MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eff Structured version   Unicode version

Theorem eff 14028
Description: Domain and codomain of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
eff  |-  exp : CC
--> CC

Proof of Theorem eff
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ef 14014 . 2  |-  exp  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  NN0  (
( x ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
2 nn0uz 11163 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
3 0zd 10919 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  0  e.  ZZ )
4 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( x ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( x ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
54eftval 14023 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( x ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( x ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
65adantl 466 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( x ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( x ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
7 eftcl 14020 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( x ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
84efcllem 14024 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( x ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
92, 3, 6, 7, 8isumcl 13729 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( x ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
101, 9fmpti 6034 1  |-  exp : CC
--> CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1407    e. wcel 1844    |-> cmpt 4455   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   0cc0 9524    / cdiv 10249   NN0cn0 10838   ^cexp 12212   !cfa 12399   sum_csu 13659   expce 14008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-ico 11590  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014
This theorem is referenced by:  efcl  14029  eff2  14045  reeff1  14066  dveflem  22674  dvef  22675  dvsincos  22676  efcn  23132  efcvx  23138  pige3  23204  efabl  23231  efsubm  23232  dvrelog  23314  dvlog  23328  efopn  23335  dvcxp1  23412  dvcxp2  23413  dvcncxp1  23415  gamf  23700  gamcvg2lem  23716  iprodefisumlem  29962  seff  36050  dvsef  36098  expgrowthi  36099  expgrowth  36101
  Copyright terms: Public domain W3C validator