MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efadd Structured version   Unicode version

Theorem efadd 13690
Description: Sum of exponents law for exponential function. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efadd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )

Proof of Theorem efadd
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
2 eqid 2467 . 2  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( B ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( B ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
3 eqid 2467 . 2  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( A  +  B
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( A  +  B ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
4 simpl 457 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
5 simpr 461 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
61, 2, 3, 4, 5efaddlem 13689 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4505   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489    + caddc 9494    x. cmul 9496    / cdiv 10205   NN0cn0 10794   ^cexp 12133   !cfa 12320   expce 13658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-ico 11534  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-ef 13664
This theorem is referenced by:  efcan  13691  efsub  13695  efexp  13696  eflt  13712  efeul  13757  sinadd  13759  cosadd  13760  absef  13792  efieq1re  13794  dvef  22132  reefgim  22595  efper  22621  sineq0  22663  efgh  22677  efif1olem4  22681  eff1olem  22684  logneg  22716  lognegb  22718  relogmul  22720  eflogeq  22730  logimul  22743  logmul2  22745  efopn  22783  cxpadd  22804  mulcxp  22810  cxpsqrt  22828  abscxpbnd  22871  cxpeq  22875  ang180lem1  22885  efiatan2  22992  efnnfsumcl  23120  efchtdvds  23177  prmorcht  23196  chtublem  23230  bposlem9  23311  pntibndlem3  23521  gamcvg  28254  gamp1  28256  gamcvg2lem  28257  fprodefsum  28697  iprodefisumlem  28716  sineq0ALT  32826
  Copyright terms: Public domain W3C validator