Theorem ef4pi 8664

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
ef4p.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
ef4p.2	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
ef4pi	|- (exp` A) = ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F

Proof of Theorem ef4pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef4p.1	. 2 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
2		ef4p.2	. 2 |- A e. CC
3		3nn 7184	. . 3 |- 3 e. NN
4	3	nnnn0i 7316	. 2 |- 3 e. NN0
5		ax1cn 6422	. . . 4 |- 1 e. CC
6	5, 2	addcli 6473	. . 3 |- (1 + A) e. CC
7	2	sqcli 7860	. . . 4 |- (A^2) e. CC
8		2cn 7164	. . . 4 |- 2 e. CC
9		2ne0 7174	. . . 4 |- 2 =/= 0
10	7, 8, 9	divcli 6899	. . 3 |- ((A^2) / 2) e. CC
11	6, 10	addcli 6473	. 2 |- ((1 + A) + ((A^2) / 2)) e. CC
12		2nn0 7324	. . 3 |- 2 e. NN0
13		1nn0 7323	. . . 4 |- 1 e. NN0
14		0nn0 7322	. . . . 5 |- 0 e. NN0
15		0cn 6481	. . . . 5 |- 0 e. CC
16		efval 8570	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (exp` A) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)))
17	2, 16	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (exp` A) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k))
18	1	eftval 8578	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
19	18	sumeq2i 8248	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k))
20		nn0uz 7607	. . . . . . . 8 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
21	20	sumeq1i 8247	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. (ZZ>=` 0)(F` k)
22	17, 19, 21	3eqtr2i 1915	. . . . . 6 |- (exp` A) = sum_k e. (ZZ>=` 0)(F` k)
23		efcl 8574	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (exp` A) e. CC)
24	2, 23	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (exp` A) e. CC
25	22, 24	eqeltrri 1968	. . . . . . 7 |- sum_k e. (ZZ>=` 0)(F` k) e. CC
26	25	addid2i 6484	. . . . . 6 |- (0 + sum_k e. (ZZ>=` 0)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>=` 0)(F` k)
27	22, 26	eqtr4i 1911	. . . . 5 |- (exp` A) = (0 + sum_k e. (ZZ>=` 0)(F` k))
28	1, 2	eft0vali 8663	. . . . 5 |- (F` 0) = 1
29	5	addid2i 6484	. . . . . 6 |- (0 + 1) = 1
30	29	eqcomi 1888	. . . . 5 |- 1 = (0 + 1)
31	1, 2, 14, 15, 27, 28, 30, 30	efsepi 8661	. . . 4 |- (exp` A) = (1 + sum_k e. (ZZ>=` 1)(F` k))
32	1	eftval 8578	. . . . . 6 |- (1 e. NN0 -> (F` 1) = ((A^1) / (!` 1)))
33	13, 32	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F` 1) = ((A^1) / (!` 1))
34		exp1 7816	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (A^1) = A)
35	2, 34	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A^1) = A
36		fac1 8187	. . . . . 6 |- (!` 1) = 1
37	35, 36	opreq12i 4894	. . . . 5 |- ((A^1) / (!` 1)) = (A / 1)
38	2	div1i 6948	. . . . 5 |- (A / 1) = A
39	33, 37, 38	3eqtri 1912	. . . 4 |- (F` 1) = A
40		df-2 7154	. . . 4 |- 2 = (1 + 1)
41		eqid 1884	. . . 4 |- (1 + A) = (1 + A)
42	1, 2, 13, 5, 31, 39, 40, 41	efsepi 8661	. . 3 |- (exp` A) = ((1 + A) + sum_k e. (ZZ>=` 2)(F` k))
43	1	eftval 8578	. . . . 5 |- (2 e. NN0 -> (F` 2) = ((A^2) / (!` 2)))
44	12, 43	ax-mp 7	. . . 4 |- (F` 2) = ((A^2) / (!` 2))
45		fac2 8189	. . . . 5 |- (!` 2) = 2
46	45	opreq2i 4893	. . . 4 |- ((A^2) / (!` 2)) = ((A^2) / 2)
47	44, 46	eqtri 1908	. . 3 |- (F` 2) = ((A^2) / 2)
48		df-3 7155	. . 3 |- 3 = (2 + 1)
49		eqid 1884	. . 3 |- ((1 + A) + ((A^2) / 2)) = ((1 + A) + ((A^2) / 2))
50	1, 2, 12, 6, 42, 47, 48, 49	efsepi 8661	. 2 |- (exp` A) = (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + sum_k e. (ZZ>=` 3)(F` k))
51	1	eftval 8578	. . . 4 |- (3 e. NN0 -> (F` 3) = ((A^3) / (!` 3)))
52	4, 51	ax-mp 7	. . 3 |- (F` 3) = ((A^3) / (!` 3))
53		fac3 8190	. . . 4 |- (!` 3) = 6
54	53	opreq2i 4893	. . 3 |- ((A^3) / (!` 3)) = ((A^3) / 6)
55	52, 54	eqtri 1908	. 2 |- (F` 3) = ((A^3) / 6)
56		df-4 7156	. 2 |- 4 = (3 + 1)
57		eqid 1884	. 2 |- (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) = (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6))
58	1, 2, 4, 11, 50, 55, 56, 57	efsepi 8661	1 |- (exp` A) = ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>=` 4)(F` k))

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   / cdiv 6447  NN0cn0 6450  2c2 7145  3c3 7146  4c4 7147  6c6 7149  ZZ>=cuz 7586  ^cexp 7811  !cfa 8183  sum_csu 8239  expce 8555

This theorem is referenced by:  ef4p 8665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-5 7157  df-6 7158  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain