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Theorem eengtrkge 23232
Description: The geometry structure for  EE ^ N is a Euclidean geometry (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengtrkge  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e. TarskiGE )

Proof of Theorem eengtrkge
Dummy variables  a 
b  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5701 . . . 4  |-  (EEG `  N )  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
3 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  N  e.  NN )
5 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) )
6 eengbas 23227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
73, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
85, 7eleqtrrd 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
10 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) )
1110, 7eleqtrrd 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
135adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
1410adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
15 simpr1 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
16 simpr3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
17 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  ->  N  e.  NN )
1817, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  -> 
( EE `  N
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
) )
1916, 18eleqtrrd 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  -> 
z  e.  ( EE
`  N ) )
204, 13, 14, 15, 19syl13anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
219, 12, 203jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( x  e.  ( EE `  N
)  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N ) ) )
22 simpr2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  u  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
234, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
2422, 23eleqtrrd 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  u  e.  ( EE `  N ) )
25 simpr3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  v  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
2625, 23eleqtrrd 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  v  e.  ( EE `  N ) )
2724, 26jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( u  e.  ( EE `  N
)  /\  v  e.  ( EE `  N ) ) )
28 axeuclid 23209 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
u  e.  ( EE
`  N )  /\  v  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( u 
Btwn  <. x ,  v
>.  /\  u  Btwn  <. y ,  z >.  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. ) ) )
294, 21, 27, 28syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( u 
Btwn  <. x ,  v
>.  /\  u  Btwn  <. y ,  z >.  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. ) ) )
30 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (EEG `  N )
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
)
31 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (Itv `  (EEG `  N ) )  =  (Itv `  (EEG `  N ) )
324, 30, 31, 13, 25, 22ebtwntg 23228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( u  Btwn  <.
x ,  v >.  <->  u  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) v ) ) )
334, 30, 31, 14, 15, 22ebtwntg 23228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( u  Btwn  <.
y ,  z >.  <->  u  e.  ( y (Itv
`  (EEG `  N
) ) z ) ) )
3432, 333anbi12d 1290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( u 
Btwn  <. x ,  v
>.  /\  u  Btwn  <. y ,  z >.  /\  x  =/=  u )  <->  ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u ) ) )
3523adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( EE `  N
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
) )
364adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
3813adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
40 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
a  e.  ( EE
`  N ) )
4140, 35eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
a  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4314adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4537, 30, 31, 39, 42, 44ebtwntg 23228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
y  Btwn  <. x ,  a >.  <->  y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a ) ) )
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  b  e.  ( EE `  N
) )
4735adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4846, 47eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  b  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4915ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
5037, 30, 31, 39, 48, 49ebtwntg 23228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
z  Btwn  <. x ,  b >.  <->  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) )
5125adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
5337, 30, 31, 42, 48, 52ebtwntg 23228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
v  Btwn  <. a ,  b >.  <->  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) )
5445, 50, 533anbi123d 1289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( y  Btwn  <. x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b
>.  /\  v  Btwn  <. a ,  b >. )  <->  ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N
) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5535, 54rexeqbidva 2934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. )  <->  E. b  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) ( y  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5623, 55rexeqbidva 2934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. )  <->  E. a  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N
) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5734, 56imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( ( u  Btwn  <. x ,  v >.  /\  u  Btwn  <. y ,  z
>.  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. ) )  <->  ( (
u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N
) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) ) )
5829, 57mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( u  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5958ralrimivvva 2809 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
6059ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
612, 60jca 532 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
(EEG `  N )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) ) )
62 eqid 2443 . . 3  |-  ( dist `  (EEG `  N )
)  =  ( dist `  (EEG `  N )
)
6330, 62, 31istrkge 22920 . 2  |-  ( (EEG
`  N )  e. TarskiGE  <->  ( (EEG `  N )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) A. y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( ( u  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) ) )
6461, 63sylibr 212 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e. TarskiGE )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   <.cop 3883   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   NNcn 10322   Basecbs 14174   distcds 14247  TarskiGEcstrkge 22896  Itvcitv 22897   EEcee 23134    Btwn cbtwn 23135  EEGceeng 23223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-icc 11307  df-fz 11438  df-seq 11807  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-ds 14260  df-itv 22899  df-lng 22900  df-trkge 22912  df-ee 23137  df-btwn 23138  df-eeng 23224
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