Theorem efaddlem1 8600

Description: Lemma for efaddi 8628 (exponential function addition law). Technical result for later use. Note: if you want to see these lemmas in the Statement List summary, change the first word "Lemma" to "- Lemma" and re-run the "write th" command.

Hypothesis

Ref	Expression
efaddlem1.1	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
efaddlem1	|- (j e. (1...N) -> N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)))

Proof of Theorem efaddlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 7653	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> 1 <_ j)
2		elfzelz 7652	. . . . . 6 |- (j e. (1...N) -> j e. ZZ)
3		zre 7348	. . . . . 6 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
4	2, 3	syl 12	. . . . 5 |- (j e. (1...N) -> j e. RR)
5		1re 6598	. . . . . 6 |- 1 e. RR
6		efaddlem1.1	. . . . . . 7 |- N e. NN
7	6	nnrei 7114	. . . . . 6 |- N e. RR
8		lesub2 6850	. . . . . 6 |- ((1 e. RR /\ j e. RR /\ N e. RR) -> (1 <_ j <-> (N - j) <_ (N - 1)))
9	5, 7, 8	mp3an13 1182	. . . . 5 |- (j e. RR -> (1 <_ j <-> (N - j) <_ (N - 1)))
10	4, 9	syl 12	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> (1 <_ j <-> (N - j) <_ (N - 1)))
11	1, 10	mpbid 212	. . 3 |- (j e. (1...N) -> (N - j) <_ (N - 1))
12		resubcl 6601	. . . . 5 |- ((N e. RR /\ j e. RR) -> (N - j) e. RR)
13	12, 7, 4	sylancr 526	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> (N - j) e. RR)
14		leaddsub 6816	. . . . 5 |- (((N - j) e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR) -> (((N - j) + 1) <_ N <-> (N - j) <_ (N - 1)))
15	5, 7, 14	mp3an23 1183	. . . 4 |- ((N - j) e. RR -> (((N - j) + 1) <_ N <-> (N - j) <_ (N - 1)))
16	13, 15	syl 12	. . 3 |- (j e. (1...N) -> (((N - j) + 1) <_ N <-> (N - j) <_ (N - 1)))
17	11, 16	mpbird 213	. 2 |- (j e. (1...N) -> ((N - j) + 1) <_ N)
18		eluz 7595	. . 3 |- ((((N - j) + 1) e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)) <-> ((N - j) + 1) <_ N))
19		zsubcl 7377	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ j e. ZZ) -> (N - j) e. ZZ)
20		nnz 7362	. . . . . 6 |- (N e. NN -> N e. ZZ)
21	6, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- N e. ZZ
22	19, 21, 2	sylancr 526	. . . 4 |- (j e. (1...N) -> (N - j) e. ZZ)
23	22	peano2zdi 7376	. . 3 |- (j e. (1...N) -> ((N - j) + 1) e. ZZ)
24	18, 23, 21	sylancl 525	. 2 |- (j e. (1...N) -> (N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)) <-> ((N - j) + 1) <_ N))
25	17, 24	mpbird 213	1 |- (j e. (1...N) -> N e. (ZZ>=` ((N - j) + 1)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637

This theorem is referenced by:  efaddlem3 8602  efaddlem6 8605  efaddlem16 8615  efaddlem18 8617  efaddlem19 8618

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638

Copyright terms: Public domain