Theorem efcji 8598

Description: Exponential function of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308.

Hypothesis

Ref	Expression
efcj.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
efcji	|- (exp` (*` A)) = (*` (exp` A))

Proof of Theorem efcji

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efcj.1	. . . 4 |- A e. CC
2	1	cjcli 8017	. . 3 |- (*` A) e. CC
3		efval 8570	. . 3 |- ((*` A) e. CC -> (exp` (*` A)) = sum_k e. NN0 (((*` A)^k) / (!` k)))
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- (exp` (*` A)) = sum_k e. NN0 (((*` A)^k) / (!` k))
5		nn0uz 7607	. . 3 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
6	5	sumeq1i 8247	. 2 |- sum_k e. NN0 (((*` A)^k) / (!` k)) = sum_k e. (ZZ>=` 0)(((*` A)^k) / (!` k))
7		0z 7355	. . 3 |- 0 e. ZZ
8		addex 6470	. . . . 5 |- + e. _V
9		nn0ex 7314	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
10	9	opabex2 4539	. . . . 5 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))} e. _V
11	8, 10	seq0seqz 7785	. . . 4 |- ( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}) = (<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))})
12		fvex 4689	. . . . 5 |- (exp` A) e. _V
13		oprex 4907	. . . . 5 |- ( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}) e. _V
14		eqid 1884	. . . . . . 7 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))} = {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}
15	14	efcvg 8576	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}) ~~> (exp` A))
16	1, 15	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}) ~~> (exp` A)
17		elnn0uz 7610	. . . . . 6 |- (j e. NN0 <-> j e. (ZZ>=` 0))
18		eftcl 8565	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
19	1, 18	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> ((A^k) / (!` k)) e. CC)
20	14, 19	fopab 4800	. . . . . . . 8 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}:NN0-->CC
21	20	ser0cl1i 7807	. . . . . . 7 |- (j e. NN0 -> (( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))})` j) e. CC)
22	9	opabex2 4539	. . . . . . . 8 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))} e. _V
23	14	eftval 8578	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN0 -> ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}` m) = ((A^m) / (!` m)))
24		eftcl 8565	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ m e. NN0) -> ((A^m) / (!` m)) e. CC)
25	1, 24	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN0 -> ((A^m) / (!` m)) e. CC)
26	23, 25	eqeltrd 1971	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}` m) e. CC)
27		expcl 7824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ m e. NN0) -> (A^m) e. CC)
28	1, 27	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN0 -> (A^m) e. CC)
29		faccl 8192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. NN0 -> (!` m) e. NN)
30		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((!` m) e. NN -> (!` m) e. RR)
31	29, 30	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m e. NN0 -> (!` m) e. RR)
32	31	recnd 6468	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN0 -> (!` m) e. CC)
33		facne0 8193	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN0 -> (!` m) =/= 0)
34		cjdiv 8141	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A^m) e. CC /\ (!` m) e. CC /\ (!` m) =/= 0) -> (*` ((A^m) / (!` m))) = ((*` (A^m)) / (*` (!` m))))
35	28, 32, 33, 34	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . 11 |- (m e. NN0 -> (*` ((A^m) / (!` m))) = ((*` (A^m)) / (*` (!` m))))
36		cjexp 8067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ m e. NN0) -> (*` (A^m)) = ((*` A)^m))
37	1, 36	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN0 -> (*` (A^m)) = ((*` A)^m))
38		cjre 8060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((!` m) e. RR -> (*` (!` m)) = (!` m))
39	31, 38	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NN0 -> (*` (!` m)) = (!` m))
40	37, 39	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . 11 |- (m e. NN0 -> ((*` (A^m)) / (*` (!` m))) = (((*` A)^m) / (!` m)))
41	35, 40	eqtr2d 1926	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN0 -> (((*` A)^m) / (!` m)) = (*` ((A^m) / (!` m))))
42		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))} = {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}
43	42	eftval 8578	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN0 -> ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}` m) = (((*` A)^m) / (!` m)))
44	23	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- (m e. NN0 -> (*` ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}` m)) = (*` ((A^m) / (!` m))))
45	41, 43, 44	3eqtr4d 1937	. . . . . . . . 9 |- (m e. NN0 -> ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}` m) = (*` ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}` m)))
46	26, 45	jca 310	. . . . . . . 8 |- (m e. NN0 -> (({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}` m) e. CC /\ ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}` m) = (*` ({<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))}` m))))
47	22, 10, 46	ser0cji 8325	. . . . . . 7 |- (j e. NN0 -> (( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))})` j) = (*` (( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))})` j)))
48	21, 47	jca 310	. . . . . 6 |- (j e. NN0 -> ((( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))})` j) e. CC /\ (( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))})` j) = (*` (( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))})` j))))
49	17, 48	sylbir 218	. . . . 5 |- (j e. (ZZ>=` 0) -> ((( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))})` j) e. CC /\ (( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))})` j) = (*` (( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = ((A^k) / (!` k)))})` j))))
50	12, 13, 7, 16, 49	climcji 8410	. . . 4 |- ( + seq0 {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}) ~~> (*` (exp` A))
51	11, 50	eqbrtrri 3358	. . 3 |- (<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}) ~~> (*` (exp` A))
52		oprex 4907	. . . 4 |- (((*` A)^k) / (!` k)) e. _V
53		elnn0uz 7610	. . . . . 6 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>=` 0))
54	53	anbi1i 539	. . . . 5 |- ((k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k))) <-> (k e. (ZZ>=` 0) /\ y = (((*` A)^k) / (!` k))))
55	54	opabbii 3402	. . . 4 |- {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))} = {<.k, y>. | (k e. (ZZ>=` 0) /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}
56		fvex 4689	. . . 4 |- (*` (exp` A)) e. _V
57	52, 55, 56	isumclim4 8462	. . 3 |- ((0 e. ZZ /\ (<.0, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN0 /\ y = (((*` A)^k) / (!` k)))}) ~~> (*` (exp` A))) -> sum_k e. (ZZ>=` 0)(((*` A)^k) / (!` k)) = (*` (exp` A)))
58	7, 51, 57	mp2an 761	. 2 |- sum_k e. (ZZ>=` 0)(((*` A)^k) / (!` k)) = (*` (exp` A))
59	4, 6, 58	3eqtri 1912	1 |- (exp` (*` A)) = (*` (exp` A))

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   / cdiv 6447  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774   seq0 cseq0 7775  ^cexp 7811  *ccj 7999  !cfa 8183   ~~> cli 8234  sum_csu 8239  expce 8555

This theorem is referenced by:  efcj 8599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain