MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eengstr Structured version   Unicode version

Theorem eengstr 24485
Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengstr  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )

Proof of Theorem eengstr
Dummy variables  i  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eengv 24484 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
2 1nn 10542 . . . 4  |-  1  e.  NN
3 basendx 14768 . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  =  1
4 2nn0 10808 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5 1nn0 10807 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
6 1lt10 10742 . . . . 5  |-  1  <  10
72, 4, 5, 6declti 11001 . . . 4  |-  1  < ; 1
2
8 2nn 10689 . . . . 5  |-  2  e.  NN
95, 8decnncl 10989 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN
10 dsndx 14891 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
112, 3, 7, 9, 10strle2 14816 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
12 6nn 10693 . . . . 5  |-  6  e.  NN
135, 12decnncl 10989 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN
14 itvndx 24034 . . . 4  |-  (Itv `  ndx )  = ; 1 6
15 6nn0 10812 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
16 7nn 10694 . . . . 5  |-  7  e.  NN
17 6lt7 10713 . . . . 5  |-  6  <  7
185, 15, 16, 17declt 10997 . . . 4  |- ; 1 6  < ; 1 7
195, 16decnncl 10989 . . . 4  |- ; 1 7  e.  NN
20 lngndx 24035 . . . 4  |-  (LineG `  ndx )  = ; 1 7
2113, 14, 18, 19, 20strle2 14816 . . 3  |-  { <. (Itv
`  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >. } Struct  <.; 1 6 , ; 1 7 >.
22 2lt6 10711 . . . 4  |-  2  <  6
235, 4, 12, 22declt 10997 . . 3  |- ; 1 2  < ; 1 6
2411, 21, 23strleun 14814 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) Struct  <. 1 , ; 1
7 >.
251, 24syl6eqbr 4476 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 970    e. wcel 1823   {crab 2808    \ cdif 3458    u. cun 3459   {csn 4016   {cpr 4018   <.cop 4022   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   1c1 9482    - cmin 9796   NNcn 10531   2c2 10581   6c6 10585   7c7 10586  ;cdc 10976   ...cfz 11675   ^cexp 12148   sum_csu 13590   Struct cstr 14712   ndxcnx 14713   Basecbs 14716   distcds 14793  Itvcitv 24030  LineGclng 24031   EEcee 24393    Btwn cbtwn 24394  EEGceeng 24482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12090  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-ds 14806  df-itv 24032  df-lng 24033  df-eeng 24483
This theorem is referenced by:  eengbas  24486  ebtwntg  24487  ecgrtg  24488  elntg  24489
  Copyright terms: Public domain W3C validator