HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem efaddlem19 8618
Description: Lemma for efaddi 8628. Upper bound for the summation terms on the right-hand side of efaddlem6 8605.
Hypotheses
Ref Expression
efaddlem17.1 |- N e. NN
efaddlem17.2 |- A e. CC
efaddlem17.3 |- B e. CC
efaddlem17.4 |- S = (|_` ((N + 1) / 2))
efaddlem17.5 |- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)
Assertion
Ref Expression
efaddlem19 |- (abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S))
Distinct variable group:   j,k,N
Proof of Theorem efaddlem19
StepHypRef Expression
1 efaddlem17.1 . . . . 5 |- N e. NN
2 nnuz 7608 . . . . 5 |- NN = (ZZ>=` 1)
31, 2eleqtri 1969 . . . 4 |- N e. (ZZ>=` 1)
41efaddlem1 8600 . . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)))
5 elfznn 7666 . . . . . . . . . 10 |- (j e. (1...N) -> j e. NN)
65adantr 425 . . . . . . . . 9 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> j e. NN)
7 nnnn0 7315 . . . . . . . . 9 |- (j e. NN -> j e. NN0)
86, 7syl 12 . . . . . . . 8 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> j e. NN0)
91efaddlem2 8601 . . . . . . . . 9 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> k e. NN)
10 nnnn0 7315 . . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> k e. NN0)
119, 10syl 12 . . . . . . . 8 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> k e. NN0)
12 mulcl 6456 . . . . . . . . . 10 |- (((A^j) e. CC /\ (B^k) e. CC) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
13 efaddlem17.2 . . . . . . . . . . 11 |- A e. CC
14 expcl 7824 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> (A^j) e. CC)
1513, 14mpan 759 . . . . . . . . . 10 |- (j e. NN0 -> (A^j) e. CC)
16 efaddlem17.3 . . . . . . . . . . 11 |- B e. CC
17 expcl 7824 . . . . . . . . . . 11 |- ((B e. CC /\ k e. NN0) -> (B^k) e. CC)
1816, 17mpan 759 . . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (B^k) e. CC)
1912, 15, 18syl2an 503 . . . . . . . . 9 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((A^j) x. (B^k)) e. CC)
20 nnmulcl 7124 . . . . . . . . . . 11 |- (((!` j) e. NN /\ (!` k) e. NN) -> ((!` j) x. (!` k)) e. NN)
21 faccl 8192 . . . . . . . . . . 11 |- (j e. NN0 -> (!` j) e. NN)
22 faccl 8192 . . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
2320, 21, 22syl2an 503 . . . . . . . . . 10 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` j) x. (!` k)) e. NN)
24 nncn 7113 . . . . . . . . . 10 |- (((!` j) x. (!` k)) e. NN -> ((!` j) x. (!` k)) e. CC)
2523, 24syl 12 . . . . . . . . 9 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` j) x. (!` k)) e. CC)
26 nnne0 7132 . . . . . . . . . 10 |- (((!` j) x. (!` k)) e. NN -> ((!` j) x. (!` k)) =/= 0)
2723, 26syl 12 . . . . . . . . 9 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> ((!` j) x. (!` k)) =/= 0)
28 divcl 6901 . . . . . . . . 9 |- ((((A^j) x. (B^k)) e. CC /\ ((!` j) x. (!` k)) e. CC /\ ((!` j) x. (!` k)) =/= 0) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
2919, 25, 27, 28syl111anc 1100 . . . . . . . 8 |- ((j e. NN0 /\ k e. NN0) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
308, 11, 29syl11anc 524 . . . . . . 7 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
3130r19.21aiva 2176 . . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> A.k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
32 fsumcl 8275 . . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)) /\ A.k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
334, 31, 32syl11anc 524 . . . . 5 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC)
3433rgen 2159 . . . 4 |- A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC
35 fsumabs 8303 . . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` 1) /\ A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC) -> (abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))))
363, 34, 35mp2an 761 . . 3 |- (abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))))
37 abscl 8084 . . . . . . 7 |- (sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC -> (abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR)
3833, 37syl 12 . . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> (abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR)
39 abscl 8084 . . . . . . . . 9 |- ((((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC -> (abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR)
4030, 39syl 12 . . . . . . . 8 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR)
4140r19.21aiva 2176 . . . . . . 7 |- (j e. (1...N) -> A.k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR)
42 fsumrecl 8277 . . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)) /\ A.k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR)
434, 41, 42syl11anc 524 . . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR)
44 fsumabs 8303 . . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)) /\ A.k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))) e. CC) -> (abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))))
454, 31, 44syl11anc 524 . . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> (abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))))
4638, 43, 453jca 1050 . . . . 5 |- (j e. (1...N) -> ((abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ (abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))))))
4746rgen 2159 . . . 4 |- A.j e. (1...N)((abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ (abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))))
48 fsumcmp 8300 . . . 4 |- ((N e. (ZZ>=` 1) /\ A.j e. (1...N)((abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ (abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))))) -> sum_j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))))
493, 47, 48mp2an 761 . . 3 |- sum_j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))))
501, 13, 16efaddlem4 8603 . . . 4 |- (abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR
5138rgen 2159 . . . . 5 |- A.j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR
52 fsumrecl 8277 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` 1) /\ A.j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR) -> sum_j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR)
533, 51, 52mp2an 761 . . . 4 |- sum_j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR
5443rgen 2159 . . . . 5 |- A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR
55 fsumrecl 8277 . . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` 1) /\ A.j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR) -> sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR)
563, 54, 55mp2an 761 . . . 4 |- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR
5750, 53, 56letri 6763 . . 3 |- (((abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) /\ sum_j e. (1...N)(abs` sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))))) -> (abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))))
5836, 49, 57mp2an 761 . 2 |- (abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k))))
59 efaddlem17.5 . . . . . . . . . . . 12 |- T = (((|_` ((abs` A) + 1)) x. (|_` ((abs` B) + 1)))^2)
6013, 16, 59efaddlem7 8606 . . . . . . . . . . 11 |- T e. NN
6160nnrei 7114 . . . . . . . . . 10 |- T e. RR
62 efaddlem17.4 . . . . . . . . . . . 12 |- S = (|_` ((N + 1) / 2))
631, 62efaddlem8 8607 . . . . . . . . . . 11 |- S e. NN
6463nnnn0i 7316 . . . . . . . . . 10 |- S e. NN0
65 reexpcl 7823 . . . . . . . . . 10 |- ((T e. RR /\ S e. NN0) -> (T^S) e. RR)
6661, 64, 65mp2an 761 . . . . . . . . 9 |- (T^S) e. RR
67 faccl 8192 . . . . . . . . . . 11 |- (S e. NN0 -> (!` S) e. NN)
6864, 67ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 |- (!` S) e. NN
6968nnrei 7114 . . . . . . . . 9 |- (!` S) e. RR
70 facne0 8193 . . . . . . . . . 10 |- (S e. NN0 -> (!` S) =/= 0)
7164, 70ax-mp 7 . . . . . . . . 9 |- (!` S) =/= 0
7266, 69, 71redivcli 6976 . . . . . . . 8 |- ((T^S) / (!` S)) e. RR
7372a1i 8 . . . . . . 7 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> ((T^S) / (!` S)) e. RR)
7473r19.21aiva 2176 . . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> A.k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR)
75 fsumrecl 8277 . . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)) /\ A.k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR)
764, 74, 75syl11anc 524 . . . . 5 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR)
771, 13, 16, 62, 59efaddlem17 8616 . . . . . . . 8 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> (abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ ((T^S) / (!` S)))
7840, 73, 773jca 1050 . . . . . . 7 |- ((j e. (1...N) /\ k e. (((N - j) + 1)...N)) -> ((abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ ((T^S) / (!` S)) e. RR /\ (abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ ((T^S) / (!` S))))
7978r19.21aiva 2176 . . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> A.k e. (((N - j) + 1)...N)((abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ ((T^S) / (!` S)) e. RR /\ (abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ ((T^S) / (!` S))))
80 fsumcmp 8300 . . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)) /\ A.k e. (((N - j) + 1)...N)((abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ ((T^S) / (!` S)) e. RR /\ (abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ ((T^S) / (!` S)))) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)))
814, 79, 80syl11anc 524 . . . . 5 |- (j e. (1...N) -> sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)))
8243, 76, 813jca 1050 . . . 4 |- (j e. (1...N) -> (sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S))))
8382rgen 2159 . . 3 |- A.j e. (1...N)(sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)))
84 fsumcmp 8300 . . 3 |- ((N e. (ZZ>=` 1) /\ A.j e. (1...N)(sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR /\ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)))) -> sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)))
853, 83, 84mp2an 761 . 2 |- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S))
861, 13, 16, 62, 59efaddlem18 8617 . . 3 |- sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)) e. RR
8750, 56, 86letri 6763 . 2 |- (((abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) /\ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(abs` (((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S))) -> (abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S)))
8858, 85, 87mp2an 761 1 |- (abs` sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)(((A^j) x. (B^k)) / ((!` j) x. (!` k)))) <_ sum_j e. (1...N)sum_k e. (((N - j) + 1)...N)((T^S) / (!` S))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  2c2 7145  |_cfl 7462  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637  ^cexp 7811  abscabs 8000  !cfa 8183  sum_csu 8239
This theorem is referenced by:  efaddlem22 8621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-sum 8240
Copyright terms: Public domain