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Theorem efaddlem 13910
Description: Lemma for efadd 13911 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efadd.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( B ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efadd.3  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( A  +  B ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efadd.4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
efadd.5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
efaddlem  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( n)    G( n)    H( n)

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables  j 
k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 efadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
31, 2addcld 9604 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 efadd.3 . . . 4  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( A  +  B ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
54efcvg 13902 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( exp `  ( A  +  B
) ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( exp `  ( A  +  B
) ) )
7 efadd.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
87eftval 13894 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( F `
 j )  =  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) )
98adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  ( ( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
10 absexp 13219 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ j ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ j
) )
111, 10sylan 469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( A ^ j
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ j ) )
12 faccl 12345 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 j )  e.  NN )
1312adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
14 nnre 10538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  ( ! `  j )  e.  RR )
15 nnnn0 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  ( ! `  j )  e.  NN0 )
1615nn0ge0d 10851 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  j
) )
1714, 16absidd 13336 . . . . . . 7  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  ( abs `  ( ! `  j ) )  =  ( ! `  j
) )
1813, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ! `  j
) )  =  ( ! `  j ) )
1911, 18oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( A ^
j ) )  / 
( abs `  ( ! `  j )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ j )  /  ( ! `  j ) ) )
20 expcl 12166 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( A ^ j
)  e.  CC )
211, 20sylan 469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
2213nncnd 10547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
2313nnne0d 10576 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  j )  =/=  0
)
2421, 22, 23absdivd 13368 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) )  =  ( ( abs `  ( A ^ j ) )  /  ( abs `  ( ! `  j )
) ) )
25 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
2625eftval 13894 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 j )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
2726adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 j )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
2819, 24, 273eqtr4rd 2506 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 j )  =  ( abs `  (
( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) ) )
29 eftcl 13891 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  e.  CC )
301, 29sylan 469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
31 efadd.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( B ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
3231eftval 13894 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
3332adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( B ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
34 eftcl 13891 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
352, 34sylan 469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
364eftval 13894 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( H `
 k )  =  ( ( ( A  +  B ) ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
3736adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( ( ( A  +  B ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
381adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
392adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
40 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
41 binom 13724 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) ^ k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B ) ^ k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
4342oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  +  B
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) ) )
44 fzfid 12065 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... k )  e. 
Fin )
45 faccl 12345 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4645adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4746nncnd 10547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
48 bccl2 12383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  _C  j )  e.  NN )
4948adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  _C  j )  e.  NN )
5049nncnd 10547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  _C  j )  e.  CC )
511ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A  e.  CC )
52 fznn0sub 11720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
5352adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
5451, 53expcld 12292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A ^ ( k  -  j ) )  e.  CC )
552ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  B  e.  CC )
56 elfznn0 11775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  j  e.  NN0 )
5756adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  NN0 )
5855, 57expcld 12292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( B ^ j )  e.  CC )
5954, 58mulcld 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) )  e.  CC )
6050, 59mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( k  _C  j
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  e.  CC )
6146nnne0d 10576 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  =/=  0
)
6244, 47, 60, 61fsumdivc 13683 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( k  _C  j )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) ) )
6351, 57expcld 12292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
6457, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
6564nncnd 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
6664nnne0d 10576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  j )  =/=  0 )
6763, 65, 66divcld 10316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  e.  CC )
6831eftval 13894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  -  j )  e.  NN0  ->  ( G `
 ( k  -  j ) )  =  ( ( B ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) ) )
6953, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  =  ( ( B ^ ( k  -  j ) )  / 
( ! `  (
k  -  j ) ) ) )
7055, 53expcld 12292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( B ^ ( k  -  j ) )  e.  CC )
71 faccl 12345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  -  j )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  -  j ) )  e.  NN )
7253, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( k  -  j ) )  e.  NN )
7372nncnd 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( k  -  j ) )  e.  CC )
7472nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( k  -  j ) )  =/=  0 )
7570, 73, 74divcld 10316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( B ^ (
k  -  j ) )  /  ( ! `
 ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
7669, 75eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  e.  CC )
7767, 76mulcld 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
78 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) ) )
79 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
8078, 79oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  (
( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  =  ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  / 
( ! `  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
81 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  (
k  -  j )  =  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
8281fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  =  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
8380, 82oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  (
( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
8477, 83fsumrev2 13679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( G `  (
k  -  j ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  m ) ) )  x.  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
8531eftval 13894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( G `
 j )  =  ( ( B ^
j )  /  ( ! `  j )
) )
8657, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  j )  =  ( ( B ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
8786oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) )  x.  ( G `
 j ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  /  ( ! `  ( k  -  j
) ) )  x.  ( ( B ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
8872, 64nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) )  e.  NN )
8988nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) )  e.  CC )
9088nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) )  =/=  0 )
9159, 89, 90divrec2d 10320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) )  /  ( ( ! `
 ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
9254, 73, 58, 65, 74, 66divmuldivd 10357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) )  x.  ( ( B ^ j )  /  ( ! `  j ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
93 bcval2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  _C  j )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
9493adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  _C  j )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
9594oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( k  _C  j
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( ! `  k )  /  ( ( ! `
 ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j
) ) )  / 
( ! `  k
) ) )
9647adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9761adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
9896, 89, 96, 90, 97divdiv32d 10341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( ! `  k )  /  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( ! `  k )  /  ( ! `  k ) )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
9996, 97dividd 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  1 )
10099oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( ! `  k )  /  ( ! `  k )
)  /  ( ( ! `  ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j ) ) )  =  ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
10198, 100eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( ! `  k )  /  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
10295, 101eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( k  _C  j
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
103102oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( ! `
 ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j
) ) )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
10491, 92, 1033eqtr4rd 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  /  ( ! `  ( k  -  j
) ) )  x.  ( ( B ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
10587, 104eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) )  x.  ( G `
 j ) )  =  ( ( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
106 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
107106ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  CC )
108107addid2d 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
0  +  k )  =  k )
109108oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( 0  +  k )  -  j )  =  ( k  -  j ) )
110109oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( A ^ (
k  -  j ) ) )
111109fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) )  =  ( ! `  ( k  -  j
) ) )
112110, 111oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( A ^ (
( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  / 
( ! `  (
k  -  j ) ) ) )
113109oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( k  -  ( k  -  j
) ) )
114 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  CC )
11557, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  CC )
116107, 115nncand 9927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  ( k  -  j ) )  =  j )
117113, 116eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  j )
118117fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( G `  j ) )
119112, 118oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( ( 0  +  k )  -  j
) )  /  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) ) )  x.  ( G `
 ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  /  ( ! `  ( k  -  j
) ) )  x.  ( G `  j
) ) )
12050, 59, 96, 97div23d 10353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
121105, 119, 1203eqtr4rd 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) ) ) )
122121sumeq2dv 13607 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( k  _C  j )  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^ j
) ) )  / 
( ! `  k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^
( ( 0  +  k )  -  j
) )  /  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) ) )  x.  ( G `
 ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) ) ) )
123 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  m  ->  (
( 0  +  k )  -  j )  =  ( ( 0  +  k )  -  m ) )
124123oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) ) )
125123fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) )  =  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
126124, 125oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  m  ->  (
( A ^ (
( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  / 
( ! `  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
127123oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
128127fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  m  ->  ( G `  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
129126, 128oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  m  ->  (
( ( A ^
( ( 0  +  k )  -  j
) )  /  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) ) )  x.  ( G `
 ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
130129cbvsumv 13600 . . . . . . . . 9  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  m ) ) )  x.  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
131122, 130syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( k  _C  j )  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^ j
) ) )  / 
( ! `  k
) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  m ) ) )  x.  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
13284, 131eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( G `  (
k  -  j ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) ) )
13362, 132eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
13443, 133eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  +  B
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
13537, 134eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
1361abscld 13349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
137136recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
13825efcllem 13895 . . . . 5  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
139137, 138syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
14031efcllem 13895 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
1412, 140syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
1429, 28, 30, 33, 35, 135, 139, 141mertens 13777 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) )  x. 
sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
) ) )
143 efval 13897 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  = 
sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) )
1441, 143syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  A
)  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
145 efval 13897 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  B )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
1462, 145syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  B
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
147144, 146oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  B ) )  =  ( sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
148142, 147breqtrrd 4465 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
149 climuni 13457 . 2  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( exp `  ( A  +  B
) )  /\  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )  -> 
( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
1506, 148, 149syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ...cfz 11675    seqcseq 12089   ^cexp 12148   !cfa 12335    _C cbc 12362   abscabs 13149    ~~> cli 13389   sum_csu 13590   expce 13879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885
This theorem is referenced by:  efadd  13911
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