MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcvg Structured version   Unicode version

Theorem efcvg 13487
Description: The series that defines the exponential function converges to it. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efcvg.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
efcvg  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( exp `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem efcvg
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11005 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10768 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  ZZ )
3 efcvg.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
43eftval 13479 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
54adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
6 eftcl 13476 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
73efcllem 13480 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
81, 2, 5, 6, 7isumclim2 13342 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
9 efval 13482 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
108, 9breqtrrd 4425 1  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( exp `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392    + caddc 9395    / cdiv 10103   NN0cn0 10689    seqcseq 11922   ^cexp 11981   !cfa 12167    ~~> cli 13079   sum_csu 13280   expce 13464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-ico 11416  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470
This theorem is referenced by:  efcvgfsum  13488  ege2le3  13492  ef0  13493  efcj  13494  efaddlem  13495
  Copyright terms: Public domain W3C validator