MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eengstr Structured version   Unicode version

Theorem eengstr 24056
Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengstr  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )

Proof of Theorem eengstr
Dummy variables  i  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eengv 24055 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
2 1nn 10548 . . . 4  |-  1  e.  NN
3 basendx 14543 . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  =  1
4 2nn0 10813 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5 1nn0 10812 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
6 1lt10 10747 . . . . 5  |-  1  <  10
72, 4, 5, 6declti 11002 . . . 4  |-  1  < ; 1
2
8 2nn 10694 . . . . 5  |-  2  e.  NN
95, 8decnncl 10990 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN
10 dsndx 14661 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
112, 3, 7, 9, 10strle2 14590 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
12 6nn 10698 . . . . 5  |-  6  e.  NN
135, 12decnncl 10990 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN
14 itvndx 23661 . . . 4  |-  (Itv `  ndx )  = ; 1 6
15 6nn0 10817 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
16 7nn 10699 . . . . 5  |-  7  e.  NN
17 6lt7 10718 . . . . 5  |-  6  <  7
185, 15, 16, 17declt 10998 . . . 4  |- ; 1 6  < ; 1 7
195, 16decnncl 10990 . . . 4  |- ; 1 7  e.  NN
20 lngndx 23662 . . . 4  |-  (LineG `  ndx )  = ; 1 7
2113, 14, 18, 19, 20strle2 14590 . . 3  |-  { <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >. } Struct  <.; 1 6 , ; 1 7 >.
22 2lt6 10716 . . . 4  |-  2  <  6
235, 4, 12, 22declt 10998 . . 3  |- ; 1 2  < ; 1 6
2411, 21, 23strleun 14588 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) Struct  <. 1 , ; 1
7 >.
251, 24syl6eqbr 4484 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 972    e. wcel 1767   {crab 2818    \ cdif 3473    u. cun 3474   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   1c1 9494    - cmin 9806   NNcn 10537   2c2 10586   6c6 10590   7c7 10591  ;cdc 10977   ...cfz 11673   ^cexp 12135   sum_csu 13474   Struct cstr 14489   ndxcnx 14490   Basecbs 14493   distcds 14567  Itvcitv 23657  LineGclng 23658   EEcee 23964    Btwn cbtwn 23965  EEGceeng 24053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-seq 12077  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-ds 14580  df-itv 23659  df-lng 23660  df-eeng 24054
This theorem is referenced by:  eengbas  24057  ebtwntg  24058  ecgrtg  24059  elntg  24060
  Copyright terms: Public domain W3C validator