MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eedimeq Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem eedimeq 24928
Description: A point belongs to at most one Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
eedimeq  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  M ) )  ->  N  =  M )

Proof of Theorem eedimeq
StepHypRef Expression
1 eleei 24927 . . . 4  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  A : ( 1 ... N ) --> RR )
2 eleei 24927 . . . 4  |-  ( A  e.  ( EE `  M )  ->  A : ( 1 ... M ) --> RR )
3 fdm 5733 . . . . 5  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> RR  ->  dom 
A  =  ( 1 ... N ) )
4 fdm 5733 . . . . 5  |-  ( A : ( 1 ... M ) --> RR  ->  dom 
A  =  ( 1 ... M ) )
53, 4sylan9req 2506 . . . 4  |-  ( ( A : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  A : ( 1 ... M ) --> RR )  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... M
) )
61, 2, 5syl2an 480 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  M ) )  -> 
( 1 ... N
)  =  ( 1 ... M ) )
7 eleenn 24926 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
8 nnuz 11194 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
97, 8syl6eleq 2539 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
109adantr 467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  M ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
11 fzopth 11835 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... N )  =  ( 1 ... M
)  <->  ( 1  =  1  /\  N  =  M ) ) )
1210, 11syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  M ) )  -> 
( ( 1 ... N )  =  ( 1 ... M )  <-> 
( 1  =  1  /\  N  =  M ) ) )
136, 12mpbid 214 . 2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  M ) )  -> 
( 1  =  1  /\  N  =  M ) )
1413simprd 465 1  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  M ) )  ->  N  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540   NNcn 10609   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   EEcee 24918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-ee 24921
This theorem is referenced by:  brbtwn  24929  brcgr  24930  axdimuniq  24943
  Copyright terms: Public domain W3C validator