdmi 5675 . . . . 5  |-  dom  Im  =  CC
54eqcomi 2467 . . . 4  |-  CC  =  dom  Im
61, 2, 53sstr4i 3506 . . 3  |-  S  C_  CC
7 eff2 13504 . . . . . . 7  |-  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  CC  ->  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } ) )
98feqmptd 5856 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
109reseq1d 5220 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( exp  |`  S )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  |`  S )
)
11 resmpt 5267 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y
) ) )
1210, 11eqtrd 2495 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( exp  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y ) ) )
136, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( exp  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y ) )
146sseli 3463 . . . 4  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC )
157ffvelrni 5954 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  S  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1716adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
18 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
19 eldifsn 4111 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
2018, 19sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
2120simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
2220simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
2321, 22absrpcld 13055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR+ )
24 reeff1o 22048 . . . . . . . . 9  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
25 f1ocnv 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  ->  `' ( exp  |`  RR ) :
RR+
-1-1-onto-> RR )
26 f1of 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( exp  |`  RR ) : RR+
-1-1-onto-> RR  ->  `' ( exp  |`  RR ) : RR+ --> RR )
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  `' ( exp  |`  RR ) : RR+ --> RR
2827ffvelrni 5954 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR+  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  e.  RR )
2923, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  RR )
3029recnd 9526 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  CC )
31 ax-icn 9455 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
32 eff1olem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  D  C_  RR )
34 eff1olem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
35 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' abs " { 1 } )  =  ( `' abs " { 1 } )
36 eff1olem.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
37 eff1olem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
38 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
3934, 35, 32, 36, 37, 38efif1olem4 22137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } ) )
40 f1ocnv 5764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " {
1 } )  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D )
41 f1of 5752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4239, 40, 413syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4342adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4421abscld 13043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
4544recnd 9526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
4621, 22absne0d 13054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  =/=  0 )
4721, 45, 46divcld 10221 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC )
4821, 45, 46absdivd 13062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
x  /  ( abs `  x ) ) )  =  ( ( abs `  x )  /  ( abs `  ( abs `  x
) ) ) )
49 absidm 12932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  x
) )  =  ( abs `  x ) )
5021, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  ( abs `  x ) )  =  ( abs `  x
) )
5150oveq2d 6219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  /  ( abs `  ( abs `  x
) ) )  =  ( ( abs `  x
)  /  ( abs `  x ) ) )
5245, 46dividd 10219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  /  ( abs `  x ) )  =  1 )
5348, 51, 523eqtrd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 )
54 absf 12946 . . . . . . . . . . 11  |-  abs : CC
--> RR
55 ffn 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
56 fniniseg 5936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } )  <->  ( (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 ) ) )
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } )  <->  ( (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 ) )
5847, 53, 57sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " { 1 } ) )
5943, 58ffvelrnd 5956 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  D )
6033, 59sseldd 3468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  RR )
6160recnd 9526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  CC )
62 mulcl 9480 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )
6331, 61, 62sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )
6430, 63addcld 9519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC )
6529, 60crimd 12842 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( Im `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )
6665, 59eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( Im `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
)
67 ffn 5670 . . . . 5  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
68 elpreima 5935 . . . . 5  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
) ) )
693, 67, 68mp2b 10 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
) )
7064, 66, 69sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D ) )
7170, 2syl6eleqr 2553 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  S )
72 efadd 13500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
7330, 63, 72syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
74 fvres 5816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  e.  RR  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) ) )
7529, 74syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) ) )
76 f1ocnvfv2 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  /\  ( abs `  x )  e.  RR+ )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
7724, 23, 76sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
7875, 77eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
79 oveq2 6211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  ->  ( _i  x.  z )  =  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )
8079fveq2d 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  z
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) ) ) )
81 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  z ) )
8281fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
8382cbvmptv 4494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  D  |->  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  ( z  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
8434, 83eqtri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( z  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
85 fvex 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  _V
8680, 84, 85fvmpt 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  e.  D  ->  ( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) ) ) )
8759, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )
8839adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  F : D -1-1-onto-> ( `' abs " {
1 } ) )
89 f1ocnvfv2 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } )  /\  (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( x  / 
( abs `  x
) ) )
9088, 58, 89syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( x  / 
( abs `  x
) ) )
9187, 90eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  =  ( x  /  ( abs `  x
) ) )
9278, 91oveq12d 6221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )
9321, 45, 46divcan2d 10223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  x.  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  =  x )
9473, 92, 933eqtrrd 2500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
9594adantrl 715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
96 fveq2 5802 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
9796eqeq2d 2468 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  ( x  =  ( exp `  y
)  <->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) ) )
9895, 97syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  x  =  ( exp `  y ) ) )
9914adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
10099replimd 12807 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  =  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )
101 absef 13602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( exp `  ( Re
`  y ) ) )
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( exp `  ( Re
`  y ) ) )
10399recld 12804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Re `  y )  e.  RR )
104 fvres 5816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Re `  y )  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) )  =  ( exp `  (
Re `  y )
) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) )  =  ( exp `  (
Re `  y )
) )
106102, 105eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) ) )
107106fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  =  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) ) )
108 f1ocnvfv1 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  /\  ( Re
`  y )  e.  RR )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) )  =  ( Re `  y ) )
10924, 103, 108sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) )  =  ( Re `  y ) )
110107, 109eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  =  ( Re
`  y ) )
11199imcld 12805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  RR )
112111recnd 9526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  CC )
113 mulcl 9480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  y )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  y )
)  e.  CC )
11431, 112, 113sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
_i  x.  ( Im `  y ) )  e.  CC )
115 efcl 13489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  ( Im
`  y ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )  e.  CC )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )  e.  CC )
117103recnd 9526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Re `  y )  e.  CC )
118 efcl 13489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  e.  CC )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  e.  CC )
120 efne0 13502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  =/=  0 )
121117, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  =/=  0 )
122116, 119, 121divcan3d 10226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )  / 
( exp `  (
Re `  y )
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
123100fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
( Re `  y
)  +  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) ) )
124 efadd 13500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  y
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  y )
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( Re `  y
)  +  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  y ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) ) )
125117, 114, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )  =  ( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) ) )
126123, 125eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  =  ( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) ) )
127126, 102oveq12d 6221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  =  ( ( ( exp `  ( Re `  y
) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )  / 
( exp `  (
Re `  y )
) ) )
128 elpreima 5935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
y  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( y  e.  CC  /\  ( Im `  y
)  e.  D ) ) )
1293, 67, 128mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' Im " D )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( Im
`  y )  e.  D ) )
130129simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' Im " D )  ->  (
Im `  y )  e.  D )
131130, 2eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  ->  (
Im `  y )  e.  D )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  D )
133 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( Im `  y )  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )
134133fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( Im `  y )  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
135 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) )  e.  _V
136134, 34, 135fvmpt 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  y )  e.  D  ->  ( F `  ( Im `  y ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
137132, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  ( Im `  y ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
138122, 127, 1373eqtr4d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  =  ( F `  (
Im `  y )
) )
139138fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )  =  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) ) )
140 f1ocnvfv1 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } )  /\  (
Im `  y )  e.  D )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) )  =  ( Im `  y ) )
14139, 131, 140syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) )  =  ( Im `  y ) )
142139, 141eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )  =  ( Im `  y ) )
143142oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
_i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  / 
( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  y )
) )
144110, 143oveq12d 6221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )
145100, 144eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) ) ) )
146 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( exp `  y ) ) )
147146fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  =  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )
148 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  x  =  ( exp `  y ) )
149148, 146oveq12d 6221 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( x  /  ( abs `  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) )
150149fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  =  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) )
151150oveq2d 6219 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) )
152147, 151oveq12d 6221 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) ) ) )
153152eqeq2d 2468 . . . . 5  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  <->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) ) ) )
154145, 153syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
x  =  ( exp `  y )  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
155154adantrr 716 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
15698, 155impbid 191 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  <->  x  =  ( exp `  y ) ) )
15713, 17, 71, 156f1o2d 6425 1  |-  ( ph  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800    \ cdif 3436    C_ wss 3439   {csn 3988   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4950   dom cdm 4951    |` cres 4953   "cima 4954    Fn wfn 5524   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397   _ici 9398    + caddc 9399    x. cmul 9401    < clt 9532    - cmin 9709   -ucneg 9710    / cdiv 10107   2c2 10485   ZZcz 10760   RR+crp 11105   [,]cicc 11417   Recre 12707   Imcim 12708   abscabs 12844   expce 13468   sincsin 13470   picpi 13473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-shft 12677  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ef 13474  df-sin 13476  df-cos 13477  df-pi 13479  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478
This theorem is referenced by:  eff1o  22141
  Copyright terms: Public domain W3C validator