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Theorem eengtrkge 24112
Description: The geometry structure for  EE ^ N is a Euclidean geometry (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengtrkge  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e. TarskiGE )

Proof of Theorem eengtrkge
Dummy variables  a 
b  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5882 . . . 4  |-  (EEG `  N )  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
3 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  N  e.  NN )
5 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) )
6 eengbas 24107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
73, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
85, 7eleqtrrd 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
10 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) )
1110, 7eleqtrrd 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
135adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
1410adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
15 simpr1 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
16 simpr3 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
17 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  ->  N  e.  NN )
1817, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  -> 
( EE `  N
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
) )
1916, 18eleqtrrd 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  -> 
z  e.  ( EE
`  N ) )
204, 13, 14, 15, 19syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
219, 12, 203jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( x  e.  ( EE `  N
)  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )
22 simpr2 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  u  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
234, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
2422, 23eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  u  e.  ( EE `  N ) )
25 simpr3 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  v  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
2625, 23eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  v  e.  ( EE `  N ) )
2724, 26jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( u  e.  ( EE `  N
)  /\  v  e.  ( EE `  N ) ) )
28 axeuclid 24089 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
u  e.  ( EE
`  N )  /\  v  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( u 
Btwn  <. x ,  v
>.  /\  u  Btwn  <. y ,  z >.  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. ) ) )
294, 21, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( u 
Btwn  <. x ,  v
>.  /\  u  Btwn  <. y ,  z >.  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. ) ) )
30 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (EEG `  N )
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
)
31 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (Itv `  (EEG `  N ) )  =  (Itv `  (EEG `  N ) )
324, 30, 31, 13, 25, 22ebtwntg 24108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( u  Btwn  <.
x ,  v >.  <->  u  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) v ) ) )
334, 30, 31, 14, 15, 22ebtwntg 24108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( u  Btwn  <.
y ,  z >.  <->  u  e.  ( y (Itv
`  (EEG `  N
) ) z ) ) )
3432, 333anbi12d 1300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( u 
Btwn  <. x ,  v
>.  /\  u  Btwn  <. y ,  z >.  /\  x  =/=  u )  <->  ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u ) ) )
3523adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( EE `  N
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
) )
364adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
3813adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
40 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
a  e.  ( EE
`  N ) )
4140, 35eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
a  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4314adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4537, 30, 31, 39, 42, 44ebtwntg 24108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
y  Btwn  <. x ,  a >.  <->  y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a ) ) )
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  b  e.  ( EE `  N
) )
4735adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4846, 47eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  b  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4915ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
5037, 30, 31, 39, 48, 49ebtwntg 24108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
z  Btwn  <. x ,  b >.  <->  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) )
5125adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
5337, 30, 31, 42, 48, 52ebtwntg 24108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
v  Btwn  <. a ,  b >.  <->  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) )
5445, 50, 533anbi123d 1299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( y  Btwn  <. x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b
>.  /\  v  Btwn  <. a ,  b >. )  <->  ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N
) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5535, 54rexeqbidva 3080 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. )  <->  E. b  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) ( y  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5623, 55rexeqbidva 3080 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. )  <->  E. a  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N
) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5734, 56imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( ( u  Btwn  <. x ,  v >.  /\  u  Btwn  <. y ,  z
>.  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. ) )  <->  ( (
u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N
) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) ) )
5829, 57mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( u  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5958ralrimivvva 2889 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
6059ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
612, 60jca 532 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
(EEG `  N )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) ) )
62 eqid 2467 . . 3  |-  ( dist `  (EEG `  N )
)  =  ( dist `  (EEG `  N )
)
6330, 62, 31istrkge 23720 . 2  |-  ( (EEG
`  N )  e. TarskiGE  <->  ( (EEG `  N )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) A. y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( ( u  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) ) )
6461, 63sylibr 212 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e. TarskiGE )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   <.cop 4039   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   NNcn 10548   Basecbs 14507   distcds 14581  TarskiGEcstrkge 23697  Itvcitv 23698   EEcee 24014    Btwn cbtwn 24015  EEGceeng 24103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-icc 11548  df-fz 11685  df-seq 12088  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-ds 14594  df-itv 23700  df-lng 23701  df-trkge 23713  df-ee 24017  df-btwn 24018  df-eeng 24104
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