MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eengbas Structured version   Unicode version

Theorem eengbas 23960
Description: The Base of the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengbas  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )

Proof of Theorem eengbas
Dummy variables  i  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baseid 14532 . 2  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 fvex 5874 . . 3  |-  (EEG `  N )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
4 eengstr 23959 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
5 isstruct 14496 . . . . 5  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  <->  ( (
1  e.  NN  /\ ; 1 7  e.  NN  /\  1  <_ ; 1
7 )  /\  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } )  /\  dom  (EEG `  N )  C_  ( 1 ...; 1 7 ) ) )
65simp2bi 1012 . . . 4  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
8 structcnvcnv 14497 . . . . 5  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
94, 8syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
109funeqd 5607 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Fun  `' `' (EEG `  N )  <->  Fun  ( (EEG `  N
)  \  { (/) } ) ) )
117, 10mpbird 232 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  Fun  `' `' (EEG `  N )
)
12 opex 4711 . . . . 5  |-  <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >.  e.  _V
1312prid1 4135 . . . 4  |-  <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }
14 elun1 3671 . . . 4  |-  ( <.
( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  ->  <.
( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >.  e.  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >.  e.  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } )
16 eengv 23958 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1715, 16syl5eleqr 2562 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >.  e.  (EEG `  N ) )
18 fvex 5874 . . 3  |-  ( EE
`  N )  e. 
_V
1918a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  e. 
_V )
201, 3, 11, 17, 19strfv2d 14518 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Fun wfun 5580   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   1c1 9489    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   2c2 10581   7c7 10586  ;cdc 10972   ...cfz 11668   ^cexp 12130   sum_csu 13467   Struct cstr 14482   ndxcnx 14483   Basecbs 14486   distcds 14560  Itvcitv 23560  LineGclng 23561   EEcee 23867    Btwn cbtwn 23868  EEGceeng 23956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-ds 14573  df-itv 23562  df-lng 23563  df-eeng 23957
This theorem is referenced by:  ebtwntg  23961  ecgrtg  23962  elntg  23963  eengtrkg  23964  eengtrkge  23965
  Copyright terms: Public domain W3C validator