Theorem ef01tlubi 8648

Description: An upper bound on the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the positive reals less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef1tllem.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}

Assertion

Ref	Expression
ef01tlubi	|- ((A e. (0(,]1) /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) <_ ((A^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   j,M,k,y

Proof of Theorem ef01tlubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . . . . . 10 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> (A^j) = (if(A e. (0(,]1), A, 1)^j))
2	1	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> ((A^j) / (!` j)) = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))
3	2	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> (y = ((A^j) / (!` j)) <-> y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j))))
4	3	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> ((j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j))) <-> (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))))
5	4	opabbidv 3401	. . . . . 6 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))})
6		ef1tllem.1	. . . . . 6 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
7	5, 6	syl5eq 1940	. . . . 5 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))})
8	7	fveq1d 4683	. . . 4 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> (F` k) = ({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))}` k))
9	8	sumeq2sdv 8253	. . 3 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>=` M)({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))}` k))
10		opreq1 4889	. . . 4 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> (A^M) = (if(A e. (0(,]1), A, 1)^M))
11	10	opreq1d 4897	. . 3 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> ((A^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))) = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))))
12	9, 11	breq12d 3351	. 2 |- (A = if(A e. (0(,]1), A, 1) -> (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) <_ ((A^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))) <-> sum_k e. (ZZ>=` M)({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))}` k) <_ ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))))
13		fveq2 4681	. . . 4 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> (ZZ>=` M) = (ZZ>=` if(M e. NN, M, 1)))
14	13	sumeq1d 8250	. . 3 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> sum_k e. (ZZ>=` M)({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))}` k) = sum_k e. (ZZ>=` if(M e. NN, M, 1))({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))}` k))
15		opreq2 4890	. . . 4 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> (if(A e. (0(,]1), A, 1)^M) = (if(A e. (0(,]1), A, 1)^if(M e. NN, M, 1)))
16		opreq1 4889	. . . . 5 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> (M + 1) = (if(M e. NN, M, 1) + 1))
17		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> (!` M) = (!` if(M e. NN, M, 1)))
18		id 73	. . . . . 6 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> M = if(M e. NN, M, 1))
19	17, 18	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> ((!` M) x. M) = ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1)))
20	16, 19	opreq12d 4900	. . . 4 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> ((M + 1) / ((!` M) x. M)) = ((if(M e. NN, M, 1) + 1) / ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1))))
21	15, 20	opreq12d 4900	. . 3 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))) = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^if(M e. NN, M, 1)) x. ((if(M e. NN, M, 1) + 1) / ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1)))))
22	14, 21	breq12d 3351	. 2 |- (M = if(M e. NN, M, 1) -> (sum_k e. (ZZ>=` M)({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))}` k) <_ ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))) <-> sum_k e. (ZZ>=` if(M e. NN, M, 1))({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))}` k) <_ ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^if(M e. NN, M, 1)) x. ((if(M e. NN, M, 1) + 1) / ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1))))))
23		eqid 1884	. . 3 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))}
24		eqid 1884	. . 3 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^(j - if(M e. NN, M, 1))) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^(j - if(M e. NN, M, 1))) / (!` j)))}
25		eqid 1884	. . 3 |- {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))} = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
26		1nn 7117	. . . 4 |- 1 e. NN
27	26	elimel 3025	. . 3 |- if(M e. NN, M, 1) e. NN
28		1re 6598	. . . . 5 |- 1 e. RR
29		lt01 6871	. . . . 5 |- 0 < 1
30	28	leidi 6790	. . . . 5 |- 1 <_ 1
31		0re 6603	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
32		elioc2 7558	. . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR) -> (1 e. (0(,]1) <-> (1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1)))
33	31, 28, 32	mp2an 761	. . . . . 6 |- (1 e. (0(,]1) <-> (1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1))
34	33	biimpri 169	. . . . 5 |- ((1 e. RR /\ 0 < 1 /\ 1 <_ 1) -> 1 e. (0(,]1))
35	28, 29, 30, 34	mp3an 1191	. . . 4 |- 1 e. (0(,]1)
36	35	elimel 3025	. . 3 |- if(A e. (0(,]1), A, 1) e. (0(,]1)
37	23, 24, 25, 27, 36	ef01tllem2 8646	. 2 |- sum_k e. (ZZ>=` if(M e. NN, M, 1))({<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^j) / (!` j)))}` k) <_ ((if(A e. (0(,]1), A, 1)^if(M e. NN, M, 1)) x. ((if(M e. NN, M, 1) + 1) / ((!` if(M e. NN, M, 1)) x. if(M e. NN, M, 1))))
38	12, 22, 37	dedth2h 3015	1 |- ((A e. (0(,]1) /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) <_ ((A^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ifcif 2982   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  (,]cioc 7525  ZZ>=cuz 7586  ^cexp 7811  !cfa 8183  sum_csu 8239

This theorem is referenced by:  absef01tllem 8649

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-ioc 7529  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

Copyright terms: Public domain