MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eff Structured version   Unicode version

Theorem eff 13679
Description: Domain and codomain of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
eff  |-  exp : CC
--> CC

Proof of Theorem eff
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ef 13665 . 2  |-  exp  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  NN0  (
( x ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
2 nn0uz 11116 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
3 0zd 10876 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  0  e.  ZZ )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( x ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( x ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
54eftval 13674 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( x ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( x ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
65adantl 466 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( x ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k )  =  ( ( x ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
7 eftcl 13671 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( x ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
84efcllem 13675 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( x ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
92, 3, 6, 7, 8isumcl 13539 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( x ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
101, 9fmpti 6044 1  |-  exp : CC
--> CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    / cdiv 10206   NN0cn0 10795   ^cexp 12134   !cfa 12321   sum_csu 13471   expce 13659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665
This theorem is referenced by:  efcl  13680  eff2  13695  reeff1  13716  dveflem  22143  dvef  22144  dvsincos  22145  efcn  22600  efcvx  22606  pige3  22671  dvrelog  22774  dvlog  22788  efopn  22795  dvcxp1  22872  dvcxp2  22873  gamf  28253  gamcvg2lem  28269  iprodefisumlem  28728  dvcncxp1  29705  seff  30820  dvsef  30865  expgrowthi  30866  expgrowth  30868
  Copyright terms: Public domain W3C validator