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Theorem efcllem 13384
Description: Lemma for efcl 13389. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 13364 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
efcllem  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10916 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 eqid 2443 . 2  |-  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
3 halfre 10561 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
43a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
5 halflt1 10564 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  <  1
65a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  <  1 )
7 2re 10412 . . . 4  |-  2  e.  RR
8 abscl 12788 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
9 remulcl 9388 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR )
107, 8, 9sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR )
11 absge0 12797 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
12 0le2 10433 . . . . 5  |-  0  <_  2
13 mulge0 9878 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  0  <_  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )
147, 12, 13mpanl12 682 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  0  <_  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )
158, 11, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )
16 flge0nn0 11687 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  ->  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  e.  NN0 )
1710, 15, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e. 
NN0 )
18 eftval.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
1918eftval 13383 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
2019adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
21 eftcl 13380 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
2220, 21eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
238adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
24 eluznn0 10945 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2517, 24sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
26 nn0p1nn 10640 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2823, 27nndivred 10391 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  e.  RR )
293a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
3023, 25reexpcld 12046 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A ) ^
k )  e.  RR )
31 faccl 12082 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3225, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
3330, 32nndivred 10391 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
34 expcl 11904 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
3525, 34syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
3635absge0d 12951 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( A ^ k ) ) )
37 absexp 12814 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ k ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
3825, 37syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A ^ k
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
3936, 38breqtrd 4337 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
4032nnred 10358 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
4132nngt0d 10386 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <  ( ! `  k ) )
42 divge0 10219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ k
) )  /\  (
( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) ) )  ->  0  <_  (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4330, 39, 40, 41, 42syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4410adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  e.  RR )
45 peano2nn0 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e. 
NN0  ->  ( ( |_
`  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 )  e.  NN0 )
4617, 45syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
4746nn0red 10658 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 )  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 )  e.  RR )
4927nnred 10358 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
50 flltp1 11671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 ) )
5144, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 ) )
52 eluzp1p1 10907 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 ) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 ) ) )
54 eluzle 10894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( |_
`  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 )  <_  (
k  +  1 ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 )  <_  (
k  +  1 ) )
5644, 48, 49, 51, 55ltletrd 9552 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  (
k  +  1 ) )
5723recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
58 2cn 10413 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
59 mulcom 9389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )
6057, 58, 59sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )
6127nncnd 10359 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
6261mulid2d 9425 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
6356, 60, 623brtr4d 4343 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  x.  2 )  <  (
1  x.  ( k  +  1 ) ) )
64 2pos 10434 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
657, 64pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
67 1red 9422 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
6827nngt0d 10386 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <  ( k  +  1 ) )
6949, 68jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) )
70 lt2mul2div 10229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  (
( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  A
)  x.  2 )  <  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  <->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) ) )
7123, 66, 67, 69, 70syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  A
)  x.  2 )  <  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  <->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) ) )
7263, 71mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) )
73 ltle 9484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) )  <  ( 1  /  2 )  -> 
( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
7428, 3, 73sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <  ( 1  / 
2 )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
7572, 74mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <_  (
1  /  2 ) )
7628, 29, 33, 43, 75lemul2ad 10294 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( 1  /  2
) ) )
77 peano2nn0 10641 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
7825, 77syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
7918eftval 13383 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
8078, 79syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ (
k  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) )
8180fveq2d 5716 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
82 absexp 12814 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ (
k  +  1 ) ) )
8378, 82syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  A
) ^ ( k  +  1 ) ) )
8457, 25expp1d 12030 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) ) )
8583, 84eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) ) )
86 faccl 12082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
8778, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
8887nnred 10358 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8987nnnn0d 10657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
9089nn0ge0d 10660 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
9188, 90absidd 12930 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ! `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
92 facp1 12077 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
9325, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
9491, 93eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ! `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
9585, 94oveq12d 6130 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( A ^
( k  +  1 ) ) )  / 
( abs `  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  x.  ( abs `  A ) )  / 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
96 expcl 11904 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC )
9778, 96syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
9887nncnd 10359 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
9987nnne0d 10387 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  =/=  0
)
10097, 98, 99absdivd 12962 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10130recnd 9433 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A ) ^
k )  e.  CC )
10232nncnd 10359 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
10332nnne0d 10387 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0
)
10427nnne0d 10387 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0 )
105101, 102, 57, 61, 103, 104divmuldivd 10169 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) )  /  (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
10695, 100, 1053eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
10781, 106eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
108 halfcn 10562 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
10925, 22syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
110109abscld 12943 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
111110recnd 9433 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  CC )
112 mulcom 9389 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  k
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
113108, 111, 112sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
)  x.  ( 1  /  2 ) ) )
11425, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
115114fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
116 eftabs 13382 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
11725, 116syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
118115, 117eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
119118oveq1d 6127 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  x.  ( 1  /  2
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
120113, 119eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
12176, 107, 1203brtr4d 4343 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  /  2
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
1221, 2, 4, 6, 17, 22, 121cvgrat 13364 1  |-  ( A  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   dom cdm 4861   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    < clt 9439    <_ cle 9440    / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ZZ>=cuz 10882   |_cfl 11661    seqcseq 11827   ^cexp 11886   !cfa 12072   abscabs 12744    ~~> cli 12983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-ico 11327  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185
This theorem is referenced by:  eff  13388  efcvg  13391  reefcl  13393  efaddlem  13399  eftlcvg  13411  effsumlt  13416  eflegeo  13426  eirrlem  13507
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