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Theorem efaddlem 13693
Description: Lemma for efadd 13694 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efadd.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( B ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efadd.3  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( A  +  B ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efadd.4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
efadd.5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
efaddlem  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( n)    G( n)    H( n)

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables  j 
k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 efadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
31, 2addcld 9616 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 efadd.3 . . . 4  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( A  +  B ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
54efcvg 13685 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( exp `  ( A  +  B
) ) )
63, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( exp `  ( A  +  B
) ) )
7 efadd.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
87eftval 13677 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( F `
 j )  =  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) )
98adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  ( ( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
10 absexp 13103 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ j ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ j
) )
111, 10sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( A ^ j
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ j ) )
12 faccl 12332 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 j )  e.  NN )
1312adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
14 nnre 10544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  ( ! `  j )  e.  RR )
15 nnnn0 10803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  ( ! `  j )  e.  NN0 )
1615nn0ge0d 10856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  j
) )
1714, 16absidd 13220 . . . . . . 7  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  ( abs `  ( ! `  j ) )  =  ( ! `  j
) )
1813, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ! `  j
) )  =  ( ! `  j ) )
1911, 18oveq12d 6303 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( A ^
j ) )  / 
( abs `  ( ! `  j )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ j )  /  ( ! `  j ) ) )
20 expcl 12153 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( A ^ j
)  e.  CC )
211, 20sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
2213nncnd 10553 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
2313nnne0d 10581 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  j )  =/=  0
)
2421, 22, 23absdivd 13252 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) )  =  ( ( abs `  ( A ^ j ) )  /  ( abs `  ( ! `  j )
) ) )
25 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
2625eftval 13677 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 j )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
2726adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 j )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
2819, 24, 273eqtr4rd 2519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 j )  =  ( abs `  (
( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) ) )
29 eftcl 13674 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  e.  CC )
301, 29sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
31 efadd.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( B ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
3231eftval 13677 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
3332adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( B ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
34 eftcl 13674 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
352, 34sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
364eftval 13677 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( H `
 k )  =  ( ( ( A  +  B ) ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
3736adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( ( ( A  +  B ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
381adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
392adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
40 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
41 binom 13608 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) ^ k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B ) ^ k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
4342oveq1d 6300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  +  B
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) ) )
44 fzfid 12052 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... k )  e. 
Fin )
45 faccl 12332 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4645adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4746nncnd 10553 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
48 bccl2 12370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  _C  j )  e.  NN )
4948adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  _C  j )  e.  NN )
5049nncnd 10553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  _C  j )  e.  CC )
511ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A  e.  CC )
52 fznn0sub 11717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
5451, 53expcld 12279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A ^ ( k  -  j ) )  e.  CC )
552ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  B  e.  CC )
56 elfznn0 11771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  j  e.  NN0 )
5756adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  NN0 )
5855, 57expcld 12279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( B ^ j )  e.  CC )
5954, 58mulcld 9617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) )  e.  CC )
6050, 59mulcld 9617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( k  _C  j
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  e.  CC )
6146nnne0d 10581 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  =/=  0
)
6244, 47, 60, 61fsumdivc 13567 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( k  _C  j )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) ) )
6351, 57expcld 12279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
6457, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
6564nncnd 10553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
6664nnne0d 10581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  j )  =/=  0 )
6763, 65, 66divcld 10321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  e.  CC )
6831eftval 13677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  -  j )  e.  NN0  ->  ( G `
 ( k  -  j ) )  =  ( ( B ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) ) )
6953, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  =  ( ( B ^ ( k  -  j ) )  / 
( ! `  (
k  -  j ) ) ) )
7055, 53expcld 12279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( B ^ ( k  -  j ) )  e.  CC )
71 faccl 12332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  -  j )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  -  j ) )  e.  NN )
7253, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( k  -  j ) )  e.  NN )
7372nncnd 10553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( k  -  j ) )  e.  CC )
7472nnne0d 10581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( k  -  j ) )  =/=  0 )
7570, 73, 74divcld 10321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( B ^ (
k  -  j ) )  /  ( ! `
 ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
7669, 75eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  e.  CC )
7767, 76mulcld 9617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
78 oveq2 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) ) )
79 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
8078, 79oveq12d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  (
( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  =  ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  / 
( ! `  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
81 oveq2 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  (
k  -  j )  =  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
8281fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  =  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
8380, 82oveq12d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  (
( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
8477, 83fsumrev2 13563 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( G `  (
k  -  j ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  m ) ) )  x.  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
8531eftval 13677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( G `
 j )  =  ( ( B ^
j )  /  ( ! `  j )
) )
8657, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  j )  =  ( ( B ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
8786oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) )  x.  ( G `
 j ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  /  ( ! `  ( k  -  j
) ) )  x.  ( ( B ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
8872, 64nnmulcld 10584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) )  e.  NN )
8988nncnd 10553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) )  e.  CC )
9088nnne0d 10581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) )  =/=  0 )
9159, 89, 90divrec2d 10325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) )  /  ( ( ! `
 ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
9254, 73, 58, 65, 74, 66divmuldivd 10362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) )  x.  ( ( B ^ j )  /  ( ! `  j ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
93 bcval2 12352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  _C  j )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  _C  j )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
9594oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( k  _C  j
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( ! `  k )  /  ( ( ! `
 ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j
) ) )  / 
( ! `  k
) ) )
9647adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9761adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
9896, 89, 96, 90, 97divdiv32d 10346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( ! `  k )  /  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( ! `  k )  /  ( ! `  k ) )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
9996, 97dividd 10319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  1 )
10099oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( ! `  k )  /  ( ! `  k )
)  /  ( ( ! `  ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j ) ) )  =  ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
10198, 100eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( ! `  k )  /  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
10295, 101eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( k  _C  j
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
103102oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( ! `
 ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j
) ) )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
10491, 92, 1033eqtr4rd 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  /  ( ! `  ( k  -  j
) ) )  x.  ( ( B ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
10587, 104eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) )  x.  ( G `
 j ) )  =  ( ( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
106 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
107106ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  CC )
108107addid2d 9781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
0  +  k )  =  k )
109108oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( 0  +  k )  -  j )  =  ( k  -  j ) )
110109oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( A ^ (
k  -  j ) ) )
111109fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) )  =  ( ! `  ( k  -  j
) ) )
112110, 111oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( A ^ (
( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  / 
( ! `  (
k  -  j ) ) ) )
113109oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( k  -  ( k  -  j
) ) )
114 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  CC )
11557, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  CC )
116107, 115nncand 9936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  ( k  -  j ) )  =  j )
117113, 116eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  j )
118117fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( G `  j ) )
119112, 118oveq12d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( ( 0  +  k )  -  j
) )  /  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) ) )  x.  ( G `
 ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  /  ( ! `  ( k  -  j
) ) )  x.  ( G `  j
) ) )
12050, 59, 96, 97div23d 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
121105, 119, 1203eqtr4rd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) ) ) )
122121sumeq2dv 13491 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( k  _C  j )  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^ j
) ) )  / 
( ! `  k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^
( ( 0  +  k )  -  j
) )  /  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) ) )  x.  ( G `
 ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) ) ) )
123 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  m  ->  (
( 0  +  k )  -  j )  =  ( ( 0  +  k )  -  m ) )
124123oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) ) )
125123fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) )  =  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
126124, 125oveq12d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  m  ->  (
( A ^ (
( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  / 
( ! `  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
127123oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
128127fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  m  ->  ( G `  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
129126, 128oveq12d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  m  ->  (
( ( A ^
( ( 0  +  k )  -  j
) )  /  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) ) )  x.  ( G `
 ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
130129cbvsumv 13484 . . . . . . . . 9  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  m ) ) )  x.  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
131122, 130syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( k  _C  j )  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^ j
) ) )  / 
( ! `  k
) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  m ) ) )  x.  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
13284, 131eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( G `  (
k  -  j ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) ) )
13362, 132eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
13443, 133eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  +  B
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
13537, 134eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
1361abscld 13233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
137136recnd 9623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
13825efcllem 13678 . . . . 5  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
139137, 138syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
14031efcllem 13678 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
1412, 140syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
1429, 28, 30, 33, 35, 135, 139, 141mertens 13661 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) )  x. 
sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
) ) )
143 efval 13680 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  = 
sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) )
1441, 143syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  A
)  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
145 efval 13680 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  B )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
1462, 145syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  B
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
147144, 146oveq12d 6303 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  B ) )  =  ( sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
148142, 147breqtrrd 4473 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
149 climuni 13341 . 2  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( exp `  ( A  +  B
) )  /\  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )  -> 
( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
1506, 148, 149syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    - cmin 9806    / cdiv 10207   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ...cfz 11673    seqcseq 12076   ^cexp 12135   !cfa 12322    _C cbc 12349   abscabs 13033    ~~> cli 13273   sum_csu 13474   expce 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-ico 11536  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-ef 13668
This theorem is referenced by:  efadd  13694
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