Theorem ef01tllem2OLD 8647

Description: Lemma for ef01tlubi 8648.

Hypotheses

Ref	Expression
ef1tllem.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
ef01tllem2.2	|- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^(j - M)) / (!` j)))}
ef01tllem2.3	|- H = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
ef01tllem2.4	|- M e. NN
ef01tllem2.5	|- A e. (0(,]1)

Assertion

Ref	Expression
ef01tllem2OLD	|- sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) <_ ((A^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F   k,G   k,H   j,M,k,y

Proof of Theorem ef01tllem2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef1tllem.1	. . . . . 6 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
2		ef01tllem2.2	. . . . . 6 |- G = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^(j - M)) / (!` j)))}
3		ef01tllem2.4	. . . . . 6 |- M e. NN
4		ef01tllem2.5	. . . . . . . 8 |- A e. (0(,]1)
5		0re 6603	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
6		1re 6598	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
7		elioc2 7558	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ 1 e. RR) -> (A e. (0(,]1) <-> (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1)))
8	5, 6, 7	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- (A e. (0(,]1) <-> (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1))
9	4, 8	mpbi 206	. . . . . . 7 |- (A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1)
10	9	simp1i 885	. . . . . 6 |- A e. RR
11	9	simp2i 886	. . . . . . 7 |- 0 < A
12	10, 11	gt0ne0ii 6799	. . . . . 6 |- A =/= 0
13	1, 2, 3, 10, 12	ef01tllem1 8645	. . . . 5 |- (<.M, + >. seq G) ~~> (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M))
14		nnz 7362	. . . . . . 7 |- (M e. NN -> M e. ZZ)
15	3, 14	ax-mp 7	. . . . . 6 |- M e. ZZ
16		ax1cn 6422	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
17		ef01tllem2.3	. . . . . . . 8 |- H = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((1^j) / (!` j)))}
18	17	eftlex 8640	. . . . . . 7 |- ((1 e. CC /\ M e. NN) -> E.x(<.M, + >. seq H) ~~> x)
19	16, 3, 18	mp2an 761	. . . . . 6 |- E.x(<.M, + >. seq H) ~~> x
20		nn0ex 7314	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
21	20, 17	fopabex2 4541	. . . . . . 7 |- H e. _V
22	21	isumclim2 8460	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ E.x(<.M, + >. seq H) ~~> x) -> (<.M, + >. seq H) ~~> sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k))
23	15, 19, 22	mp2an 761	. . . . 5 |- (<.M, + >. seq H) ~~> sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k)
24	13, 23	pm3.2i 307	. . . 4 |- ((<.M, + >. seq G) ~~> (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) /\ (<.M, + >. seq H) ~~> sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k))
25	3	nnnn0i 7316	. . . . . . . . . . . 12 |- M e. NN0
26		elnn0uz 7610	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. NN0 <-> M e. (ZZ>=` 0))
27	25, 26	mpbi 206	. . . . . . . . . . 11 |- M e. (ZZ>=` 0)
28		uztrn 7597	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ M e. (ZZ>=` 0)) -> k e. (ZZ>=` 0))
29	27, 28	mpan2 760	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>=` M) -> k e. (ZZ>=` 0))
30		elnn0uz 7610	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>=` 0))
31	29, 30	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> k e. NN0)
32		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- (j = k -> (j - M) = (k - M))
33	32	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (A^(j - M)) = (A^(k - M)))
34		fveq2 4681	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (!` j) = (!` k))
35	33, 34	opreq12d 4900	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> ((A^(j - M)) / (!` j)) = ((A^(k - M)) / (!` k)))
36		oprex 4907	. . . . . . . . . 10 |- ((A^(k - M)) / (!` k)) e. _V
37	35, 2, 36	fvopab4 4743	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (G` k) = ((A^(k - M)) / (!` k)))
38	31, 37	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (G` k) = ((A^(k - M)) / (!` k)))
39		reexpcl 7823	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ (k - M) e. NN0) -> (A^(k - M)) e. RR)
40		eluzle 7594	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. (ZZ>=` M) -> M <_ k)
41		nn0sub2 7371	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. NN0 /\ k e. NN0 /\ M <_ k) -> (k - M) e. NN0)
42	25, 41	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. NN0 /\ M <_ k) -> (k - M) e. NN0)
43	31, 40, 42	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (k - M) e. NN0)
44	39, 10, 43	sylancr 526	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (A^(k - M)) e. RR)
45		faccl 8192	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
46		nnre 7112	. . . . . . . . . . 11 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
47	45, 46	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. RR)
48	31, 47	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (!` k) e. RR)
49		nnne0 7132	. . . . . . . . . . 11 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) =/= 0)
50	45, 49	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (!` k) =/= 0)
51	31, 50	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (!` k) =/= 0)
52		redivcl 6978	. . . . . . . . 9 |- (((A^(k - M)) e. RR /\ (!` k) e. RR /\ (!` k) =/= 0) -> ((A^(k - M)) / (!` k)) e. RR)
53	44, 48, 51, 52	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((A^(k - M)) / (!` k)) e. RR)
54	38, 53	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (G` k) e. RR)
55	17	eftval 8578	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> (H` k) = ((1^k) / (!` k)))
56		1exp 7827	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN0 -> (1^k) = 1)
57	56	opreq1d 4897	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN0 -> ((1^k) / (!` k)) = (1 / (!` k)))
58	55, 57	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (H` k) = (1 / (!` k)))
59	31, 58	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (H` k) = (1 / (!` k)))
60		rereccl 6981	. . . . . . . . 9 |- (((!` k) e. RR /\ (!` k) =/= 0) -> (1 / (!` k)) e. RR)
61	48, 51, 60	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (1 / (!` k)) e. RR)
62	59, 61	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (H` k) e. RR)
63		exple1 7852	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) /\ (k - M) e. NN0) -> (A^(k - M)) <_ 1)
64	5, 10, 11	ltleii 6756	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ A
65	9	simp3i 887	. . . . . . . . . . 11 |- A <_ 1
66	10, 64, 65	3pm3.2i 1048	. . . . . . . . . 10 |- (A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1)
67	63, 66, 43	sylancr 526	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (A^(k - M)) <_ 1)
68	6	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>=` M) -> 1 e. RR)
69		nngt0 7129	. . . . . . . . . . 11 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
70	31, 45, 69	3syl 24	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>=` M) -> 0 < (!` k))
71		lediv1OLD 7034	. . . . . . . . . 10 |- ((((A^(k - M)) e. RR /\ 1 e. RR /\ (!` k) e. RR) /\ 0 < (!` k)) -> ((A^(k - M)) <_ 1 <-> ((A^(k - M)) / (!` k)) <_ (1 / (!` k))))
72	44, 68, 48, 70, 71	syl31anc 1103	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((A^(k - M)) <_ 1 <-> ((A^(k - M)) / (!` k)) <_ (1 / (!` k))))
73	67, 72	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((A^(k - M)) / (!` k)) <_ (1 / (!` k)))
74	73, 38, 59	3brtr4d 3367	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (G` k) <_ (H` k))
75	54, 62, 74	3jca 1050	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((G` k) e. RR /\ (H` k) e. RR /\ (G` k) <_ (H` k)))
76	75	rgen 2159	. . . . 5 |- A.k e. (ZZ>=` M)((G` k) e. RR /\ (H` k) e. RR /\ (G` k) <_ (H` k))
77	15, 76	pm3.2i 307	. . . 4 |- (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((G` k) e. RR /\ (H` k) e. RR /\ (G` k) <_ (H` k)))
78		oprex 4907	. . . . 5 |- (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) e. _V
79		sumex 8241	. . . . 5 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k) e. _V
80	20, 2	fopabex2 4541	. . . . 5 |- G e. _V
81	78, 79, 80, 21	iserzcmp 8402	. . . 4 |- ((((<.M, + >. seq G) ~~> (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) /\ (<.M, + >. seq H) ~~> sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k)) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((G` k) e. RR /\ (H` k) e. RR /\ (G` k) <_ (H` k)))) -> (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) <_ sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k))
82	24, 77, 81	mp2an 761	. . 3 |- (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) <_ sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k)
83		eqid 1884	. . . 4 |- 1 = 1
84	17	ef1tlubi 8644	. . . 4 |- ((M e. NN /\ 1 = 1) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M)))
85	3, 83, 84	mp2an 761	. . 3 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M))
86	1	reeftlcl 8642	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR)
87	10, 3, 86	mp2an 761	. . . . 5 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR
88		reexpcl 7823	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (A^M) e. RR)
89	10, 25, 88	mp2an 761	. . . . 5 |- (A^M) e. RR
90	10	recni 6467	. . . . . . 7 |- A e. CC
91		expne0 7829	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ M e. NN) -> ((A^M) =/= 0 <-> A =/= 0))
92	91	bicomd 580	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ M e. NN) -> (A =/= 0 <-> (A^M) =/= 0))
93	90, 3, 92	mp2an 761	. . . . . 6 |- (A =/= 0 <-> (A^M) =/= 0)
94	12, 93	mpbi 206	. . . . 5 |- (A^M) =/= 0
95	87, 89, 94	redivcli 6976	. . . 4 |- (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) e. RR
96	17	reeftlcl 8642	. . . . 5 |- ((1 e. RR /\ M e. NN) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k) e. RR)
97	6, 3, 96	mp2an 761	. . . 4 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k) e. RR
98		eftlubcl 8638	. . . . 5 |- (M e. NN -> ((M + 1) / ((!` M) x. M)) e. RR)
99	3, 98	ax-mp 7	. . . 4 |- ((M + 1) / ((!` M) x. M)) e. RR
100	95, 97, 99	letri 6763	. . 3 |- (((sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) <_ sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k) /\ sum_k e. (ZZ>=` M)(H` k) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M))) -> (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M)))
101	82, 85, 100	mp2an 761	. 2 |- (sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M))
102		expgt0 7831	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^M))
103	10, 25, 11, 102	mp3an 1191	. . . 4 |- 0 < (A^M)
104		ledivmulOLD 7052	. . . 4 |- (((sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR /\ (A^M) e. RR /\ ((M + 1) / ((!` M) x. M)) e. RR) /\ 0 < (A^M)) -> ((sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M)) <-> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) <_ ((A^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))))
105	103, 104	mpan2 760	. . 3 |- ((sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR /\ (A^M) e. RR /\ ((M + 1) / ((!` M) x. M)) e. RR) -> ((sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M)) <-> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) <_ ((A^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))))
106	87, 89, 99, 105	mp3an 1191	. 2 |- ((sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) / (A^M)) <_ ((M + 1) / ((!` M) x. M)) <-> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) <_ ((A^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M))))
107	101, 106	mpbi 206	1 |- sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) <_ ((A^M) x. ((M + 1) / ((!` M) x. M)))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  (,]cioc 7525  ZZ>=cuz 7586   seq cseqz 7774  ^cexp 7811  !cfa 8183   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-ioc 7529  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-fac 8184  df-clim 8235  df-sum 8240  df-ef 8560

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