MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eff1o Structured version   Unicode version

Theorem eff1o 22666
Description: The exponential function maps the set  S, of complex numbers with imaginary part in the closed-above, open-below interval from  -u pi to  pi one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eff1o.1  |-  S  =  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )
Assertion
Ref Expression
eff1o  |-  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  { 0 } )

Proof of Theorem eff1o
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 22582 . . 3  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9876 . 2  |-  -u pi  e.  RR
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( w  e.  ( -u pi (,] pi )  |->  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  ( w  e.  (
-u pi (,] pi )  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
4 eff1o.1 . . 3  |-  S  =  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )
5 rexr 9635 . . . 4  |-  ( -u pi  e.  RR  ->  -u pi  e.  RR* )
6 iocssre 11600 . . . 4  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi (,] pi )  C_  RR )
75, 1, 6sylancl 662 . . 3  |-  ( -u pi  e.  RR  ->  ( -u pi (,] pi ) 
C_  RR )
8 picn 22583 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
982timesi 10652 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
109oveq2i 6293 . . . . . 6  |-  ( -u pi  +  ( 2  x.  pi ) )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
11 negpicn 22585 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  CC
128, 8addcli 9596 . . . . . . 7  |-  ( pi  +  pi )  e.  CC
1311, 12addcomi 9766 . . . . . 6  |-  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )  =  ( ( pi  +  pi )  +  -u pi )
1412, 8negsubi 9893 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  +  pi )  +  -u pi )  =  ( ( pi  +  pi )  -  pi )
15 pncan 9822 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( ( pi  +  pi )  -  pi )  =  pi )
168, 8, 15mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  +  pi )  -  pi )  =  pi
1714, 16eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( ( pi  +  pi )  +  -u pi )  =  pi
1810, 13, 173eqtrri 2501 . . . . 5  |-  pi  =  ( -u pi  +  ( 2  x.  pi ) )
1918oveq2i 6293 . . . 4  |-  ( -u pi (,] pi )  =  ( -u pi (,] ( -u pi  +  ( 2  x.  pi ) ) )
2019efif1olem1 22659 . . 3  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( x  e.  (
-u pi (,] pi )  /\  y  e.  (
-u pi (,] pi ) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
2119efif1olem2 22660 . . 3  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  (
-u pi (,] pi ) ( ( z  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
223, 4, 7, 20, 21eff1olem 22665 . 2  |-  ( -u pi  e.  RR  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
232, 22ax-mp 5 1  |-  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  { 0 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998    |` cres 5001   "cima 5002   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   _ici 9490    + caddc 9491    x. cmul 9493   RR*cxr 9623    - cmin 9801   -ucneg 9802   2c2 10581   (,]cioc 11526   Imcim 12888   expce 13652   picpi 13657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003
This theorem is referenced by:  logrn  22671  eff1o2  22676
  Copyright terms: Public domain W3C validator