Theorem efcl 8574

Description: Closure law for the exponential function.

Assertion

Ref	Expression
efcl	|- (A e. CC -> (exp` A) e. CC)

Proof of Theorem efcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efval 8570	. 2 |- (A e. CC -> (exp` A) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)))
2		fvex 4689	. . . . . 6 |- (ZZ>=` 0) e. _V
3	2	opabex2 4539	. . . . 5 |- {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))} e. _V
4	3	isumcl 8470	. . . 4 |- ((0 e. ZZ /\ E.x(<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>=` 0)({<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
5		0z 7355	. . . 4 |- 0 e. ZZ
6		nn0uz 7607	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
7	6	eqcomi 1888	. . . . . . . . 9 |- (ZZ>=` 0) = NN0
8	7	eleq2i 1961	. . . . . . . 8 |- (j e. (ZZ>=` 0) <-> j e. NN0)
9	8	anbi1i 539	. . . . . . 7 |- ((j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j))) <-> (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j))))
10	9	opabbii 3402	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
11	10	efseq0ex 8573	. . . . 5 |- (A e. CC -> E.x( + seq0 {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x)
12		addex 6470	. . . . . . . 8 |- + e. _V
13	12, 3	seq0seqz 7785	. . . . . . 7 |- ( + seq0 {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) = (<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))})
14	13	breq1i 3345	. . . . . 6 |- (( + seq0 {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x <-> (<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x)
15	14	exbii 1398	. . . . 5 |- (E.x( + seq0 {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x <-> E.x(<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x)
16	11, 15	sylib 215	. . . 4 |- (A e. CC -> E.x(<.0, + >. seq {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}) ~~> x)
17	4, 5, 16	sylancr 526	. . 3 |- (A e. CC -> sum_k e. (ZZ>=` 0)({<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) e. CC)
18	6	sumeq1i 8247	. . . 4 |- sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)) = sum_k e. (ZZ>=` 0)((A^k) / (!` k))
19		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = k -> (A^j) = (A^k))
20		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = k -> (!` j) = (!` k))
21	19, 20	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- (j = k -> ((A^j) / (!` j)) = ((A^k) / (!` k)))
22		eqid 1884	. . . . . 6 |- {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
23		oprex 4907	. . . . . 6 |- ((A^k) / (!` k)) e. _V
24	21, 22, 23	fvopab4 4743	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>=` 0) -> ({<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) = ((A^k) / (!` k)))
25	24	sumeq2i 8248	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>=` 0)({<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k) = sum_k e. (ZZ>=` 0)((A^k) / (!` k))
26	18, 25	eqtr4i 1911	. . 3 |- sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)) = sum_k e. (ZZ>=` 0)({<.j, y>. | (j e. (ZZ>=` 0) /\ y = ((A^j) / (!` j)))}` k)
27	17, 26	syl5eqel 1975	. 2 |- (A e. CC -> sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)) e. CC)
28	1, 27	eqeltrd 1971	1 |- (A e. CC -> (exp` A) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   + caddc 6389   / cdiv 6447  NN0cn0 6450  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774   seq0 cseq0 7775  ^cexp 7811  !cfa 8183   ~~> cli 8234  sum_csu 8239  expce 8555

This theorem is referenced by:  eff 8575  efaddlem27 8626  efne0 8631  eff2 8632  efsub 8633  efexp 8634  ef4pi 8664  efcnlem2 8685  efcn 8688  reeff1o 8691  sincl 8696  coscl 8697  resinval 8698  recosval 8699  resincl 8703  recoscl 8704  sinneg 8707  cosneg 8708  efival 8712  absef 8749  efieq1re 8751  sineq0re 10067  efghgrpilem 10073  efif 10075  efif1lem4 10087  efielcirc 10093  eff1i 10098  efper 10101  pilog 10122

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain