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Theorem eengtrkge 24410
Description: The geometry structure for  EE ^ N is a Euclidean geometry (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengtrkge  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e. TarskiGE )

Proof of Theorem eengtrkge
Dummy variables  a 
b  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5784 . . 3  |-  (EEG `  N )  e.  _V
21a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
3 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
43adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  N  e.  NN )
5 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) )
6 eengbas 24405 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
76adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
85, 7eleqtrrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
98adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
10 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) )
1110, 7eleqtrrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
1211adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  y  e.  ( EE `  N ) )
135adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
1410adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  y  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
15 simpr1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
16 simpr3 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
176adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  -> 
( EE `  N
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
) )
1816, 17eleqtrrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  -> 
z  e.  ( EE
`  N ) )
194, 13, 14, 15, 18syl13anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  z  e.  ( EE `  N ) )
20 simpr2 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  u  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
216ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
2220, 21eleqtrrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  u  e.  ( EE `  N ) )
23 simpr3 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  v  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) )
2423, 21eleqtrrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  v  e.  ( EE `  N ) )
25 axeuclid 24387 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  z  e.  ( EE `  N
) )  /\  (
u  e.  ( EE
`  N )  /\  v  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( ( u 
Btwn  <. x ,  v
>.  /\  u  Btwn  <. y ,  z >.  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. ) ) )
264, 9, 12, 19, 22, 24, 25syl132anc 1244 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( u 
Btwn  <. x ,  v
>.  /\  u  Btwn  <. y ,  z >.  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. ) ) )
27 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (EEG `  N )
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
)
28 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  (Itv `  (EEG `  N ) )  =  (Itv `  (EEG `  N ) )
294, 27, 28, 13, 23, 20ebtwntg 24406 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( u  Btwn  <.
x ,  v >.  <->  u  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) v ) ) )
304, 27, 28, 14, 15, 20ebtwntg 24406 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( u  Btwn  <.
y ,  z >.  <->  u  e.  ( y (Itv
`  (EEG `  N
) ) z ) ) )
3129, 303anbi12d 1298 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( u 
Btwn  <. x ,  v
>.  /\  u  Btwn  <. y ,  z >.  /\  x  =/=  u )  <->  ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u ) ) )
3221adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( EE `  N
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
) )
334ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
3413ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
35 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
a  e.  ( EE
`  N ) )
3635, 32eleqtrd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
a  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
3736adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
3814ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
3933, 27, 28, 34, 37, 38ebtwntg 24406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
y  Btwn  <. x ,  a >.  <->  y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a ) ) )
40 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  b  e.  ( EE `  N
) )
4121ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4240, 41eleqtrd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  b  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4315ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4433, 27, 28, 34, 42, 43ebtwntg 24406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
z  Btwn  <. x ,  b >.  <->  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) )
4523ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
4633, 27, 28, 37, 42, 45ebtwntg 24406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
v  Btwn  <. a ,  b >.  <->  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) )
4739, 44, 463anbi123d 1297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  (
x  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  /\  b  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( y  Btwn  <. x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b
>.  /\  v  Btwn  <. a ,  b >. )  <->  ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N
) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
4832, 47rexeqbidva 2996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ) )  /\  a  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. )  <->  E. b  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) ( y  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
4921, 48rexeqbidva 2996 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
x ,  a >.  /\  z  Btwn  <. x ,  b >.  /\  v  Btwn  <. a ,  b
>. )  <->  E. a  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N
) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5026, 31, 493imtr3d 267 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) )  /\  u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
)  /\  v  e.  ( Base `  (EEG `  N
) ) ) )  ->  ( ( u  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5150ralrimivvva 2804 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( Base `  (EEG `  N
) )  /\  y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
5251ralrimivva 2803 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  A. x  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) ( ( u  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) )
53 eqid 2382 . . 3  |-  ( dist `  (EEG `  N )
)  =  ( dist `  (EEG `  N )
)
5427, 53, 28istrkge 23971 . 2  |-  ( (EEG
`  N )  e. TarskiGE  <->  ( (EEG `  N )  e.  _V  /\ 
A. x  e.  (
Base `  (EEG `  N
) ) A. y  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) A. u  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) A. v  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( ( u  e.  ( x (Itv
`  (EEG `  N
) ) v )  /\  u  e.  ( y (Itv `  (EEG `  N ) ) z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  ( Base `  (EEG `  N ) ) E. b  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) ( y  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) a )  /\  z  e.  ( x (Itv `  (EEG `  N ) ) b )  /\  v  e.  ( a (Itv `  (EEG `  N ) ) b ) ) ) ) )
552, 52, 54sylanbrc 662 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e. TarskiGE )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   <.cop 3950   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   NNcn 10452   Basecbs 14634   distcds 14711  TarskiGEcstrkge 23948  Itvcitv 23949   EEcee 24312    Btwn cbtwn 24313  EEGceeng 24401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-icc 11457  df-fz 11594  df-seq 12011  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-ds 14724  df-itv 23951  df-lng 23952  df-trkge 23964  df-ee 24315  df-btwn 24316  df-eeng 24402
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